Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade

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1 Introdução a Teoria da Probabilidade Prof. Magnos Martinello Aula - Introdução a Teoria da Probabilidade Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Departamento de Informática - DI 5 de dezembro de 2012 Introdução a Teoria da Probabilidade 1/14

2 Introdução Qualquer modelo reaĺıstico de fenômenos do mundo real deve levar em conta a aleatoriedade. Frequentemente as quantidades que estamos interessados não são previsíveis, mas exibem uma variação inerente. Capturar essa aleatoriadade envolve a construção de um modelo de natureza probabiĺıstica. Introdução a Teoria da Probabilidade 2/14

3 Introdução Suponhamos que vai ser realizado um Experimento cujo resultado é imprevisível. Entretanto, embora o resultado do experimento seja imprevisível (aleatório), vamos assumir que o conjunto de todos os possíveis resultados são conhecidos. Este conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento é defido como espaço amostral (também chamado espaço de estados ) denotado por S. Introdução a Teoria da Probabilidade 3/14

4 Exemplos de Experimentos Se o experimento consiste em jogar uma moeda, então: S = Ca, Co. Se o experimento consiste em jogar um dado, então: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se o experimento consiste em jogar duas moedas, então: S =? Se o experimento consiste em jogar dois dados, então: S =? Se o experimento consiste em medir o tempo de vida de um carro, então: S =? Introdução a Teoria da Probabilidade 4/14

5 Eventos aleatórios Qualquer subconjunto E do espaço amostral S é conhecido como um Evento. Alguns exemplos de eventos:e = Ca, então E é o evento em que cara acontece ao jogar a moeda; E = 2, 4, 6, então E é o evento que um número par ocorre ao jogar o dado; Qual é o evento cuja soma de um experimento de jogar dois dados é igual a 7. Se no exemplo do tempo de vida do carro, tivermos o evento E = [2, 6], então E significa? Introdução a Teoria da Probabilidade 5/14

6 Espaço amostral O espaço amostral nada mais é do que o conjunto de todas as possibilidades de ocorrência de um evento que não podemos saber o resultado previamente. Por exemplo: Imagine que iremos lançar uma moeda não viciada para o alto e verificar se o lançamento resultou em cara ou coroa. Neste caso nosso espaço amostral é: S = {Ca, Co} Onde Ca representa o evento em que a face superior da moeda é cara e Co corresponde ao evento de ter coroa como a face superior da moeda Introdução a Teoria da Probabilidade 6/14

7 Operações entre eventos Para qualquer dois eventos E e F de um espaço amostral S, vamos definir um novo evento EUF que consiste em todos os pontos que estão em E ou em F ou em ambos E e F. Isto é, o evento EUF ocorrerá se E ou F ocorrerem. No caso da operação de interseção, o evento E F somente ocorrerá se E e F ocorrerem, i.e, se todos os pontos estiverem em ambos E e F. Para qualquer dois eventos E e F de um espaço amostral S, definimos o evento E F como todos os resultados que estão tanto em E como em F ou estão em ambos E e F. Se E F ou simplesmente EF = (vazio), logo EF é dito ser um evento mutuamente exclusivo. Introdução a Teoria da Probabilidade 7/14

8 Operações para n eventos n=1 E n n=1 E n E c = E Introdução a Teoria da Probabilidade 8/14

9 Probabilidade definido em eventos Suponha o evento em que o espaço amostral é S. Para cada evento E do espaço amostral S, nos assumimos que o numero P(E) é definido e satisfaz as seguintes condições: 1 0 P(E) 1. 2 P(S) = 1 3 Para cada sequencia de eventos E 1, E 2,... são mutuamente exclusivos, isto é, eventos para os quais E n E m = quando n m, então P( n=1 E n) = n=1 P(E n) Introdução a Teoria da Probabilidade 9/14

10 Operações de Probabilidade Suponha um jogo de cartas contendo 52 cartas, sendo 4 naipes e 13 cartas por naipe. 1 Qual é a P[A] = 4 52 = Qual é a P[Espada] = = Qual é a P[Espada e A] = Qual é a P[Espada ou A] = , mostrar no diagrama de Venn. Introdução a Teoria da Probabilidade 10/14

11 Probabilidade da união de dois eventos A equação que nos ajuda a calcular a probabilidade da união de dois eventos é: P(E F ) = P[E] + P[F ] P[E F ] Introdução a Teoria da Probabilidade 11/14

12 Compondo Probabilidade de Eventos Independentes Suponha que vamos jogar duas moedas 1 Qual é a P[Cara] = Qual é a P[Coroa] = Qual é a Espaço de Estados = S = Cara Cara,Coroa Coroa, Cara Coroa, Coroa Cara. 4 Qual é a P[Cara e Cara] = P[Cara] P[cara] = A probabilidade de ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade de ocorrência de B, logo A e B são eventos independentes. 6 Qual é a P [Cara Coroa Cara] = P[Cara] P[Coroa] P[Cara]. Introdução a Teoria da Probabilidade 12/14

13 Probabilidade de Eventos Dependentes Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados justos. Seja E o evento denotando que a soma de dois dados é 6 e F denota o evento cujo resultado da primeira jogada é igual a 4. 1 Então qual é a P[EF]? = P[(4,2)] = 1 2 Qual é a P[E] P[F] = = A probabilidade da soma ser 6 depende do resultado da primeira jogada e assim E e F não são eventos independentes, pois a probabilidade de ocorrência do evento E afeta a probabilidade de F. 4 Se o evento E denotasse a soma de dois dados igual a 7. Qual é a P[E] P[F] = = 1 36, então E e F são eventos independentes. 5 Se o evento E denotasse a soma de dois dados igual a 4, então E e F seriam eventos mutuamente exclusivos. 36. Introdução a Teoria da Probabilidade 13/14

14 Probabilidade da união de dois eventos 1 Sejam os eventos E e F, então P(E F ) = P[E] + P[F ] P[E F ] 2 Se Eventos E e F são independentes, então P(E F ) = P[E]+P[F ] P[E F ] = P[E]+P[F ] P[E] P[F ] 3 Se Eventos E e F são mutuamente exclusivos, então P[EF = ] = 0, logo P(E F ) = P[E] + P[F ] Introdução a Teoria da Probabilidade 14/14