Sistemas Fuzzy Lógica Fuzzy e Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Transcrição

1 Sistemas Fuzzy Lógica Fuzzy e Sistemas Baseados em Regras Fuzzy Profa. Dra. Sarajane M. Peres e Prof. Dr. Clodoaldo A. M. Lima EACH USP

2 } Baseado em: Dimensão Topológica e Mapas Auto-Organizáveis de Kohonen. Sarajane Marques Peres. Tese de Doutorado defendida na Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, da Universidade Estadual de Campinas, An introduction of Fuzzy Sets: Analysis and Design. Witold Pedrycz e Fernando Gomide. Mit Press, 1998.

3 Introdução } Instituições sociais, políticas e educacionais utilizam-se de classificações para dividir a sociedade em categorias, de acordo com a sua renda familiar. } Esta rotulação varia de sociedade para sociedade, de época para época, e admite diferentes rótulos em diferentes contextos. } Modelar essa situação não é fácil. } Por exemplo: Considere a seguinte categorização realizada com base na renda familiar brasileira: uma família que recebe menos de R$100,00 por mês e por membro é considerada pobre ; por outro lado, é considerada rica aquela família que recebe acima de R$2.500,00 por mês e por membro. } Sobre classificações deste tipo desenvolvem-se programas de assistência social, tabelas de tarifas de impostos, entre outras modelagens que podem afetar direta ou indiretamente a vida dos cidadãos.

4 Introdução } A questão que se levanta desta situação não é, ao contrário do que possa parecer, se os limites de R$100,00 e R$2.500,00 estão de acordo com a realidade, mas sim, se os cidadãos que se encontram nas margens destes limites estão sendo adequadamente tratados pelos modelos que os representa. } A teoria de Conjuntos Fuzzy é capaz de adequar os modelos de descrição e tratamento de situações do mundo real às reais necessidades de representação. } A essência dessa teoria está na aceitação da incerteza como um fato das situações reais, que deve ser apropriadamente modelado e tratado por métodos matemáticos quando existe a intenção desses em interpretar e lidar com situações do mundo real.

5 Introdução: poder de expressividade } Interpretação geométrica e poder de expressividade } A teoria de conjuntos fuzzy é uma generalização da teoria de conjuntos que nos liberta da dicotomia imposta por esta última e aumenta o poder de expressividade os conjuntos.

6 Introdução } Uma modelagem utilizando a teoria de conjuntos fuzzy poderia representar o conjunto de pessoas que pertencem à classe pobre como aqueles que possuem uma renda em até R$100,00 por mês por membro e, utilizando-se de uma função decrescente, modelar a pertinência parcial daquelas que possuem uma renda de R $100,00 ou mais. } Dessa forma, a modelagem poderia expressar que uma pessoa vivendo em uma família cuja renda por mês por membro é R$110,00 é pobre, porém não tanto quanto aquela que pertence a uma família cuja renda por pessoa por mês é R$98,00. } É possível também definir uma generalização da lógica proposicional, permitindo criar modelos computacionais que lidem com expressões em linguagem natural, capazes de resolver problemas com um grau de precisão avançado e de lidar com conceitos de acordo com o que eles significam no contexto em que estão inseridos. } Essa computação é embasada pela teoria do raciocínio aproximado.

7 Introdução: verdade (?) } Conceito básico } Grau de crença: } População composta de ocidentais e orientais } Probabilidade de alguém ser oriental } Grau de verdade: } População de mestiços } Grau de verdade na afirmação x é oriental.

8 Introdução: Paradoxo do Careca } Tirar um fio de cabelo de uma pessoa não a torna careca. } Uma pessoa, inicialmente não-careca, se torna careca se tirarmos seus fios de cabelo um a um. Mas, em nenhuma das etapas ele se tornou careca. } Logo, ela se tornou careca sem se tornar careca. } Este paradoxo desarma a lógica tradicional.

9 Introdução } O conhecimento humano é incerto, incompleto ou impreciso. } Ex.: Você vai para o show do Eric Clapton? } talvez sim. } se não chover eu vou. } se o ingresso não for caro vou. } vou logo cedo. } Muitas das frases e estimativas humanas não são facilmente definidas através de formalismos matemáticos.

10 Contextualizando } Teoria de conjuntos fuzzy (teoria de base) } Lógica Fuzzy (formalização) } raciocinador } Sistemas Fuzzy (implementação)

11 Conceitos Básicos } A pertinência de um elemento a um conjunto é caracterizada pela função característica (ou função de pertinência) que define esse conjunto. } Conjunto crisp (clássico) µ A : X { 0,1} Função de pertinência de um conjunto clássico A é µ A, onde X é o universo de discurso. } Conjunto fuzzy µ A : X [ 0,1 ] Função de pertinência de um conjunto fuzzy A é µ A, onde X é o universo de discurso (um conjunto de elementos crisp).

12 Conceitos Básicos } Uma das formas possíveis para representar um conjunto fuzzy: Se definido em um universo finito e discreto, com cardinalidade n, então um conjunto fuzzy é dado na forma de um vetor n-dimensional cujas entradas denotam os graus de pertinência dos elementos de X. Se X = {x 1, x 2,..., x n } então um conjunto fuzzy A = {(a i /x i ) x i ε X} pode ser escrito como A = a 1 /x 1 + a 2 /x a n /x n = Σ i=1:n a i /x i Essa notação não deve ser confundida com a soma algébrica

13 Conceitos Básicos } Representação usando funções: Ex.: Função triangular (veja outras em Pedrycs e Gomide, pg 9). A(X) = 0, se x <= a x a / m a, se x ε [a, m] b x / b m, se x ε [m, b] 0, se x > = b Onde m é um valor modal e a e b detonam os limites inferior e superior, respectivamente, para valores diferentes de 0 para A(x).

14 Conceitos Básicos } A função de pertinência, que define a pertinência de um elemento a um conjunto fuzzy, pode assumir diversas formas: Quatro formas diferentes de representar o conceito de números reais próximos a 2 por meio e conjuntos fuzzy.

15 Conceitos Básicos } Exemplos: PARAMS = [A B C] is a 3-element vector that determines the break points of this membership function. Usually we require A <= B <= C. PARAMS = [A B C D] is a 4-element vector that determines the break points of this membership function. We require that A <= B and C <= D.

16 Contextualizando... Um projeto Longo Grau de Pertinência µ(x) Duração(em semanas) Duração(em semanas)

17 Contextualizando...

18 Operações com conjuntos fuzzy } As operações entre conjuntos também são generalizadas Complemento:

19 Operações com conjuntos fuzzy } A generalização das operações de interseção e união podem ser feitas por mais de um modelo. } Interseção (t-normas) O operador min (^) é uma t-norma (maior interseção) } União (s-normas) O operado max (v) é uma s-norma (menor união)

20 Modificadores } Concentração: quando um conjunto fuzzy é concentrado, sua função de pertinência assume valores relativamente menores. } Con_A(x) = A p (x) } Note que a operação modifica os graus de pertinências dos valores do universo de discurso ao conceito representado. } O conjunto muda.

21 Modificadores } Dilatação: quando um conjunto fuzzy é dilatado, sua função de pertinência assume valores relativamente maiores. } Dil_A(x) = A r (x), onde r ε [0,1] } Note que o efeito é contrário àquele obtido na concentração.

22 Modificadores } Intensificação de contraste: os valores de pertinência menores do que ½ são diminuídos enquanto os valores maiores são elevados.

23 Modificadores } Fuzzificação: o efeito é complementar ao efeito da intensificação de contraste.

24 Variáveis Linguísticas } Pode-se definir uma variável lingüística informalmente como uma variável cujos valores são palavras ou sentenças, ao invés de números.

25 Variáveis Linguísticas } Formalmente, uma variável lingüística é caracterizada pela quíntupla: Sendo: X o nome da variável; < X, T(X), X, G, M> T(X) o conjunto de termos de X cujos elementos são rótulos de valores lingüísticos de X; G uma gramática para gerar os nomes de X; M uma regra semântica para associar cada rótulo L ε T(X) ao significado M(L) que é um conjunto fuzzy no universo X, cuja variável base é x.

26 Contextualizando } Variável lingüística chamada temperatura. X = temperatura com temperaturas variando no intervalo T = [0,50] e variável base t ε T. O conjunto de termos associado a essa variável pode ser, entre outros, T(temperatura) = muito baixa, baixa, média, alta, não baixa e não muito alta, muito alta em que cada termos em T(temperatura) é um rótulo de um valor lingüístico de temperatura. M(T) é um conjunto fuzzy de T, cuja função de pertinência T(t) cobre a semântica do nome de T. Os termos muito baixa, não baixa e não muito alta e muito alta podem ter suas funções de pertinência derivadas da aplicação de interseção ou complemento e/ ou da aplicação de modificadores sobre as funções de pertinências dos termos baixa e alta, caracterizando a computação com variáveis e termos lingüísticos.

27 Uma gramática } V = {baixo, alto, médio, muito, não, e...}. } Σ = {S, A, B, C, D, E, F,...} } e P S à A; C à E; A à B; A à A e B; B à C; B à not C; C à D; C à F; C à muito D; E à muito E; D à baixo; E à alto; F à médio;

28 Relações } Relações fuzzy são uma generalização do conceito clássico de relações, e admitem a noção de associação parcial entre pontos num universo e discurso. } Relação clássica: } Relação fuzzy: R = R = 0,3 0 0,7 0,5 0,9 0,8 1,0 1,0 0,4 0,5 1,0 0 Exemplo com clustering: clássico e fuzzy.

29 Relações: exemplo Exemplo: X = { chuvoso, nublado, ensolarado } Y = { nadando, pedalando, acampando, lendo }

30 Lógica Fuzzy } Os graus de pertinência A(x) para x ε X, podem ser interpretados como os valores verdade da proposição x é um membro do conjunto A. } Os valores verdade, para todos x ε X, de qualquer proposição x é P, podem ser interpretados como graus de pertinência P(x) pelos quais o conjunto fuzzy caracterizado pela propriedade P é definido em X. } Tem-se então as proposições fuzzy que caracterizam a lógica fuzzy. } A lógica fuzzy pode ser vista como um veículo para computação com valores verdade lingüísticos. } Uma proposição clássica requer ser verdadeira ou falsa, já em proposições fuzzy, a veracidade ou falsidade é expressa em termos de graus. Esse graus podem ser expressos por número no intervalo unitário ([0,1]) ou por rótulos lingüísticos (verdadeiro ou muito verdadeiro).

31 Lógica Fuzzy } Uma proposição fuzzy é vista como uma representação de um pedaço de conhecimento e é definida na forma X é A, em que X é o nome de um objeto e A é o nome de um conjunto fuzzy no universo de discurso X. } Esta proposição é associada a dois conjuntos fuzzy: Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X O conjunto fuzzy definido em [0,1] que representa que o valor verdade τ de X é A.

32 Contextualizando Pressão é pequena e muito verdadeiro } O universo de discurso X é o universo da variável linguística pressão ; } pequena é um termo linguístico representado por um conjunto fuzzy correspondente a A; } muito verdadeiro corresponde ao segundo conjunto fuzzy que representa o valor verdade da proposição.

33 Proposições Fuzzy Simples 1. Proposições fuzzy não-condicionais e não-qualificadas: p1: V is F Seja V a temperatura do ar e seja F a função de pertinência que representa, num dado contexto, o predicado (ou termo lingüístico) alto. p1 : temperatura (V) is alta (F) O grau de verdade da proposição p1 depende do valor atual da temperatura e da definição do predicado alto.

34 Proposições Fuzzy Simples 2. Proposições fuzzy não-condicionais e qualificadas: p2: {V is F} is S em que V e F tem o mesmo significado que em p1 e S é um qualificador verdadeiro fuzzy, representado por um conjunto fuzzy. Tina é jovem é muito verdade o predicado jovem e o qualificador muito verdade são conjuntos fuzzy. Assumindo que o valor 26 anos tem grau de pertinência 0,87 ao conjunto fuzzy jovem e que o valor 0,87 tem grau de pertinência 0,76 ao conjunto fuzzy muito verdade, a proposição do exemplo pertence ao conjunto de proposições que são MUITO VERDADE com grau de pertinência 0,76. 0,76 é o seu grau de verdade.

35 Proposições Fuzzy Simples 3. Proposições fuzzy condicionais e não-qualificadas: p3: se (X) é A, então (Y) é B em que X e Y são variáveis cujos valores estão nos conjuntos X e Y respectivamente; e A e B são conjuntos fuzzy em X e Y, respectivamente. Implicação fuzzy: regras do tipo if-then são um tipo de combinação de proposições que dão origem às regras de inferência fuzzy (utilizadas no raciocínio aproximado fuzzy).

36 Proposições Fuzzy Simples 4. Proposições fuzzy condicionais e qualificadas. p4: se (X) é A, então Y é (B) é S

37 Implicação Fuzzy } Na lógica clássica a operação de implicação pode ser definida de diferentes, porém equivalentes, formas. } Na lógica fuzzy, diferentes formas de definir a operação de implicação gera diferentes classes de implicações fuzzy (não são equivalentes). } Ex.: Clássica: A => B A V B Fuzzy: A => B u(c(a),b)

38 Estudando Inferência Fuzzy } Considere as variáveis X e Y que assumem valores nos conjuntos X e Y, respectivamente, e assuma que para todo x ε X e todo y ε Y, as variáveis se relacionam pela função y = f(x). } Então, dado X = x, nós podemos inferir que Y = f(x). } Similarmente, sabendo que o valor de X está em um conjunto A, nós podemos inferir que o valor de Y está em um conjunto B = {y ε Y y = f(x), x ε A} Y f(x) y = f(x) B Y y = f(x) x X A X

39 Estudando Inferência Fuzzy } Agora, assumindo que as variáveis estão relacionadas por meio de um relação arbitrária (X x Y). } Então, dado X = u e uma relação R, nós podemos inferir que Y ε B, onde B = {y ε Y <x,y> ε R}. } Similarmente, sabendo que X ε A, nós podemos inferir que Y ε B, onde B = {y ε Y <x,y> ε R, x ε A}. Dado um valor para X, posso inferir vários para Y.

40 Estudando Inferência Fuzzy } Assumindo que R é uma relação fuzzy e que A e B são conjuntos fuzzy em X e Y. Então, se R e A são dados, nós podemos obter B: B (y)= sup min x ε X [A (x), R (x,y)] } } A relação R, geralmente, emerge de várias proposições condicionais fuzzy. E o seguinte esquema ilustra o modens ponens generalizado: Regra: Se X é A, então Y é B Fato: X é A Conclusão: Y é B. Observe que são proposições fuzzy. O mesmo raciocínio é possível para: o modus tollens generalizado e para o silogismo hipotético generalizado.

41 Interpretando Observe que o valor de entrada para a inferência é um valor CRISP (eixo X).

42 Interpretando

43 Defuzificando } A conclusão obtida no processo de combinação das regras de inferência é um conjunto fuzzy formado a partir das combinações adequadas das ativações das conclusões das regras mediante as ativações das premissas das regras. } Tal conjunto representa, de maneira fuzzy, as respostas do processo de inferência à ocorrência de um ou mais fatos no sistema modelado. } Para que essa resposta tenha um sentido prático no universo de discurso modelado é necessário, na maioria das vezes, extrair um valor crisp do domínio onde as conclusões são modeladas. } Para tal é necessário aplicar um métodos de defuzificação: Ex.: Centróide;