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1 Lógicas Difusas que Parecem Clássicas Benjamín R. Callejas Bedregal Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Informática e Matemática Aplicada Laboratório de Lógica e Inteligência Computacional bedregal@dimap.ufrn.br Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 1/5

2 MOTIVAÇÃO Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 2/5

3 Informação Quando damos uma informação temos dois lados: a sintaxe (convenções da forma como é dada a informação, por exemplo em português escrito) e sua semântica, que seria a informação propriamente dita. Ao momento de escrever a informação que desejo transmitir o receptor não necessariamente entenderá com fidelidade essa informação. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 3/5

4 Tipos de Ambigüidades Incompleta: Não entendível pela falta de conhecimento. Por exemplo, se ela for dada em japonês ou pressupor conhecimentos prévios que não possuo. Ambigüidade: Algumas palavras ou figuras podem ter mais de um significado Aleatoriedade: Sobre eventos que ocorreram no futuro e que podem ser calculado com probabilidades. Imprecisão: Informações não precisas ou não exatas. Contempla os casos que incluem erros ou ruídos. Fuzzy: Incapacidade de definir precisamente um conceito veiculado na informação. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 4/5

5 Imprecisão dos conceitos Não se imagina que tudo é vago até que se tenta faze-lo de maneira precisa. Bertrand Russel Quando as leis da matemática referem-se à realidade elas não estão certas. Quando estas leis estão certas elas não se referem à realidade. Albert Einstein Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 5/5

6 Limitações da Lógica Aristotélica Os predicados são sempre ou verdadeiros ou falso, pois os sujeitos sobre os quais se predica são objetos classificados em categorias muito bem definidas. Um objeto pertence a uma categoria ou não. Ex: uma figura geométrica ou é um quadrado ou não. Como classificar exatamente os predicados: O carro está andando muito rápido. A freqüência cardíaca de João está normal Esta sala é grande. etc. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 6/5

7 Paradoxo de sorites Embora teoria dos conjuntos clássicos sejam a base de toda a matemática moderna, ela apresenta problemas para modelar uma enorme classe de problemas reais. O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto ou não alto), denominado de paradoxo de sorites (que em grego significa feixe ou monte), é atribuído a Eubulides de Mileto, um dialético adversário de Aristóteles. O paradoxo foi enunciado originalmente como segue: "Quando um monte de areia deixa de ser um monte de areia, caso tiremos um grão de areia de cada vez?" Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 7/5

8 INTRODUÇÃO Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 8/5

9 Conjuntos fuzzy Na teoria dos conjuntos um objeto do universo de discurso simplesmente pertence ou não ao conjunto, Na teoria dos conjuntos fuzzy (TCF) todo objeto do universo de discurso pertence ao conjunto em algum grau. Tipicamente valores no intervalo [0, 1], onde 0 significa que absolutamente não está e 1 que está completamente. TCF foi introduzida por Lofti Zadeh em Conjuntos fuzzy Termo lingüístico (Ex. Idosos) Universo de Discurso Variável lingüística (Ex. idade) Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 9/5

10 Lógica fuzzy Teoria dos conjuntos e Lógica. Lógica fuzzy proposições atômicas quando interpretadas tem um grau de valor verdade. Conectivos lógicos (binários, por exemplo) fuzzy são modelados por funções de [0, 1] [0, 1] [0, 1] Fórmulas universalmente válidas Teorias formais Formas normais Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 10/5

11 FUNÇÕES DE PERTINÊNCIA Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 11/5

12 Função característica Universo de discurso Em teoria dos conjuntos clássica todo conjunto A num determinado universo de discurso U pode ser identificado com a função χ A : U U definida por: 1, se x A χ A (x) = 0, se x A χ A é chamada função característica do conjunto A. Para χ A ser representada graficamente, primeiro U tem que ser um conjunto linearmente ordenado e A ser uma união finita de intervalos em U. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 12/5

13 Exemplo de Função Característica Exemplo: O conjunto das pessoas consideradas idosas pela lei brasileira seria: χ idoso 1 65 Idade Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 13/5

14 Funções de pertinência fuzzy Um conjunto fuzzy pode ser visto através dos graus de pertinência associados a cada objeto do universo. Ou seja, sua melhor representação é através de uma função que atribui a cada objeto do universo de discurso um grau de pertinência O universo de discurso é um conjunto clássico (Crisp), usualmente um subconjunto de R com alguma unidade de medida (graus, metros, quilos, percentagem, etc.). Quem determina qual a melhor função para un determinado conceito fuzzy (termo lingüístico)? Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 14/5

15 Exemplo O conjunto dos idosos descritos de maneira fuzzy (segundo meu ponto de vista) pode ser o seguinte: µ Idoso (x) = 1, se x 70 anos 0, se x 50 anos x 50 20, se 50 < x < 70 Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 15/5

16 Exemplo Graficamente: µ idoso Idade Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 16/5

17 Funções de pertinência Lineares São as mais fáceis de serem descritas e implementadas Triangulares, trapezoidais e semi-trapezoides. µ 1 a b c d U Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 17/5

18 Funções de pertinência curvas Sigmoidais e beta Graficamente: µ 1 a b c d U Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 18/5

19 Aplicações de Lógica Fuzzy 1. Ar-condicionado onde o sistema fuzzy controla o funcionamento do aparelho de acordo com a temperatura e as preferências do usuário. Companhias que fabricam: Mitsubishi, Hitahi, Sharp, Matsushita. 2. Industria automobilística: Sistemas fuzzy controlam a força com que os freios são acionados para evitar derrapagens. A Mitsubishi desenvolveu um sistema que controla ao mesmo tempo a suspensão, transmissão, direção, tração e ar-condicionado. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 19/5

20 Aplicações de Lógica Fuzzy 1. Copiadora: Ajusta a voltagem do tambor baseado na densidade da figura, temperatura e luminosidade. Companhia: Canon. 2. Elevadores: Reduz o tempo de espera baseado no tráfego. Companhia: Fujitec, Mitsubishi e Toshiba. 3. Palmtop: Reconhece caracteres Kanji manuscritos 4. Golfe: Escolhe tacos 5. etc. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 20/5

21 LÓGICAS FUZZY Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 21/5

22 Conjunção/Intersecção clássica Ha um estreito relacionamento entre o conectivo lógico "e" e a intersecção de conjuntos. Tabela da conjunção: α β α β Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 22/5

23 Propriedades da Conjunção Propriedades da conjunção: α β = β α α (β γ) = (α β) γ α 1 = α α 0 = 0 Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 23/5

24 T-normas Normas triangulares (t-norms) foram introduzidas em 1942 por Menger para modelar distancia em espaços métricos probabilísticos Em 1962 Schweizer e Sklar deram uma axiomatização e dividiram as Normas triangulares entre t-normas e t-conormas. Alsina, Trillas e Valverde em 1980 usaram t-normas para modelar conjunção fuzzy generalizando diversas interpretações para conjunção fuzzy dadas até esse então. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 24/5

25 T-normas T : [0, 1] [0, 1] [0, 1] é uma t-norma se é simétrica, i.e. T(x,y) = T(y,x) é associativa, i.e. T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z) é monotônica, i.e. se x x e y y então T(x,y) T(x,y ) 1-identidade, i.e. T(x, 1) = x Seja T uma t-norma, então T(x,y) = x y se x,y {0, 1}. T T se x,y [0, 1], T(x,y) T (x,y) Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 25/5

26 Exemplos de t-normas As t-normas mais conhecidas são: Gödel: T G (x,y) = min(x,y) Łukaciewisz: T L (x,y) = max(x + y 1, 0) Produto: T P (x,y) = xy Fraca: T W (x,y) = 1 se max(x,y) = 1 e T W (x,y) = 0 caso contrário Hamacher: Seja γ 0, T H,γ (x,y) = xy γ+(1 γ)(x+y xy) Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 26/5

27 Propriedades de t-normas Proposição: Seja T uma t-norma. T W T T G. Proposição: Sejam T 1 e T 2 t-normas. então T S (x,y) = max(t 1 (x,y),t 2 (x,y)) e T i (x,y) = min(t 1 (x,y),t 2 (x,y)) são t-normas. Corolário: A classe das t-normas é um reticulado completo. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 27/5

28 Disjunção clássica Tabela verdade da disjunção clássica: α β α β Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 28/5

29 t-conormas são funções S : [0, 1] 2 [0, 1] é uma conorma triangular(t-conormas) se Simétria: S(x,y) = S(y,x) Associatividade: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) Monotonicidade: Se x x e y y então S(x,y) S(x,y ) 0-identidade: S(x, 0) = x Se x,y {0, 1}, então S(x,y) = x y. x (0, 1) é 1-divisor não trivial de S se existe y (0, 1) tal que S(x,y) = 1. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 29/5

30 Exemplos de t-conormas Seja T uma t-norma, então S T (x,y) = 1 T(1 x, 1 y) é uma t-conorma S TG (x,y) = max(x,y) S TP (x,y) = x + y xy S TL (x,y) = min(x + y, 1) Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 30/5

31 Implicações clássicas Tabela da implicação clássica α β α β Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 31/5

32 Implicações fuzzy I : [0, 1] 2 [0, 1] é uma implicação fuzzy se Se x z então I(x,y) I(z,y) Se y z então I(x,y) I(x,z) I(0,y) = 1, I(x, 1) = 1 e I(1, 0) = 0 Trivialmente, se x,y {0, 1}, I(x,y) = x y. Seja T uma t-norma. I T (x,y) = Sup{z : T(x,z) y} é uma implicação fuzzy, conhecida como resíduo de T. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 32/5

33 Exemplos de R-implicações I TP (x,y) = I TG (x,y) = 1 se x y y x caso contrário 1 se x y y caso contrário I TL (x,y) = 1 se x y 1 + y x caso contrário Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 33/5

34 Negação A negação clássica é definida por 0 = 1 e 1 = 0 N : [0, 1] [0, 1] é uma negação fuzzy se N(0) = 1 e N(1) = 0 Se x y então N(x) N(y) Uma negação fuzzy é forte se satisfaz a propriedade involutiva, isto é N(N(x)) = x. Toda negação forte é contínua. Seja I uma implicação fuzzy, então N I (x) = I(x, 0) é uma negação fuzzy Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 34/5

35 Ponto de equilíbrio e [0, 1] é um ponto de equilíbrio de uma negação fuzzy N se N(e) = e. Toda negação forte tem exatamente um ponto de equilíbrio. N TL (x) = 1 x. Neste caso e = 0.5. N TP (x) = N TG (x) = 1 se x = 0 0 caso contrário Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 35/5

36 Outros exemplos Outros exemplos são: Negação de Sugeno (generalizada por Hamacher) N S (x) = 1 x 1+λx com λ [1, ) Ponto de equilíbrio de N S é e = λ+1 1 λ. Negação intuicionistica ou de Yager: N Y (x) = (1 x α ) 1 α com α (0, ). Ponto de equilibrio de N Y é e = α 0.5. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 36/5

37 Bi-implicações fuzzy A bi-implicação clássica é definida como: x y = 1 sss x = y. B : [0, 1] 2 [0, 1] é uma bi-implicação fuzzy se B1: B(x,y) = B(y,x), B2: Se x = y então B(x,y) = 1, B3: B(0, 1) = 0, B4: Se x y z então B(x,y) B(x,z) e B(y,z) B(x,z). B T,I (x,y) = T(I(x,y),I(y,x)) é uma bi-implicação. Denotaremos B T,IT por B T (bi-residuo de T ). Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 37/5

38 Exemplo de Bi-implicações fuzzy B TG (x,y) = 1 se x = y min(x, y) senão B TP (x,y) = 1 se x = y min(x,y) max(x,y) senão B TL (x,y) = 1 se x = y 1 + min(x,y) max(x,y) senão Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 38/5

39 Lógicas Proposicionais Seja P um conjunto de símbolos proposicionais. A linguagem L P é o menor conjunto tal que P {0} L P e se α,β L P então α, (α β), (α β), (α β), (α β) L P. Lógicas proposicionais são pares L P, = onde = (L) L é uma relação, chamada de conseqüência lógica, que satisfaz: Reflexividade: Γ = α se α Γ Monotonicidade: Se Γ = α então Γ = α Transitividade (ou corte): Se Γ = α e Γ {α} = β então Γ = β Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 39/5

40 Semântica Fuzzy para L P Tuplas F = T,S,I,N,B onde T é uma t-norma, S um t-conorma, I uma implicação fuzzy, N uma negação fuzzy e B uma bi-implicação fuzzy são chamadas de semânticas fuzzy. Seja µ : P [0, 1]. Defina µ F : L P [0, 1] por µ F (p) = µ(p) µ F (0) = 0 µ F ( α) = N(µ F (α)) µ F (α β) = T(µ F (α),µ F (β)) µ F (α β) = S(µ F (α),µ F (β)) µ F (α β) = I(µ F (α),µ F (β)) µ F (α β) = B(µ F (α),µ F (β)) Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 40/5

41 T -Tautologias Uma formula α L P é uma 1-tautologia em T, ou simplesmente uma T -tautologia, denotado por = T α, se para cada evaluation fuzzy e, T e (α) = 1. Proposition: Seja T uma semântica fuzzy e α L P. Se = T α então = α (tautologia clássica). Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 41/5

42 Partições Intervalares Binárias Para todo α [0, 1] os conjuntos {[0,α], (α, 1]} e {[0,α), [α, 1]} são chamadas de partições intervalares binárias. Uma t-norma T é crisp para uma partição intervalar {P 1,P 2 } se T(x,y) P 2 sss x,y P 2. Uma t-conorma S é crisp para uma partição intervalar {P 1,P 2 } se S(x,y) P 1 sss x,y P 1. Uma implicação fuzzy I é crisp para uma partição intervalar {P 1,P 2 } se I(x,y) P 1 sss x P 2 e y P 1. Uma bi-implicação fuzzy B é crisp para uma partição intervalar {P 1,P 2 } se B(x,y) P 1 sss max(x,y) P 2 e min(x,y) P 1. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 42/5

43 Proposição Proposição: Seja T uma semântica fuzzy. T é crisp para uma partição intervalar {P 1,P 2 } sss para cada α L P, (1) V k e (α) = k T e (α) onde V f é a extensão clássica de uma evaluação f e k : I {0, 1} é a função definida por 0, se x P 1 k(x) = 1, se x P 2 Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 43/5

44 Comentarios da proposição A proposição, mostra que quando uma semântica fuzzy T é crisp para uma partição intervalar, a evaluação de qualquer fórmula é parecida com a clássica. Isto aparentemente seria suficiente para concluir que cada tautologia (clássica) é uma T -tautologia. Mas é só aparente. Por exemplo a partição P = {[0, 0], (0, 1]} e semântica fuzzy G = T G,I TG,N TG,S TG,B TG é crisp para P. Porém, a tautologia α α não é uma G-tautologia. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 44/5

45 Consequências Semânticas A noção clássical de consequência lógica pode ser generalizada em duas formas: 1. Considerando elas como relações fuzzy 2. Considerando elas como uma relação clássical. Em ambos casos diversas definições tem sido dadas. Aqui seguiremos a segunda linha. Uma fórmula α L P é uma consequência lógica de Γ L P com respecto a P e T, denotado por Γ = P T α, se para cada evaluação e ou T e (α) P 2 ou existe γ Γ tal que T e (γ) P 1. Esta noção de consequência semântica é reflexiva, associativa e transitiva Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 45/5

46 Teorema da Dedução Teorema: Seja P = {P 1,P 2 } uma partição intervalar e T uma semântica fuzzy. Se I é crisp para P então ara cada Γ L P e α,β L P, Γ,β = P T α sss Γ = P T β α Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 46/5

47 Sistema de provas da Lógica de Göd Axiomas: G 1 : (α β) ((β γ) (α γ)) G 2 : α (α β) G 3 : (α β) (β α) G 4 : (α γ) ((β γ) ((α β) γ)) G 5 : (α β) α G 6 : (α β) (β α) G 7 : (α β) ((α γ) (α (β γ))) G 8 : (α (β γ)) ((α β) γ) G 9 : ((α β) γ) (α (β γ)) G 10 : (α α) β G 11 : (α (α α)) α G 12 : (α β) (β α) Inference rule: Modus ponens Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 47/5

48 Semântica da Lógica de Gödel Seja G = T G,S TG,I TG,N ITG α α e (α β) (β α) são G-tautologias α α e α α não são G-tautologias Teorema da Completude: Γ = G α sss Γ G α. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 48/5

49 Lógicas fuzzy tipo clássicas Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 49/5

50 Condição de Suficiência Lema: Seja T uma semântica fuzzy e P = {[0, 1), [1, 1]}. Se T é crisp para P então para cada α,β,γ L P as fórmulas A 1 def = α (β α) A 2 def = (α (β γ)) ((α β) (α γ)) A 3 def = ( β α) (( β α) β) A 4 def = α β β A 5 def = α (β (α β)) A 6 def = α (α β) A 7 def = β (α β) Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 50/5

51 Condição de Suficiência (continuaçã A 8 def = (α γ) ((β γ) (α β γ)) A 9 def = (α β) ((α β) α) A 10 def = α α A 11 def = (α β) ((α β) (β α)) A 12 def = ((α β) (β α)) (α β) são T -tautologias. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 51/5

52 Condição de Suficiência (continuaçã Assim, os axiomas de Kleene para a lógica proposicional são tautologias em semântica fuzzy que satisfazem a condição de suficiência. Lema: Seja T uma semãntica fuzzy semantics crisp para P e α,β L P. Se = T α e = T α β entao = T β. Observe que este lema diz que Modus Ponens preserva T -tautologias quando T é crisp para P. Teorema: Seja T uma semântica fuzzy crisp para P. Para cada α L P, = α if, only if, = T α. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 52/5

53 Condição de Necessidade Lema: Uma semântica fuzzy T é crisp para P sss 1. S não tem 1-divisores não triviais, 2. I(x,y) = 1 sss x < 1 ou y = 1 3. N é a negação fuzzy N C (x) = 1, se x < 1 0, se x = 1 4. B(x,y) 1 sss x = 1 e y < 1, ou y = 1 e x < 1 Note que não há restrições sobre as t-norms, pois todas elas são crisp para P. I não pode ser uma R-implicação. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 53/5

54 Exemplo G = G,I G,N C,S G,B G, where 1, if x < 1 I G(x,y) = y, otherwise B G (x,y) = min{x,y}, if max{x,y} = 1 1, otherwise Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 54/5

55 Teoremas principais Teorema: Seja T uma semântica fuzzy. Se para cada α L P, = α implica em = T α então T é crisp para P. Teorema: Seja T uma semântica fuzzy semantics crisp para P. Então para cada Γ L P e α,β L P Γ = b P T α sss Γ = α Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 55/5

56 Perguntas em aberto Então o maior conjunto de T -tautologias são as tautologias. Mas será que existe um menor conjunto? Será que existem duas lógicas fuzzy disjuntas? se existirem, será que podemos unificar elas? Que tão sensíveis são as lógicas fuzzy a pequenas mudanças em seus operadores? Por exemplo via automorfismos. Em quais lógicas fuzzy as formas normais conjuntivas e/ou disjuntivas são preservadas? Será que toda lógica fuzzy é axiomatizável? etc. Lógicas Difusas que Parecem Clássicas p. 56/5