Lógica proposicional

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1 Lógica proposicional Sintaxe Proposição: afirmação que pode ser verdadeira ou falsa Proposições podem ser expressas como fórmulas Fórmulas são construídas a partir de símbolos: De verdade: true (verdadeiro), false (falso). De pontuação: (, ) Proposicionais (Letras sentenciais): P, Q, R, S,...etc. Operadores lógicos (Conectivos proposicionais): Unário: (não) Binários: (e); (ou); então ( ); se e somente se ( ); (ou exclusivo)

2 Lógica proposicional Sintaxe Uma fórmula escrita de forma correta denomina-se fórmula bem formada (fbf). Regras de formação de fbf Qualquer letra sentencial (P, Q, R,...etc.) é uma fbf Se P é uma fbf, então P também é uma fbf. Se P e Q são fbfs, então P Q; P Q ; P Q; P Q; P Q também são fbfs.

3 O operador e ( ) A frase José compra tijolos e vende casas é uma proposição composta, conjunção de duas proposições: (José compra tijolos) e (José vende casas) P Q Note que a palavra e em português tem vários sentidos, e nem todos correspondem à conjunção lógica. Por exemplo: Maria gosta de arroz e feijão não significa Maria gosta de arroz e Maria gosta de feijão (uma proposição composta), mas sim Maria gosta de arroz misturado com feijão (uma proposição só).

4 Uma variedade de termos pode ser usada para expressar o e. Exemplo: Trabalhei muito, mas não fui promovido: (Eu trabalhei muito) e (Eu não fui promovido) A conjunção mas pode ser substituída por: porém, todavia, contudo, entretanto, no entanto. **Cuidado: não existe no entretanto.

5 Exemplos: Trabalhei muito, porém não fui promovido. Trabalhei muito, contudo não fui promovido. Trabalhei muito, todavia não fui promovido. Trabalhei muito, entretanto não fui promovido. Trabalhei muito, no entanto não fui promovido.

6 O operador ou ( ) A frase O cliente tem celular ou laptop é uma disjunção de duas proposições atômicas: (O cliente tem celular) ou (O cliente tem laptop) Este conectivo é também chamado de ou inclusivo, pois permite que as duas frases sejam verdadeiras. A frase acima é verdadeira se o cliente tem apenas celular, apenas laptop, ou celular e laptop.

7 O operador não ( ) A partir de uma proposição P, podemos formar uma nova proposição com o valor lógico oposto ao de P. Essa nova proposição é chamada a negação de P e denotada por P. Em português, a negação pode ser expressa de várias formas, por exemplo, acrescentando a palavra não antes do verbo ou dizendo: não é verdade que.... Por exemplo a frase A casa é de qualquer cor menos branca. é uma negação: (A casa é branca).

8 O operador de implicação então A implicação é um dos mais importantes conetivos da lógica e da matemática. Muitos teoremas em matemática estão na forma de implicações: se determinada afirmação P (a hipótese, premissa, ou antecedente) é verdadeira, então outra afirmação Q (a tese, conclusão ou conseqüência) também é verdadeira.

9 Uma variedade de termos pode ser usada para expressar P Q:

10 Proposições condicionais e proposições derivadas, dada a proposição P Q têm-se: Proposição contrapositiva: Q P Proposição oposta: Q P Proposição inversa: P Q

11 Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade) Exemplo: seja P = Eu sou rico, logo, P = Eu não sou rico. Na linguagem natural, não significa necessariamente que sou pobre, mas, essas situações não são contempladas na Lógica clássica.

12 Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade) Exemplo: seja P = Lucas pulou na piscina, Q = Lucas se molhou.

13 Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade) Exemplo: seja P = Esta chovendo, Q = Esta fazendo sol.

14 Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade) Exemplo: P = Está chovendo, Q = A rua está molhada. Se esta chovendo, então a rua está molhada. A rua está molhada, se está chovendo. Estar chovendo é suficiente para que a rua esteja molhada. A rua molhada é necessária para que esteja chovendo.

15 Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade) Exemplo: p = Maria aprova Lógica q = Maria tem média 6,0. Maria aprova Lógica se, e somente se, ela tem média 6,0 Envolve dois condicionais: Se Maria aprova Lógica, então ela tem média 6,0 e Se Maria tem 6,0 na média de Lógica, então ela é aprovada.