Capítulo 3 Lógica de Primeira Ordem

Transcrição

1 Capítulo 3 Lógica de Primeira Ordem Lógica para Programação LEIC - Tagus Park 1 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08 c Inês Lynce and Luísa Coheur

2 Bibliografia Martins J.P., Lógica para Programação, Capítulo 3. Ben-Ari M., Mathematical Logic for Computer Science, Springer-Verlag, 2003, Capítulos 5 e 7. Huth M. e Ryan M., Logic in Computer Science, Cambridge University Press, 2004, Capítulo 2.

3 Programa Apresentação Conceitos Básicos Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional Lógica de 1 a ordem ou Lógica de Predicados Programação em Lógica Prolog

4 Programa Apresentação Conceitos Básicos Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional Lógica de 1 a ordem ou Lógica de Predicados Programação em Lógica Prolog

5 Lógica de 1 a ordem programa de festas Motivação Componentes de uma Lógica 1. Linguagem (+ representação em lógica) 2. Sistema dedutivo 3. Sistema semântico

6 Lógica de 1 a ordem programa de festas Motivação Componentes de uma Lógica 1. Linguagem (+ representação em lógica) 2. Sistema dedutivo 3. Sistema semântico

7 Lógica de Primeira Ordem Motivação Em lógica clássica existem duas alternativas para a definição de uma linguagem Lógica Proposicional Lógica de Primeira Ordem

8 Como já tínhamos visto... Lógica Proposicional é baseada em proposições, isto é, frases declarativas que fazem afirmações sobre qualquer coisa.

9 Limitações da Lógica Proposicional Como representar Todos os alunos têm exactamente um número em Lógica Proposicional? Conjunção de símbolos proposicionais: Aluno João Número TemNúmero João Como referir todos e exactamente um? Como generalizar para todos os alunos e qualquer número?

10 Ora a Lógica de 1 a ordem permite criar frases com estrutura interna:

11 Exemplo Todos os alunos têm exactamente um número x(aluno(x) y(numero(x, y) z(numero(x, z) y = z))))

12 Lógica de 1 a ordem programa de festas Motivação Componentes de uma Lógica 1. Linguagem (+ representação em lógica) 2. Sistema dedutivo 3. Sistema semântico

13 Linguagem da Lógica de Primeira Ordem (L LPO ) Como já se percebeu, é necessário introduzir novos símbolos, uma nova definição de fbf e novas regras de formação.

14 Alfabeto básico Símbolos de pontuação:, ( ) [ ] Símbolos lógicos:,,,,, O símbolo lê-se não e corresponde ao operador de negação O símbolo lê-se e e corresponde ao operador de conjunção O símbolo lê-se ou e corresponde ao operador de disjunção O símbolo lê-se implica e corresponde ao operador de implicação O símbolo lê-se para todo e corresponde ao operador de quantificação universal O símbolo lê-se existe e corresponde ao operador de quantificação existencial

15 Alfabeto básico (cont.) Letras de função com n argumentos (aridade n), para n 0 e i 1: fi n Representam funções sobre os elementos da linguagem fi 0 corresponde a funções de aridade zero que representam constantes Índice i fornece uma capacidade ilimitada para criar novos nomes Letras de predicado com aridade n, para n 0 e i 1: Pi n Representam operadores sobre elementos da linguagem, produzindo valores lógicos Variáveis individuais para i 1: x i Têm como domínio os objectos da conceptualização

16 Notação Se não for confuso, usamos a, b, c,... para representar constantes e f, g, h,... para representar variáveis; Se não for confuso, usamos P, Q, R,... para representar as letras de predicado; Se não for confuso, usamos x, y, z,... para representar as variáveis.

17 Exemplos Funções capital(x) = capital de x; {(Portugal,Lisboa),(França,Paris),(Espanha,Madrid),...} soma(x, y) = x + y; {(1, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3),...} Predicados Fronteira(x, y) = x tem fronteira com y; {(Portugal,Espanha),(Espanha,França),(França,Bélgica),...}

18 Termos Termos representam objectos; correspondem a sintagmas nominais em linguagem natural São definidos recursivamente Cada letra de função com aridade zero (letra de constante) é um termo Cada variável é um termo Se t 1, t 2,..., t n são termos, então fi n (t 1, t 2,..., t n ) é um termo Nada mais é um termo

19 Exemplos capital(portugal) pai(augustus De Morgan) pai(pai(pai(augustus De Morgan))) x capital(x) pai(x)

20 Conceito Termo chão Termo sem variáveis é chamdo um termo chão (do Inglês ground term)

21 Exemplos capital(portugal) pai(augustus De Morgan) pai(pai(pai(augustus De Morgan)))

22 Fórmulas bem formadas (fbfs) Se t 1, t 2,..., t n são termos, então P n i (t 1, t 2,..., t n ) é uma fbf (atómica) Se α é uma fbf então ( α) é uma fbf Se α e β são fbfs então (α β), (α β) e (α β) são fbfs Se α é uma fbf contendo zero ou mais ocorrências da variável x então x[α] e x[α] são fbfs Nada mais é uma fbf

23 Exemplo Consideremos P letra de predicado com aridade 2 Q letra de predicado com aridade 1 A e B letras de predicado com aridade 0 f letra de função com aridade 1 g letra de função com aridade 3 a, b, c constantes x variável Então são fbfs ( P(a, g(a, b, c))) (P(a, b) x [( Q(f (x)))]) (A B) Parêntesis redundantes podem ser eliminados

24 Quantificadores Nas expressões x[α] e x[α] a fbf α é chamada domínio do quantificador ( ou ) α não tem de conter a variável x; nesse caso x[α] e x[α] são equivalentes a α

25 Conceitos variável livre e variável ligada x é variável livre em α se não for quantificada; caso contrário é variável ligada

26 Exemplo x[a(x)] contém a variável ligada x A(x) x[b(x)] contém uma ocorrência de x livre (em A(x)) e outra ligada (em B(x))

27 Conceitos fbf fechada (ou chã) fbf sem variáveis livres diz-se fechada (ou chã)

28 Vamos agora trabalhar a representação em lógica

29 Lógica de 1 a ordem programa de festas Motivação Componentes de uma Lógica 1. Linguagem (+ representação em lógica) 2. Sistema dedutivo 3. Sistema semântico

30 Sistema dedutivo programa de festas Sistema de dedução natural Conceito de substituição Novas regras de inferência Resolução Conversão para a forma clausal Conceitos de unificação Aplicação da regra de resolução Propriedades do sistema dedutivo

31 Sistema dedutivo programa de festas Sistema de dedução natural Conceito de substituição Novas regras de inferência Resolução Conversão para a forma clausal Conceitos de unificação Aplicação da regra de resolução Propriedades do sistema dedutivo

32 E lá vamos nós ao sistema dedutivo da Lógica de 1 a ordem, mas antes temos que introduzir um conceito fundamental: o de substituição.

33 Conceito Substituição Conjunto finito de pares ordenados {t 1 /x 1,..., t n /x n } x i (1 i n) é uma variável t i (1 i n) é um termo Aplicação da substituição s à fbf α (α s) corresponde à fbf obtida a partir de α substituindo todas as ocorrências da variável livre x i por t i (1 i n) P(x, f (a, y)) {a/x, f (a, b)/y} = P(a, f (a, f (a, b))) P(x, f (a, y)) {a/x, f (a, b)/y, c/z} = P(a, f (a, f (a, b))) A(x) x [B(x)] {a/x, f (a, b)/y, c/z} = A(a) x [B(x)]

34 Substituição duas restrições a reter Nenhuma das variáveis pode ser igual ao termo correspondente Sejam x, y, z variáveis e f função de um argumento OK: {f (x)/x, z/y} KO: {x/x, z/y} Numa substituição todas as variáveis têm de ser diferentes Sejam x, y, z variáveis e f, g, h funções de um argumento OK: {a/x, g(y)/y, f (g(h(b)))/c} KO: {a/x, g(y)/y, b/x, f (g(h(b)))/c}

35 Substituição: problema x P(x, f (a, y)) {a/x, x/y} = x P(x, f (a, x))) Efeito colateral indesejável Variável ligada x foi introduzida como argumento de P Alteração do significado da fbf: y era variável livre e o termo que a substitui inclui a variável x que não é livre Novo conceito: termo livre para uma variável numa fbf Nova abordagem: nem todas as substituições de variáveis livres fazem sentido

36 Notação α(x 1,..., x n ) indica que a fbf α tem (pelo menos) x 1,..., x n como variáveis livres (pode ter outras além destas)

37 Conceito termo livre para uma variável numa fbf Um termo sem variáveis é sempre livre para qualquer variável Seja α uma fbf e t um termo: t é livre para x i em α se nenhuma ocorrência livre de x i em α ocorrer dentro do domínio do quantificador / x j em que x j é uma variável em t.

38 Ou seja... Se ocorrências de x i foram substituídas por t então nenhuma ocorrência de uma variável em t deixa de ser livre em α(t) α(x 1,..., x n ) {t 1 /x 1,..., t n /x n } = α(t 1,..., t n )

39 Exemplo O termo g(y, f (b)) É livre para x na fbf P(x, y) Não é livre para x na fbf y[p(x, y)]

40 Vamos então agora ao sistema dedutivo da Lógica de 1 a ordem, nomeadamente ao sistema de dedução natural.