NHI Lógica Básica (Lógica Clássica de Primeira Ordem)

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1 NHI (Lógica Clássica de Primeira Ordem) página da disciplina na web:

2 O assunto O que é lógica? Disciplina que se ocupa do estudo sistemático das formas de argumento, a ideia de que a validade de um argumento é determinada pela sua forma lógica e não pelo seu conteúdo.

3 O assunto Silogismo aristotélico Premissa Premissa Conclusão Todo homem é mortal Sócrates é homem Sócrates é mortal

4 O assunto Silogismo aristotélico Premissa Premissa Conclusão Todo carro é Ferrari Fusca é carro Fusca é Ferrari

5 O assunto Silogismo aristotélico Premissa Premissa Conclusão Todo A é B C é A C é B

6 O assunto O que é lógica? Lógica Matemática estuda as formas de argumentos matemáticos por meio de uma linguagem formal criada artificialmente. Lógica Simbólica estuda as abstrações simbólicas que capturam as características formais dos argumentos da linguagem natural.

7 O assunto Lógica contemporânea Os lógicos contemporâneos 1 constroem linguagens simbólicas, rigorosas e livres de ambiguidades e de contexo, adequadas para lidar com a relação de consequência. As linguagens possuem duas dimensões relevantes: a sintática: os símbolos da linguagem e as regras de combinação às quais estão sujeitos para a construção dos termos e fórmulas; a semântica define precisamente o significado das fórmulas. 2 especificam um sistema dedutivo: axiomas tomados dentre as fórmulas e especificam as regras de inferência que independem da semântica.

8 Linguagem Linguagem Por que precisamos criar uma linguagem para formalizar as formas de raciocínio?

9 Linguagem Paradoxo do mentiroso Esta afirmação é falsa.

10 Linguagem Paradoxo do Barbeiro Havia, no vilarejo, um barbeiro que só fazia a barba de todas as pessoas que não faziam a própria barba.

11 Linguagem Paradoxo de Richard O menor número natural que não pode ser definido com menos de vinte palavras.

12 Linguagem Paradoxo de Russel O conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos.

13 Linguagem Metalinguagem Linguagem Metalinguagem Linguagem da lógica definida para descrever e demonstrar com rigor os fatos matemáticos. A lógica matemática é, em si, parte da matemática. Qual linguagem utilizaremos quando construímos a lógica? Metalinguagem

14 Discussão informal O que queremos formalizar? Informalmente: Proposições: sentenças declarativas que podem assumir um valor-verdade dentre, por exemplo, verdadeiro ou falso.

15 Discussão informal O que queremos formalizar? Informalmente: I Sentenças atômicas 1 o quadrado de todo número é positivo é um quadrado perfeito. 3 O conjunto vazio é único é a soma de quatro quadrados perfeitos.

16 Discussão informal O que queremos formalizar? Informalmente: I Sentenças compostas não α expressa a negação da sentença α; α e β expressa a conjunção das sentenças α e β; α ou β expressa a disjunção inclusiva; se α, então β expressa uma forma condicional; α se, e somente se β representa a bicondicional α se β e α somente se β.

17 Discussão informal O que queremos formalizar? Informalmente: I 5 um número diferente de 2 é primo se, e somente se, for ímpar. 6 2 é positivo ou 2 é positivo. 7 Se 2 é positivo, então 2 é positivo não é um quadrado perfeito e 9 é um quadrado perfeito. 9 O conjunto vazio não é único.

18 Linguagem formal da lógica proposicional Linguagem da lógica proposicional Símbolos Alfabeto: o conjunto dos símbolos que compõem linguagem símbolos proposicionais atômicos p 1 p 2 p 3... Conectivos lógicos nome símbolo negação disjunção conjução implicação bi-implicação Pontuação ( )

19 Linguagem formal da lógica proposicional Linguagem da lógica proposicional Sintaxe I As sequências de símbolos da linguagem com significado são chamadas de fórmulas bem formadas ou, simplesmente, fórmula. O conjunto das fórmulas bem formadas é a linguagem da lógica proposicional.

20 Linguagem formal da lógica proposicional Linguagem da lógica proposicional Sintaxe II Regras de formação das fórmulas: (F1) símbolos proposicionais atômicos são fórmulas, chamadas fórmulas atômicas; (F2) se α é fórmula, ( α) é fórmula; (F3) se α e β são fórmulas, então são fórmulas: (α β), (α β), (α β) e (α β); (F4) não há outras fórmulas além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) finitas vezes. A última regra assegura que todas as fórmulas podem ser construídas passo-a-passo pelas regras anteriores.

21 Linguagem formal da lógica proposicional Linguagem da lógica proposicional Sintaxe III Representamos (metalinguagem) as fórmulas por letras gregas α, β, γ, δ, ɛ, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω eventualmente indexadas com números naturais. Representamos (metalinguagem) os conectivos,, e genericamente, por Representamos (metalinguagem) as váriáveis proposicionais por algumas das letras p, q, r, s, t, u, v, x, z (se precisar mais, usamos as variáveis formais).

22 Linguagem formal da lógica proposicional Linguagem da lógica proposicional Sintaxe IV Exemplos p 1, ( p 2 ), (p 3 (p 1 ( p 1 ))); p 1 p 2, )) p 1, não são fórmulas. (α (β γ)) é fórmula diferente de ((α β) γ)?

23 Linguagem formal da lógica proposicional Linguagem L 0 L 0 é o conjunto de todas as fórmulas, é o menor conjunto X formado pelas sequências de símbolos da alfabeto que satisfaz 1 p 1, p 2,... X, 2 se α, β X então ( α), (α β), (α β), (α β), (α β) X.

24 Linguagem formal da lógica proposicional Princípio de indução Metateorema: Princípio de indução para fórmulas Suponha que uma propriedade de fórmulas (1) vale para toda fórmula atômica e (2) se vale para a fórmula α então também vale para ( α) e (3) se vale para as fórmulas α e β, então também vale para (α β). Então essa propriedade vale para todas fórmulas da linguagem proposicional.

25 Linguagem formal da lógica proposicional Definição recursiva: grau de complexidade 1 grau(α) = 0 se α é fórmula atômica; 2 grau( α) = grau(α) + 1; e 3 grau(α β) = max { grau(α), grau(β) } + 1. Que, por indução, está definido para toda fórmula, i.e., temos grau : L 0 N

26 Linguagem formal da lógica proposicional Unicidade da representação Metateorema da leitura única Para toda fórmula α, uma, e apenas uma, das afirmações abaixo é verdadeira: α é uma fórmula atômica; existe uma única fórmula β tal que α = ( β); existem únicas fórmulas β e γ e um conectivo {,,, } tais que α = (β γ).

27 Linguagem formal da lógica proposicional Exemplo Árvore de formação ( (p1 p 2 ) ( ( p3 ) (p 4 p 5 ) )) (p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 4 p 5 )) p 1 p 2 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) p 3 p 4 p 5

28 Linguagem formal da lógica proposicional Subfórmulas As fórmulas intermediárias que aparecem no processo de construção de uma fórmula através das regras (F1) (F3) são chamadas de subfórmulas Exemplo: p, q, ( p) e (q ( p)) são subfórmulas de (p (q ( p))).

29 Linguagem formal da lógica proposicional Definição recursiva Exercício: Dê uma definição recursiva para subfórmula.

30 Semântica Valoração I Valoração de L 0 é uma função w : L 0 {0, 1} tal que w( α) = 1 w(α). w(α β) = min{w(α), w(β)}. w(α β) = max{w(α), w(β)}. w(α β) = max{1 w(α), w(β)} w(α β) = max { min{w(α), w(β)}, min{1 w(α), 1 w(β)} }

31 Semântica Valoração II Valoração de L 0 é uma função w : L 0 {0, 1} tal que w( α) = 1 w(α). w(α β) = min{w(α), w(β)}. w(α β) = max{w(α), w(β)}. w(α β) = max{1 w(α), w(β)} w(α β) = 1 w(α) w(β) = max { min{w(α), w(β)}, min{1 w(α), 1 w(β)} }

32 Semântica Valoração III α β α = 0 α = 1 β = β = α β α = 0 α = 1 β = β = α β α = 0 α = 1 β = β = α β α = 0 α = 1 β = β = 1 0 1

33 Semântica Valoração IV Se w(p 1 ) = w(p 3 ) = 0 e w(p 2 ) = 1 então, w((p 1 p 2 ) p 3 ) = max{1 w(p 1 p 2 ), w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} O valor de α depende só dos valores nos átomos.

34 Semântica Valoração V Se w(p 1 ) = w(p 3 ) = 0 e w(p 2 ) = 1 então, w((p 1 p 2 ) p 3 ) = max{1 w(p 1 p 2 ), w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{0, 1}, 0} = max{0, 0} = 0. O valor de α depende só dos valores nos átomos.

35 Semântica Valoração VI Metateorema da valoração Sejam v e w duas valorações de L 0. Seja α uma fórmula tal que v(p) = w(p) para toda fórmula atômica p Sf(α). Então v(α) = w(α). Demonstração. Por indução na fórmula.

36 Semântica Interpretação I Interpretação é uma função v : {p 1, p 2,... } {0, 1} Interpretação de uma fórmula é uma função v : {p Sf(α) : p é atômico} {0, 1} Uma interpretação de p (q s) é p = 0, q = 1, s = 0 Nela a fórmula tem valor-verdade 1.

37 Semântica Interpretação II V = {p 1, p 2,... } Metateorema da extensão de interpretação para valoração Dada um interpretação v : V {0, 1}, existe uma única valoração ˆv : L 0 {0, 1} tal que ˆv(p) = v(p) para qualquer fórmula atômica p V. ˆv é chamada extensão de v

38 Semântica Interpretação III Demonstração. Por contradição. Tome α de grau mínimo onde duas extensões û e ˆv diferem. α é β ou α é β γ. grau(β), grau(γ) < grau(α) logo û(β) = ˆv(β) e û(γ) = ˆv(γ). Mas, então û(α) = ˆv(α), absurdo.

39 Semântica Tautologia e Contradição I α L 0 é satisfazível se existe v ˆv(α) = 1 tautologia se para todo v contradição se para todo v ˆv(α) = 1 ˆv(α) = 0

40 Semântica Tautologia e Contradição II Por exemplo, para qualquer v ˆv(α α) = max { min{ˆv(α), ˆv( α)}, min{1 ˆv(α), 1 ˆv( α) } = max {ˆv(α), 1 ˆv(α) } = 1

41 Semântica Tautologia e Contradição III Algumas das tautologias notáveis Não contradição Terceiro excluído (α ( α)) α ( α) Algumas das implicações tautológicas notáveis Lei da adição α (α β) Lei da simplificação (α β) α Modus Ponens (α (α β)) β Modus Tollens (( β) (α β)) α Silogismo disjuntivo ((α β) α) β Silogismo hipotético ((α β) (β γ)) (α γ) Redução ao absurdo ((α ( β)) (γ ( γ))) (α β)

42 Semântica Tautologia e Contradição IV Algumas bi-implicações tautológicas notáveis são Dupla negação α ( α) Implicação (α β) ( α β) Bi-implicação (α β) ( (α β) (β α) ) Comutatividade (α β) (β α) (α β) (β α) Associatividade ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) Distributividade (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) Contrapositiva (α β) (( β) ( α)) Negação da implicação (α β) (α ( β)) Leis de De Morgan (α β) (( α) ( β)) (α β) (( α) ( β))

43 Semântica Tautologia e Contradição V Notação v satisfaz α α é tautologia ˆv α α é falsidade, ie, para todo v ˆv( ) = 0 é verdade, ie, =

44 Semântica Tabela-verdade I Metateorema da decidibilidade Existe um algoritmo que, dado uma fórmula α L 0, decide se α é satisfazível.

45 Semântica Tabela-verdade II Tabela-verdade: método mecânico e eficiente para estudar os possíveis valores-verdade de uma fórmula. (1) O primeiro passo para montar a tabela-verdade de uma fórmula é destrinchá-la nas subfórmulas. (2) Em seguida, montamos uma coluna para cada subfórmula, colocando as mais elementares à esquerda, e as mais complexas à direita, partindo das fórmulas atômicas até a fórmula toda. (3) Escrevemos uma linha para cada possível interpretação (valoração das fórmulas atômicas) e usamos as regras dos conectivos para completar a tabela.

46 Semântica Tabela-verdade III Tabela-verdade para α = ( p 1 p 2 ) ( ( p3 ) (p 4 p 5 ) ) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) α

47 Semântica Tabela-verdade IV p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) α

48 Equivalência lógica Equivalência lógica I α e β são equivalentes se têm o mesmo valor que qualquer interpretação Equivalentemente α β Notação: α β

49 Equivalência lógica Equivalência lógica II Algumas equivalências notáveis dupla negação α α implicação γ δ ( γ) δ bi-implicação γ δ (γ δ) (δ γ) comutatividade α β β α leis de De Morgan (γ δ) ( γ) ( δ) (γ δ) ( γ) ( δ) distributiva α (β γ) (α β) (α γ) contrapositiva (α β) (( β) ( α))

50 Equivalência lógica Equivalência lógica III Notemos que γ δ (γ δ) ( γ δ) γ δ ( γ) δ γ δ (γ δ) (δ γ) ( γ δ) ( δ γ) ( ( γ δ) ( δ γ) )

51 Equivalência lógica Equivalência lógica IV Só precisamos dos conectivos e.

52 Equivalência lógica Equivalência lógica V O mesmo vale para e. e.