Alfabeto da Lógica Proposicional

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1 Ciência da Computação Alfabeto da Lógica Sintaxe e Semântica da Lógica Parte I Prof. Sergio Ribeiro Definição 1.1 (alfabeto) - O alfabeto da é constituído por: símbolos de pontuação: (, ;, ) símbolos de verdade: V, F símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P 1, Q 1, R 1, S 1, α, β,...; conectivos proposicionais: ~,,,, Material adaptado do livro-texto de João Nunes de Souza 2 Definição 1.2 (fórmula) - As fórmulas da linguagem da são construídas, de forma indutiva, a partir dos símbolos do alfabeto conforme as regras a seguir. O conjunto das fórmulas é o menor conjunto que satisfaz as regras: todo símbolo de verdade é uma fórmula; todo símbolo proposicional é uma fórmula; se H é uma fórmula, (~H), a negação de H, é uma fórmula; 3 se He G são fórmulas, a conjunção de He G, dada por: (H G), é uma fórmula; se He G são fórmulas, a disjunção de He G, dada por: (H G), é uma fórmula; se He G são fórmulas, a implicação de Hem G, dada por: (H G), é uma fórmula. Nesse caso, H é o antecedente e G o conseqüenteda fórmula (H G); se He G são fórmulas, a bi-implicaçãode He G, dada por: (H G), é uma fórmula. Nesse caso, H é o lado esquerdo e G o lado direito da fórmula (H G). 4 Definição 1.3 (subfórmula) - Seja H uma fórmula da, : H é uma subfórmulade H; se H é uma fórmula do tipo (~G), G é uma subfórmulade H; se H é uma fórmula do tipo: (G E), (G E), (G E) ou (G E) G e E são subfórmulasde H; se G é subfórmulade H, toda subfórmula de G é subfórmulade H. 5 da Definição 1.4 (propriedades semânticas básicas da ) - Sejam H, G, H 1, H 2,...,H n, fórmulas da Lógica. As propriedades semânticas básicas da são definidas a seguir. 6 1

2 da H é uma tautologia, para toda interpretação I, I[H]= V H é satisfatível, existe uma interpretação I, tal que I[H]= V H é uma contingência, existem duas interpretações I 1 e I 2, tais que I 1 [H] = V e I 2 [H] = F 7 da H é contraditória, para toda interpretação I, I[H] = F H implica semanticamente G, ou G é uma conseqüência lógica semântica de H, para toda interpretação I, se I[H] = V, I[G] = V H equivale semanticamente a G, se e somente se, para toda interpretação I, I[H] = I[G] 8 A fórmula H = P ~P é uma tautologia. Interpretações P ~P P ~P I 1 F V V I 2 V F V A fórmula H = P Q é satisfatível e contingente. Interpretações P Q P Q I 1 F F F I 2 F V V I 3 V F V I 4 V V V A fórmula H = P ~P é contraditória. Interpretações P ~P P ~P I 1 F V F I 2 V F F Seja E = ((P Q) Q), H = (P Q) e G = (P Q) Interpretações P Q E H G I 1 F F F F V I 2 F V V F V I 3 V F F F F I 4 V V V V V E implica G? sim Logo, E G E implica H? não Por que? 9 10 da As fórmulas H = (~P ~Q) e G = ~(P Q) são equivalentes. Dada uma interpretação I, I satisfaz H, se I[H] = V Interpretações P Q ~P ~Q H P v Q G I 1 F F V V V F V I 2 F V V F F V F I 3 V F F V F V F I 4 V V F F F V F 11 O conjunto β = {H 1,H 2,...,H n,...} é satisfatível, existe ao menos uma interpretação I, tal que I[H 1 ] = V, I[H 2 ] = V,... = I[H n ] = V,... Nesse caso, I satisfaz o conjunto de fórmulas. Caso não haja tal interpretação, o conjunto β é insatisfatível. 12 2

3 da Dado um conjunto de fórmulas vazio, toda interpretação I satisfaz esse conjunto. O conjunto β = {H 1,H 2,...,H n,...}, implica semanticamente uma fórmula H, se para toda interpretação I; se I[β]= V, I[H]= V Nesse caso, também dizemos que H é uma conseqüência lógica semântica de β. 13 da Notação. Se um conjunto de fórmulas β implica semanticamente H, ou seja, H é conseqüência lógica semântica de β, tal fato é indicado por β H. No caso em que β é vazio, é utilizada a notação H. Neste caso, dizemos que H é uma tautologia ou que H é um teorema. 14 da O símbolo é, portanto, utilizado para denotar a implicação semântica ou conseqüência semântica, que relaciona interpretações de fórmulas. No caso em que β não implica semanticamente H, isto é, H não é conseqüência lógica semântica de β, é utilizada a notação: β H. da Nota. "implicação semântica" significa o mesmo que "conseqüência lógica semântica". Notação. Se uma interpretação I satisfaz o conjunto de fórmulas β, esse fato é indicado por I[β] = V O seguinte conjunto de fórmulas é satisfatível ou insatisfatível? β = {P, ~P, Q} Interpretações P ~P Q I 1 F V F I 2 V F V O seguinte conjunto de fórmulas é satisfatível ou insatisfatível? β = {(P Q), (Q R) e (R P)} Int. P Q R P Q Q R R P I 1 F F F V V V I 2 F F V V V F I 3 F V F V F V I 4 F V V V V F I 5 V F F F V V I 6 V F V F V V I 7 V V F V F V I 8 V V V V V V

4 Proposição 1.1 (tautologia e contradição) Dada uma fórmula H, : H é tautologia, ~H é contraditória Proposição 1.2 (tautologia e satisfatibilidade) Dada uma fórmula H, se H é tautologia H é satisfatível Proposição 1.3 (tautologia e contradição) Dada uma fórmula H, : H é tautologia, H é contraditória H não é satisfatível, H é contraditória 21 Proposição 1.4 (implicação semântica e o conectivo ) Dadas duas fórmulas H e G, H G, (H G) é tautologia 22 Proposição 1.5 (equivalência semântica e o conectivo ) Dadas as fórmulas H e G, H equivale a G, (H G) é tautologia 23 Proposição 1.6 (transitividade da equivalência semântica) Dadas as fórmulas E, H e G, se E equivale a H e H equivale a G, E equivale a G 24 4

5 1. Comente, do ponto de vista lógico: a) a diferença entre sintaxe e semântica b) a diferença entre veracidade e validade c) a diferença entre falsidade e contradição 2. Seja I uma interpretação tal que: I[P Q] = V. O que se pode deduzir sobre a interpretação: I[~P Q] e I[P ~Q]? Dadas as fórmulas H e G, demonstre que: a) H é contraditória (H G) é válida. b) H é tautologia e G é contraditória (H G) é contraditória. 4. Sejam H e G duas fórmulas tais que H implica G. A partir deste fato, é possível concluir que para toda interpretação I, I[H] = V e I[G] = V? Justifique sua resposta Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras e falsas. Justifique sua respostas. a) Dada uma fórmula contraditória H, é possível encontrar uma interpretação I tal que I[H] = V. b) Se H é uma tautologia, não existe interpretação I tal que I[~H] = V. c) Se [H 1,H 2,...,H n ] é um conjunto satisfatível de fórmulas, para toda interpretação I, I[H i ] = V. 6. Verifique se o conjunto de argumentos abaixo é satisfatível. Marcos não está feliz ou se Silvia foi ao baile, Marcos também foi ao baile. Se Marcos está feliz, Silvia não foi ao baile. Se Marcos foi ao baile, Silvia também foi ao baile