Fundamentos 1. Lógica de Predicados

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1 Fundamentos 1 Lógica de Predicados

2 Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional

3 Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional têm possibilidade limitada de expressão.

4 Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional têm possibilidade limitada de expressão. Exemplo: Todo computador conectado à rede da universidade está funcionando adequadamente Devemos usar a lógica de predicados para expressar adequada mente

5 Lógica de Predicados Expressa adequadamente o significado das proposições em matemática e em linguagem natural. Exemplo: Existe um computador na rede da universidade que está sob o ataque de um hacker.

6 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x.

7 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo.

8 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo. Uma propriedade também é denominada um predicado.

9 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo. Note que essa declaração não é Verdadeira nem Falsa quando o valor da variável não é especificado.

10 Predicados A frase x>0 descreve uma propriedade da váriavel x. Propriedade: x é positivo. A notação P(x) é usada para representar alguma propriedade, ou predicado, não explicitada que a variável x possa ter.

11 Predicados X > 3 Predicado P Variável / sujeito da declaração Também chamada de função proposicional P em x.

12 Predicados Uma vez que um valor é dado para a variável x, a declaração P(x) torna se uma proposição e tem um valor verdade. Exemplo: P(x) = x > 3 P(4) é Verdadeiro P(2) é Falso

13 Predicados Podemos ter predicados com mais de uma variável. Q(x,y) = x = y + 3 Q(1,2) é Falso Q(3,0) é Verdadeiro

14 Predicados Predicados ocorrem em programas if x>0 then x:= x + 1

15 Conjunto Verdade Um predicado é verdadeiro para um conjunto de elementos, este conjunto é chamado de conjunto verdade. Exemplo: P(x) = x + 1 > 8 Domínio: conjunto dos números naturais Conjunto Verdade: { x x N ^ x + 1 > 8} {8, 9, 10,...}

16 Conjuntos É uma estrutura na qual todas as outras estruturas são construídas. São usadas para agrupar objetos. Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos. (usar letras maiúsculas). Objetos de um conjunto são chamados de elementos, ou membros, do conjunto.

17 Conjuntos Diz se que os elementos pertencem ao conjunto. Notação de pertinência: a A a A

18 Descrever um conjunto 1. Listar todos os seus elementos. 1. A = {a,b,c,d} 2. V = {a, e, i, o, u} 2. Usar... quando for obvio os elementos. 1. A = { 1, 2, 3, 4,..., 99} 3. Usar notação de construção de conjunto (quando não dá para listar) Estabelece uma propriedade

19 Descrever um conjunto 1. Usar notação de construção de conjunto (quando não dá para listar) Estabelece uma propriedade O = {x x é um número inteiro positivo e impar menor que 10} O = {x Z + x é impar e x < 10}

20 Conjuntos Importantes N = {0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos números naturais Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos números inteiros Z + = {1, 2, 3,...} R Conjunto dos números inteiros positivos Conjunto dos números reais

21 Operações Lógicas Sobre Predicados As operações lógicas que usamos para proposições estendem se a predicados. M(x) = x é médico P(x) = x é professor M(x) ^ P(x) x é médico e professor

22 Operações Lógicas sobre Predicados Conjunção P(x) = x>2 Q(x) = x<8 P(x) ^ Q(x) = 2 < x < 8 CV =??? em N

23 Operações Lógicas sobre Predicados Conjunção P(x) = x > 2 Q(x) = x < 8 P(x) ^ Q(x) = 2 < x < 8 CV = {3,4,5,6,7}

24 Operações Lógicas sobre Predicados Disjunção P(x) = x < 2 Q(x) = x > 8 P(x) v Q(x) = x < 2 ou x > 8 CV em N??? 0? 1? 2? 5?

25 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) =??? O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

26 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

27 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar Q(x) = x < y ~Q(x) =??? O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

28 Operações Lógicas sobre Predicados Negação P(x) = x é par ~P(x) = x é impar Q(x) = x < y ~Q(x) = x y O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.

29 Operações Lógicas sobre Operadores As operações: Condicional Bicondicional também podem ser estendidas para a lógica de predicados. Falaremos sobre elas em aulas futuras.

30 Quantificadores São frases do tipo: para todo para cada para algum Ou seja, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, têm uma determinada propriedade.

31 Quantificadores - Tipos Universal: considera todos os elementos de um conjunto Existencial: Existe um ou mais elementos de um conjunto.

32 Quantificador Universal Propriedade é verdadeira para todos os valores de uma variável em um determinado domínio, ou seja, todos os elementos do domínio tornam o predicado verdadeiro. Domínio = Conjunto Verdade Símbolo Usado:

33 Quantificador Universal Notação: (x A) (P(x)) x A, P(x) x A: P(x) (x ) P(x) x, P(x) x: P(x) x P(x)

34 Quantificador Universal Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à conjunção das proposições. x P(x) P(a 1 )^ P(a 2 ) ^... P(a n )

35 Quantificador Universal Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à conjunção das proposições. x P(x) P(a 1 )^ P(a 2 ) ^... ^P(a n ) Sendo assim ao usarmos o quantificador universal no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.

36 Quantificador Universal Exemplo: A= {3,5,7} P(x) = x é primo x P(x) é???

37 Quantificador Universal Exemplo: A= {3,5,7} P(x) = x é primo x P(x) é Verdade Um elemento para o qual P(x) é falsa é chamado de contra exemplo para x P(x) e torna x P(x) falso também.

38 Quantificador Universal Exemplo: P(x) = x +1 > x Domínio: o conjunto dos números reais. x P(x) é?

39 Quantificador Universal Exemplo: P(x) = x +1 > x Domínio: o conjunto dos números reais. x P(x) é Verdade

40 Quantificador Universal Exemplo: Q(x) = x < 2 Domínio: o conjunto dos números reais x Q(x) é???

41 Quantificador Universal Exemplo: Q(x) = x < 2 Domínio: o conjunto dos números reais Q(3) é Falso logo x Q(x) é Falso Contra exemplo

42 Quantificador Existencial Propriedade é verdadeira para pelo menos um valor de uma variável em um determinado domínio, ou seja, existe um elemento do domínio que torna o predicado verdadeiro. Símbolo Usado:

43 Quantificador Existencial Exemplo P(x) = x é aluno de fundamentos 1 que tem N1=10.0 Domínio = {alunos desta sala} Podemos escrever que: x P(x)

44 Quantificador Existencial Notação: (x A) (P(x)) x A, P(x) x A: P(x) (x ) P(x) x, P(x) x: P(x) x P(x)

45 Quantificador Existencial Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à disjunção das proposições. x P(x) P(a 1 ) v P(a 2 ) v... v P(a n )

46 Quantificador Existencial Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à disjunção das proposições. x P(x) P(a 1 ) v P(a 2 ) v... v P(a n ) Sendo assim ao usarmos o quantificador existencial no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.

47 Quantificador Existencial Exemplo: P(x) = x > 3 Domínio: conjunto dos números reais. Temos que 4 > 3 logo x P(x) é V

48 Quantificador Existencial x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio. Exemplo: (x N) (n+4<8) O Conjunto Verdade = {0,1,2,3}, logo a proposição é verdadeira x P(x) é Verdade

49 Quantificador Existencial x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio. Exemplo: (x N) (n+4 < 4) O Conjunto Verdade = { }, logo o predicado é falso x P(x) é Falso

50 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. Como podemos representar isso na lógica?

51 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica

52 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica 2) Definir o domínio Domínio = {estudantes desta classe}

53 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica 2) Definir o domínio Domínio = {estudantes desta classe} 3) Escrever a proposição: x C(x)

54 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou calculo 2) Definir o domínio Existem várias maneiras de Domínio = {estudantes desta classe} tradução!!!! 3) Escrever a proposição: x C(x)

55 Rosen Pg 46 Ex. 5 Considere P(x) como o predicado x passa mais do que cinco horas em aula todos os dias, em que o domínio de x são todos os estudantes. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x P(x) b) x P(x) c) x ~P(x) d) x ~P(x)

56 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 Rosen Lógica: pg 46 exercícios 1,2,3,4 Conjuntos: pg 119 exercícios 1,2 Lógica: pg 47 exercicios 6a e b, 11, 12, 13, 14