Lógica para computação
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- Terezinha Imperial Custódio
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1 Lógica para computação A SEMÂNTICA DA LÓGICA PROPOSICIONAL Professor Marlon Marcon Após entender como deve ser uma fórmula da Lógica Proposicional, devemos entender como esta deve ser interpretada. Quando escrevemos a fórmula (P Λ Q), dependendo dos valores de P e Q, esta pode ser interpretada como sendo verdadeira (true) ou falsa (false) Neste caso devemos avaliar quais são os valores de P e Q antes que a fórmula seja avaliada. Exemplo: P = Está chovendo Q = A rua está molhada o Ambas podem assumir os valores true e false Suponha que para que a fórmula (P Λ Q) seja verdadeira, as intepretações de P e Q devem ser verdadeiras. A interpretação da fórmula (P Λ Q) pode ou não ser verdadeira, e isso depende de condições climáticas atuais, para dizer qual é o valor de P. 1
2 A interpretação de P é dada por I[P], logo podemos ter: I[P] = T; I[P] = F; Isso vale também para Q No caso de I[P] = T e I[Q] = F; I[(P Λ Q)] = F Os símbolos sintáticos definem as fórmulas, que nesse caso são associados à interpretação, dividindo a lógica em sintaxe e semântica Sintaxe: é a construção de elementos (fórmulas) baseados no alfabeto, ou seja, a concatenação de símbolos. Semântica: definição da interpretação dos simbolos e das fórmulas. Interpretação A Lógica Proposicional é somente possível representar proposições com valores, verdadeiro e falso. Ex. Meu tio mora em SP Porém existem sentenças que não podem ser representadas. Ex. Esta sentença é falsa Interpretação A definição da interpretação dos símbolos do alfabeto da LP é considerada a seguir. Definição 2.1 (função binária) Uma função é binária se seu contradomínio possui apenas dois elementos. Definição 2.2 (função total) Uma função é total se é definida em todos os elementos de seu domínio 2
3 Interpretação Definição 2.3 (função interpretação) Uma interpretação I, na Lógica Proposicional, é uma função binária total na qual, O domínio de I é constituído pelo conjunto das fórmulas da Lógica Proposicional; O contradomínio de I é o conjunto {T, F} ou seja: Dado uma formula H, I[H] = T ou I[H] = F; Princípio da Bivalência ou do Terceiro excluído Interpretação das fórmulas Definição 2.4 (interpretação das fórmulas) Dadas uma fórmula E e uma interpretação I, então a interpretação de E, indicado por I[E], é determinada pelas regras: se E é do tipo P, então I[E] = I[P] e I[P] {T, F}; se E é do tipo true, então I[E] = I[true] = T; se E é do tipo false, então I[E] = I[false] = F; se E é do tipo H, então o I[E] = I[ H] = T se I[H] = F; e, o I[E] = I[ H] = F se I[H] = T Interpretação das fórmulas Continuação da Definição 2.4 se E é do tipo (H v G), então: o I[E] = I[H v G] = T se I[H] = T e/ou I[G] = T; e o I[E] = I[H v G] = F se I[H] = F e I[G] = F; e se E é do tipo (H Λ G), então: o I[E] = I[H Λ G] = T se I[H] = T e I[G] = T; e o I[E] = I[H Λ G] = F se I[H] = F e/ou I[G] = F; e Interpretação das fórmulas Continuação da Definição 2.4 se E é do tipo (H G), então: o I[E] = I[H G] = T se I[H] = F e/ou I[G] = T; e o I[E] = I[H G] = F se I[H] = T e I[G] = F; e se E é do tipo (H G), então: o I[E] = I[H G] = T se I[H] = I[G]; e o I[E] = I[H G] = F se I[H] I[G]; e 3
4 Tabela-verdade As regras semânticas podem ser representadas por tabelas, denominadas tabela-verdade. Conectivo É a formalização da negação na Lógica H G H H v G H Λ G H G H G T T F T T T T T F F T F F F F T T T F T F F F T F F T T Tabela 1. Tabela-verdade associada a conectivos P = Zé é inteligente P = Zé não é inteligente Conectivo V A interpretação do conectivo v é a disjunção de duas proposições. Representa a palavra ou. P = Está chovendo Q = Está fazendo sol Supondo que I[P V Q] = T, pela definição 2.4: I[P] = T e I[Q] = F; I[P] = F e I[Q] = T; Conectivo Λ A interpretação do conectivo Λ é a conjunção de duas proposições. Representa a palavra e. P = Tiago pulou na piscina Q = Tiago se molhou Supondo que I[P Λ Q] = T, pela definição 2.4: 4
5 Conectivo A interpretação do conectivo é a da implicação de duas proposições. Na lógica a fórmula P Q quer dizer que se P é verdade então Q também é P = Está chovendo Q = A rua está molhada Supondo que I[P Q] = T, pela definição 2.4: Conectivo H G H G T T T T F F F T T F F T Tabela 2. Tabela-verdade associada ao conectivo Conectivo A interpretação do conectivo é denominado biimplicação ou bicondicional de duas proposições. Na lógica a fórmula P Q quer dizer que P é verdade se e somente se Q também for. P = Maria é aprovada em lógica Q = Maria totaliza mais de 60 pontos em Lógica Supondo que I[P Q] = T, pela definição 2.4: I[P] = F e I[Q] = F; Conectivo H G H G T T T T F F F T F F F T Tabela 2. Tabela-verdade associada ao conectivo 5
6 Interpretação de uma fórmula Exemplo: Considere a fórmula: H = (( P) v ( Q)) R E uma interpretação: I[P] = T; I[Q] = F; I[R] = T; e I[S] = F Para determinar a interpretação de H: P Q R S P Q P V Q H T F T F F T T T Tabela 3. Tabela-verdade associada à fórmula H Exercícios Sabendo que os valores lógicos das proposições P e Q são respectivamente V e F, determinar o valor de cada fórmula abaixo: a) P Λ Q b) P V Q c) P Λ Q d) P Λ Q e) P V Q f) P Λ ( P V Q) Exercícios Determinar I[P] em cada um dos seguintes casos, sabendo que: a) I[Q] = F e I[P Λ Q] = F b) I[Q] = F e I[P V Q] = F c) I[Q] = F e I[P Q] = F d) I[Q] = F e I[Q P] = V e) I[Q] = V e I[P Q] = F f) I[Q] = F e I[Q P] = V Exercícios Determinar I[P] e I[Q] em cada um dos seguintes casos, sabendo: a) I[P Q] = V e I[P Λ Q] = F b) I[P Q] = V e I[P V Q] = F c) I[P Q] = V e I[P Λ Q] = V d) I[P Q] = V e I[P V Q] = V e) I[P Q] = F e I[ P V Q] = V 6
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