Matemática para Ciência de Computadores

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1 Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP

2 Complexidade 2002/03 1 Fundamentos de Lógica No nosso dia a dia, usamos todo o tipo de frases: Cinco é menor do que dez. Bem vindos a FCUP Os porcos voam. Existe vida em Marte. O que contêm esta piza? Composição de afirmações. Uma afirmação é uma frase que é verdadeira ou falsa! (Mas não ambos!)

3 Complexidade 2002/03 2 Fundamentos de Lógica A Lógica Matemática é uma ferramenta para trabalhar com afirmações compostas (complicadas!). Inclui: Uma linguagem para expressar afirmações. Notação concisa para as escrever. Uma metodologia para objectivamente inferir sobre a verdade ou falsidade.

4 Complexidade 2002/03 3 Lógica Proposicional Lógica proposicional é a lógica de afirmações compostas construidas a partir de afirmações mais simples usando conectivas Booleanas. Algumas aplicações em CC: Desenho de circuitos digitais. Expressar condições em programas. Queries a bases de dados e motores de pesquisa.

5 Complexidade 2002/03 4 Falso ou Verdade? Falso ou verdade são valores Booleanos B = {F, T }. value(5 < 10) = T value( Os Porcos voam )= F value( Não é tão mau como parece )-? value( O SLB não é tão mau como parece )= F

6 Complexidade 2002/03 5 Operadores Booleanos p NÃO p NEGAÇÃO p q p e q CONJUNÇÃO p q p ou q DISJUNÇÃO p q SE p ENTÃO q IMPLICAÇÃO p q p SE E SÓ SE q EQUIVALÊNCIA Definição: usando tabelas de verdade.

7 Complexidade 2002/03 6 Negação (NÃO p): p Verdade se p é falso, falso se p é verdade p p F T T F Exemplos: (5 < 10) T F (Os Porcos voam) F T

8 Complexidade 2002/03 7 Conjunção (p e q): p q Verdade se ambos p e q são verdade Exemplos: p q p q F F F F T F T F F T T T (5 < 10) (Os Porcos voam) T F F

9 Complexidade 2002/03 8 Disjunção (p ou q): p q Verdade se ou p ou q (ou ambos) são verdade Exemplos: p q p q F F F F T T T F T T T T (5 < 10) (Os Porcos voam) T F T Nota: Precedências...

10 Complexidade 2002/03 9 Ou exclusivo (p ou q): p q Verdade se ou p ou q são verdade Exemplos: p q p q F F F F T T T F T T T F (5 < 10) (Os Porcos voam) T T T

11 Complexidade 2002/03 10 Implicação (SE p ENTÃO q): p q Verdade se p falso; verdade de q verdade; senão falso (Tudo implica verdade; falso implica qualquer coisa) Exemplos: p q p q F F T F T T T F F T T T (5 < 10) (Os Porcos voam) (T F ) F (Os Porcos voam) (5 < 10) (F T ) T (Os Porcos voam) (5 > 10) (F F ) T

12 Complexidade 2002/03 11 p q p implica q se p então q p é mais forte do que q p é suficiente para q q é implicado por p q se p q é mais fraco do que p q é necessário para p

13 Complexidade 2002/03 12 Contrário, Inverso e contrapositivo de p q Contrário: q p Inverso: p q Contrapositivo: q p Questão: Um dos três tem o mesmo significado de p q. Qual?

14 Complexidade 2002/03 13 Prova p q p q p q q p F F T T T T F T T F T T T F F T F F T T F F T T

15 Complexidade 2002/03 14 Equivalência (p SE E SÓ SE q): p q Verdade se p e q tem o mesmo valor booleano; senão falso (Normalmente substitui-se SE E SÓ SE por SSE) Exemplos: p q p q F F T F T F T F F T T T (5 < 10) (Os Porcos voam) (T F ) F (Os Porcos voam) (5 < 10) (F T ) F (Os Porcos voam) (5 > 10) (F F ) T

16 Complexidade 2002/03 15 Prioridades Para reduzir o número de parêntices definiu-se prioridades. Maior prioridade: ; depois, ; e por fim,. Exemplos: (A B) A B Significa: (A B) (( A) ( B))

17 Complexidade 2002/03 16 Leis da lógica booleana As tabelas de verdade definem completamente os operadores lógicos, mas nem sempre é de simples utilização: Verdade ou Falso? ( (T F ) (F T )) ( (F T ) F ) Para simplificar expressões, utiliza-se as leis da lógica.

18 Complexidade 2002/03 17 Leis de equivalência Identidade p T p p F p E. absorvente p T T p F F Idempotência p p p p p p Dupla negação p p Comutatividade p q q p p q q p Associatividade (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Distributividade p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgan s (p q) p q (p q) p q Taut./contr. p p T p p F p q p q (p q) (p q) (q p)

19 Complexidade 2002/03 18 Leis de equivalência, cont. Todas as leis podem ser verificadas usando tabelas de verdade. Exemplo: p q p q p q (p q) p q F F T T F T T F T T F F T T T F F T F T T T T F F T F F

20 Complexidade 2002/03 19 Leis de equivalência, cont. Usando as leis da lógica... (A B) ( B A) Prova: ( B A) ( B A) (B A) ( A B) (A B) Este teorema é muito útil, permite provas por contradição!

21 Complexidade 2002/03 20 Exercício Sejam p, q, r e p 1, p 2, p 3 as seguintes afirmações primitivas e premissas respectivamente: p O aluno estuda q O aluno joga PS2 r O aluno passa a MCC p 1 p 2 p 3 Se o aluno estuda, então passa a MCC. Se o aluno não joga PS2, então estuda. O aluno reprovou a MCC. Determine se p 1 p 2 p 3 q. Mostre que: (p ( p q)) p q