Programação em Lógica. UCPEL/CPOLI/BCC Lógica para Ciência da Computação Luiz A M Palazzo Maio de 2010

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1 Programação em Lógica UCPEL/CPOLI/BCC Lógica para Ciência da Computação Luiz A M Palazzo Maio de 2010

2 Roteiro Introdução Conceitos Básicos Linguagens Lógicas Semântica de Modelos Semântica de Prova Programação em Lógica Prolog Programação em Lógica - ICC

3 Introdução Sistemas Simbólicos Linguagens Formais Sintaxe e Semântica Teoria de Primeira Ordem Programação em Lógica - ICC

4 Sistemas Simbólicos São sistemas construídos a partir de símbolos. Organizam-se em quatro níveis bem definidos: Léxico Sintático Semântico Pragmático Sistemas simbólicos típicos são as linguagens: Naturais Formais Programação em Lógica - ICC

5 Linguagens Formais Conjuntos finitos de expressões formais: Fórmulas Fórmulas bem formadas (fbf) Sentenças Construídas a partir de: Um Alfabeto conjunto finito de símbolos Uma Gramática gera as expressões válidas da linguagem Classificação de Chomsky: Linguagens Regulares Linguagens Livres de Contexto Linguagens Sensíveis ao Contexto Linguagens Enumeráveis Recursivamente 5

6 Sintaxe e Semântica Sintaxe: fórmulas bem formadas (fbf) Regida por uma gramática Semântica: atribuição de significado às fbfs Regida por uma interpretação 6

7 Teoria de Primeira Ordem [1] Uma Teoria de Primeira Ordem (TPO) consiste em: uma linguagem de primeira ordem, definida sobre um alfabeto de primeira ordem, um conjunto de axiomas, e um conjunto de regras de inferência. A linguagem de primeira ordem consiste nas fbfs da teoria. Os axiomas e regras de inferência são utilizados para a derivação dos teoremas da teoria. 7

8 Conceitos Básicos Alfabeto de Primeira Ordem Termo Fórmula Bem Formada Linguagem de Primeira Ordem Quantificadores 8

9 Alfabeto de Primeira Ordem [2] Um Alfabeto de Primeira Ordem (APO) é constituído por sete classes de símbolos: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) Variáveis Individuais, Constantes Individuais, Constantes Funcionais, Constantes Predicativas, Conetivos, Quantificadores, e Símbolos de Pontuação. Símbolos não lógicos Símbolos lógicos 9

10 Detalhes dos APOs As classes (v) a (vii) são as mesmas para todos os alfabetos, sendo denominadas símbolos lógicos. As classes (i) a (iv) podem variar de alfabeto para alfabeto e são denominadas símbolos não-lógicos. Para qualquer alfabeto de primeira ordem, somente as classes (ii) e (iii) podem ser vazias. 10

11 Convenções de Notação As constantes individuais são denotadas por cadeias de símbolos iniciando com letra minúscula (a,b,..., z). As variáveis individuais serão denotadas por cadeias de símbolos iniciando com letra maiúscula (A, B,..., Z). Os conetivos são:,,,,, e Os quantificadores são e. Os símbolos de pontuação são (, ) e,. A hierarquia para a precedência entre conetivos e quantificadores, em ordem decrescente é:» (1), e» (2) e» (3), e 11

12 Exemplo Definição de um APO para o jogo Escoteirinho Variáveis individuais: {X, Y} Constantes individuais: {pedra, tesoura, papel} Constantes funcionais: { } Constantes predicativas: {ganha, perde, empata} Conetivos: {,,,,, }. Quantificadores: {, } Símbolos de pontuação: {(, ),,}. 12

13 O Jogo: uma TPO Assume-se variáveis universalmente quantificadas. ganha(x, Y) X=pedra Y=tesoura. ganha(x, Y) X=papel Y=pedra. ganha(x, Y) X=tesoura Y=papel. perde(x, Y) X=tesoura Y=pedra. perde(x, Y) X=pedra Y=papel. perde(x, Y) X=papel Y=tesoura. Predicado ganha/2 Predicado perde/2 empata(x,y) ganha(x, Y) perde(x, Y). Predicado empata/2 13

14 Outra Versão do Jogo Assume-se variáveis universalmente quantificadas. ganha(pedra, tesoura). ganha(papel, pedra). ganha(tesoura, papel). perde(tesoura, pedra). perde(pedra, papel). perde(papel, pedra). empata(x, X). Predicado ganha/2 Predicado perde/2 Predicado empata/2 14

15 Termos [3] Um termo é definido indutivamente da seguinte maneira: (i) Uma variável individual é um termo; (ii) Uma constante individual é um termo; (iii) Se f é uma função n-ária e t 1, t 2,..., t n são termos, então f(t 1,t 2,...,t n ) é um termo. Noção Fundamental 15

16 Fórmula Bem Formada [4] Uma fórmula bem-formada (fbf) é definida indutivamente da seguinte maneira: 1. Se p é uma constante predicativa e t 1, t 2,..., t n são termos, então, p(t 1, t 2,..., t n ) é uma fórmula bem formada denominada fórmula atômica ou simplesmente átomo; 2. Se f e g são fórmulas bem formadas, então ( f), (f g), (f g), (f g) e (f g) são fórmulas bem formadas; 3. Se f é uma fórmula bem formada e X é uma variável, então ( Xf) e ( Xf) são fórmulas bem formadas. 16

17 Exemplos de fbfs X (p(x, g(x)) q(x) r(x)) Para todo X, se q(x) é verdadeiro e r(x) é falso, então p(x, g(x)) é verdadeiro. X Y( p(x) g(x) p(y)) Para todo X existe um Y tal que: se p(x) é falso e g(x) é falso, então p(y) é verdadeiro. 17

18 Linguagem de Primeira Ordem [5] Uma linguagem de primeira ordem (LPO) sobre um alfabeto de primeira ordem é o conjunto de todas as fórmulas bem formadas construídas a partir dos símbolos deste alfabeto. Noção Fundamental 18

19 Quantificadores [6] O escopo de X em Xf e de X em Xf é f. Uma ocorrência ligada de uma variável em uma fórmula é uma ocorrência que imediatamente segue o quantificador e qualquer ocorrência dessa mesma variável no escopo desse quantificador. Qualquer outra ocorrência de variável é dita ser livre. 19

20 Fórmula Fechada [7] Uma fórmula é dita ser fechada quando não contém nenhuma ocorrência de variáveis livres. 20

21 Fecho Universal e Existencial [8] Se f é uma fórmula, então ( f) denota o fecho universal de f, que é a fórmula fechada obtida pela imposição de um quantificador universal a todas as variáveis que ocorrem livremente em f. Da mesma forma, ( f) denota o fecho existencial de f, obtido pela imposição de um quantificador existencial a todas as variáveis que ocorrem livremente em f. 21

22 Literal [9] Um literal é um átomo ou a negação de um átomo. Um literal positivo é um átomo, enquanto que um literal negativo é a negação de um átomo. Importante 22

23 Linguagens Lógicas Cláusula Cláusula de Programa Cláusula Unitária Programa em Lógica Predicado Cláusula Objetivo Cláusula Vazia Cláusula de Horn 23

24 Cláusula [10] Uma cláusula é uma fórmula do tipo: X 1... X s (l 1... l m ) onde cada l i é um literal e X 1,..., X s são todas as variáveis em l 1,..., l m. Isto é: uma cláusula é o fecho universal de uma disjunção de literais Noção Fundamental 24

25 Exemplos de Cláusulas X Y Z (p(x,z) q(x,y) r(y,z)) X Y ( p(x,y) q(f(x),y,z) A B C (p(a) q(a,f(b)) r(g(c),a,b) s(a)) 25

26 Notação Clausal Assume-se todas as variáveis universalmente quantificadas. A disjunção dos literais positivos é implicada pela conjunção dos literais negativos. Noção Fundamental Isto é: X 1... X s (a 1 a 2... a k b 1 b 2... b m ) pode ser escrito como: a 1 a 2... a k b 1 b 2... b m e finalmente: a 1, a 2,..., a k b 1, b 2,..., b m Notação Clausal Disjunção dos Literais Positivos Conjunção dos Literais Negativos 26

27 Na Tabela Verdade p q q p q q p p q V V F V V V V F V V V V F V F F F F F F V V V V Cláusula Mesmos Valores Verdade Notação Clausal 27

28 Cláusula de Programa [11] Uma cláusula de programa é uma cláusula do tipo a b 1,..., b n, que contém exatamente um literal positivo. O literal positivo, a, é denominado a cabeça da cláusula, enquanto que a conjunção de literais b 1,..., b n é o corpo da mesma. 28

29 Cláusula Unitária [12] Uma cláusula unitária, ou um fato, é uma cláusula do tipo a. Isto é, uma cláusula de programa com o corpo vazio. Em um programa em lógica, a cláusula unitária ou fato é incondicionalmente (sempre) verdadeira Importante 29

30 Regras e Fatos Importante A semântica informal de a b 1,..., b n é: para todas as possíveis atribuições de cada uma das variáveis presentes na cláusula, se b 1,..., b n são todos verdadeiros, então a é verdadeiro". Assim, se n>0, uma cláusula de programa é condicional (regra). Por outro lado, a cláusula unitária é incondicional (fato). Sua semântica informal é: para todas as possíveis atribuições de cada uma das variáveis presentes em a, a é verdadeiro". 30

31 Programa em Lógica [13] Um programa em lógica é um conjunto finito de cláusulas de programa. Noção Fundamental 31

32 Definição de um Predicado [14] Caracterização de um predicado: nome e aridade (número de argumentos). Em um programa em lógica, o conjunto de todas as cláusulas de programa que possuem o mesmo predicado p na cabeça é denominado a definição do predicado p. Noção Fundamental 32

33 Cláusula Objetivo [15] Uma cláusula objetivo é uma cláusula do tipo b 1,..., b n, isto é, uma cláusula que possui o consequente vazio. Cada b i (i = 1,..., n) é denominado um sub-objetivo da cláusula. 33

34 Cláusula Vazia [16] A cláusula vazia, denotada por (aqui é um quadradinho mesmo ), é a cláusula que possui tanto o antecedente quanto o consequente vazios. Tal cláusula deve ser interpretada como uma contradição. Noção Fundamental 34

35 Cláusula de Horn [17] Uma cláusula de Horn é uma cláusula de programa, uma cláusula objetivo ou a cláusula vazia. Cláusulas de Horn a b 1,..., b n a b 1,..., b n Significado Regra: verdade condicional Fato: verdade incondicional Objetivo: consulta ao programa Vazia: contradição 35

36 Supercontextos das Cláusulas de Horn Lógica Matemática Cálculo de Predicados de Primeira Ordem Forma Clausal Cláusulas de Horn Todos os contextos tem a mesma expressividade, isto é, tudo que é possível expressar em lógica matemática, pode ser expresso com Cláusulas de Horn! Importante 36

37 A Seguir, em Lógica para CC Exemplos, exercícios, debates e reflexão para o perfeito entendimento desta fundamentação. Programação PROLOG Básica 37