Prof. Cesar Augusto Tacla

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1 PR UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS PARTE 3: LÓGICA DE 1A. ORDEM Prof. Cesar Augusto Tacla UTFPR/Campus Curitiba 1

2 TÓPICOS Compromissos ontológicos e epistemológicos LPO Linguagem da LPO sintaxe semântica interpretação/denotação/substituição modelo lógico pragmática 2

3 REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3 COMPROMISSOS LPO 3

4 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Compromisso ontológico é o que cada linguagem pressupõe sobre a natureza da realidade (Russel e Norvig, 2004, pg. 235) Compromissos ontológicos da LPO O mundo é composto por objetos, de funções sobre eles e de relações entre eles; 4

5 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Compromissos Epistemológicos Uma lógica pode ser caracterizada pelos seus compromissos epistemológicos. Quais os estados possíveis para as crenças de um agente? 5

6 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Representação Compromissos Ontológico Compromissos Epistemológico Lógica proposicional Fatos V, F,? Lógica de primeira ordem Objetos, relações e funções V, F,? 6

7 REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3 LINGUAGEM DA LPO 7

8 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Elementos da linguagem Sintaxe: alfabeto: símbolos válidos gramática: regras de formação de fórmulas-bem-formadas (FBF) Em inglês: WFF - well-formed formulas Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de modelo, contexto e avaliação de fórmulas 8

9 LPO: EXPRESSIVIDADE Limite de expressividade da LÓGICA PROPOSICIONAL: proposições são atômicas, embora seja possível representar sentenças como a que está abaixo, falta refinamento para definir os quantificadores: Todo estudante é mais novo que pelo menos um professor. A frase diz respeito à: ser estudante; ser professor; ser mais jovem do que alguém 9

10 LPO: EXPRESSIVIDADE Predicados são utilizados para representar as categorias dos objetos (estudante, professor) e também a relação de ser mais jovem que. Exemplos de predicados E(paulo) P(josé) J(paulo, josé) Paulo é estudante José é professor Paulo é mais jovem que José 10

11 LPO: EXPRESSIVIDADE Objetos e constantes: paulo e josé são objetos (indivíduos ou particulares) do domínio. Constantes representam objetos do domínio. E(paulo) P(josé) J(paulo, josé) // paulo designa o objeto Paulo // josé também é um objeto Importante em LPO: toda constante nomeia um objeto nenhuma constante pode nomear mais de um objeto um objeto pode ter mais de um nome ou não ter nome 11

12 LPO: EXPRESSIVIDADE Podemos falar dos objetos utilizando constantes, mas podemos tratá-los de forma geral com variáveis. Caso contrário, ficaríamos muito perto da LP. Variáveis: ocupam os lugares dos objetos para que possamos construir fórmulas genéricas. Exemplos de predicados com variáveis: E(X) X é estudante P(Y) Y é professor J (X, Y) X é mais jovem que Y Esta formulação genérica, pode ter diferentes instanciações: X=joão, Y=pedro, 12

13 LPO: EXPRESSIVIDADE Quantificadores: ainda não conseguimos representar com o grau de refinamento nosso exemplo inicial. Para tanto, gostaríamos de representar a quais particulares uma sentença diz respeito: se a todos os particulares ou se um ou mais. Os quantificadores permitem expressar, ainda que de maneira grosseira, algo sobre a quantidade dos particulares que satisfazem alguma condição. 13

14 LPO: EXPRESSIVIDADE Universal: quando queremos expressar algo sobre todos os particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: todos, cada um, todas as coisas ou qualquer um(a). Exemplo: Todos objetos são quadrados. x(quadrado x ) Exemplo: Todo aluno da UTFPR é inteligente. x(aluno x Inteligente x ) 14

15 LPO: EXPRESSIVIDADE Existencial: quando queremos expressar algo sobre alguns dos particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: existe, pelo menos um, ao menos um, algum. Exemplo: Ao menos um estudante da UTFPR é inteligente. x(aluno x Inteligente x ) 15

16 LPO: EXPRESSIVIDADE Universal e existencial Exemplo: Todo estudante é mais jovem de que algum professor. x(est x y(prof y MaisJovem x, y ) 16

17 LPO: EXPRESSIVIDADE Universal e existencial Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Todos são vegetarianos. Ninguém é não-vegetariano. Não há nenhum não-vegetariano. x Vegetariano x (S1) x( Vegetariano x ) (S2 S1) 17

18 LPO: EXPRESSIVIDADE Universal e existencial Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Nem todas as aves podem voar. É falso que todas as aves podem voar. Há ao menos uma ave que não voa. ( x Ave x Vôa x ) (S1) x(ave x Vôa x ) (S2 S1) 18

19 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM SINTAXE 19

20 SINTAXE A sintaxe de uma linguagem é definida por: Alfabeto: São os símbolos lógicos e não lógicos Gramática: regras para geração de fórmulas bemformadas 20

21 Alfabeto: composto pelos símbolos lógicos e não lógicos Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação SINTAXE - ALFABETO Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo modelador. alfabeto Símbolos lógicos Símbolos não-lógicos pontuação conectivos variáveis predicados funções ( ),. [ ] = x, y, z proposição (caso especial = aridade zero) Constantes (caso especial = aridade zero) 21

22 SINTAXE: EXEMPLO A 1 C 3 Mundo composto por peças. Quais são os objetos? B 2 D 4 exemplo retirado do curso on-line AIMA Norvig e Thun 22

23 SINTAXE: EXEMPLO OBJETOS DO DOMÍNIO A 1 3 C B D São objetos: as próprias peças, mas também podem ser objetos os números e as letras. Desta forma, as peças são objetos complexos formados por objetos menores. 23

24 SINTAXE: ALFABETO Símbolos de função (não-lógicos) Funções mapeiam objetos para objetos Constantes são funções de aridade-zero; Duas constantes diferentes podem corresponder ao mesmo objeto Uma função representa UM OBJETO. 24

25 SINTAXE: ALFABETO Símbolos de função (não-lógicos) Constantes a b a1 A B 1 2 C D 3 4 função numdapeça(x) a 1 a1 1 b 2 1 dois 25

26 SINTAXE: ALFABETO Símbolos de predicados (não lógicos) Um predicado representa uma CATEGORIZAÇÃO ou uma RELAÇÃO entre objetos. peça vogal Proposições A HáConsoante = {( )} 3 cjto com uma tupla com zero elementos V cjto sem tupla F (não tem consoante) acima 1 C Predicados unários (monádicos) Vogal(X) = {A} B 2 2 D 4 Predicados binários (diádicos) Acima(X, Y) = {(a,b), (a,d), (c, b), (c, d)} Aqui a, b, c e d representam os objetos em si 26

27 GRAMÁTICA Gramática São as regras para construção de sentenças válidas utilizando-se o alfabeto da linguagem Termos Fórmulas atômicas bem-formadas (FABFs) Fórmulas bem-formadas (FBFs) Sentenças 27

28 GRAMÁTICA: TERMOS TERMOS Toda variável é um termo Toda constante é um termo Se t 1,..., t n são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0, então f(t 1,..., t n ) é um termo Nada mais é um termo. Termos designam objetos do domínio. Termos não tem valor-verdade 28

29 SINTAXE: GRAMÁTICA Exemplos de termos X é uma variável Ex. no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro a é uma constante Ex. no domíno das vogais, o símbolo a pode denotar a vogal a épaibiode(x) é uma função é uma função de aridade 1 Ex. denota o pai de X que pode ser qualquer objeto no domínio família épaibiode(émãebiologicade(x)) avô materno de x termos aninhados émãede(x) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1 épaide(o1) denota o objeto que é pai de o1 29

30 GRAMÁTICA: FÓRMULAS ATÔMICAS Fórmulas atômicas bem-formadas (FABF) Se t 1, t 2,..., t n são termos e P é um predicado de aridade n então P(t 1, t 2,..., t n ) é uma fórmula atômica bem-formada. Se t 1 e t 2 são termos, então (t 1 =t 2 ) é uma fórmula atômica bem formada. Exemplos: Acima(a1, X) numdapeça(a1)=numdapeça(y) Contra-Exemplo: numdapeca(a1) é um termo 30

31 GRAMÁTICA: FÓRMULAS BEM-FORMADAS FÓRMULA BEM-FORMADA (FBF) 1. Toda FABF é uma FBF. 2. Se A e B são FBFs e v é uma variável então A (A B) (A B) v.a v.a são FBFs Subjconjunto proposicional: não há termos nem funções FABFs: somente predicados de aridade zero. 31

32 SINTAXE: GRAMÁTICA EXEMPLOS DE FBFs Inteligente(paiDe(x)) x.inteligente(paide(x)) (Jovem(y) x.inteligente(paide(x)) 32

33 SINTAXE: NOTAÇÃO Ocasionalmente parênteses podem ser omitidos É possível utilizar [ ], { } Abreviações (a b) for ( a b) Símbolos não-lógicos: Predicados: iniciam por maiúsculas Pessoa, Feliz, MaisVelhoQue Funções e constantes: iniciam por minúsculas paide, sucessor, joaodasilva 33

34 SINTAXE: SENTENÇA ESCOPO DOS QUANTIFICADORES Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores Variáveis aparentes (bounded): estão no escopo dos quantificadores (P(x) ( y ( x(p(y) Q(x))))) 34

35 GRAMÁTICA: SENTENÇA IMPORTANTE: embora uma variável possa ser livre e presa ao mesmo tempo, suas ocorrências ou são livres ou são presas (exclusivamente). ( x (P(x) Q(x)) ( P(x) Q(y)) x Q P Q P y x x x Em azul, ocorrências livres das variáveis x e y 35

36 GRAMÁTICA: SENTENÇA SENTENÇA OU FÓRMULA FECHADA É uma FBF sem variáveis QUE OCORREM livres. Possui valor-verdade. Variáveis livres representam qualquer objeto do domínio (de forma arbitrária). Deste modo, o valorverdade de uma fórmula com variável livre varia de acordo com o objeto que a variável livre designar. Notação a[v/t] significa que todas as ocorrências livres de v são substituídas pelo termo t a v t também é utilizada 36

37 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM SEMÂNTICA 37

38 SEMÂNTICA Semântica Define o significado no mundo das fórmulas bem-formadas para, no final das contas, atribuirmos valores-verdade (F ou V). O significados de uma fórmula deriva da INTERPRETAÇÃO dos símbolos não-lógicos presentes na mesma (os símbolos lógicos tem significado fixo) 38

39 SEMÂNTICA Ex. vamos supor que Feliz(joao) é uma fórmula bem formada; O símbolo joao denota um indivíduo; O símbolo feliz é um predicado. Joao tem a propriedade de estar feliz. O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joao e Feliz) pode variar de uma pessoa a outra 39

40 SEMÂNTICA O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças de interpretação ainda que a noção de feliz seja diferente de pessoa para pessoa Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos pela dificuldade de precisar seus significados ou pela simples dificuldade de entender o ponto de vista do modelador PaísDemocrático MelhorComidaDoMundo éboapessoa txn27 40

41 SEMÂNTICA Na lógica de 1ª. Ordem não é preciso dar definições precisas (como a de um dicionário) para os símbolos nãológicos, por exemplo, que um país democrático é um pais que possui eleições, liberdade de expressão, etc. É preciso somente declarar quais objetos são países democráticos e quais não são. Se há divergências na definição de quais são democráticos, fala-se em diferentes interpretações 41

42 SEMÂNTICA A LPO assume que Tudo que necessitamos saber são as extensões dos predicados P e os mapeamentos das funções F para atribuir valores-verdade às fórmulas Em outras palavras, necessitamos» definir quais são os objetos do domínio» quais deles satisfazem P» que mapeamentos definem f Assim, é possível determinar quais sentenças em LPO são verdadeiras e quais são falsas. 42

43 SEMÂNTICA INTERPRETAÇÃO 43

44 INTERPRETAÇÃO Em lógica de primeira-ordem, a interpretação é definida por: Há objetos no mundo Para qqer predicado de aridade 1, alguns objetos satisfazem P outros não Predicados de aridade superior são tratados similarmente (ex. aridade 3, define triplas de objetos que satisfazem o predicado) Funções de aridade 3 são interpretadas como mapeamentos de triplas de objetos para objetos. Nenhum outro aspecto do mundo interessa! Ex. mundo populado por indivíduos onde alguns são felizes e outros não Feliz(x) é verdadeiro para os indivíduos pintados. 44

45 Interpretação é um par (D, I) D = Domínio da interpretação: conjunto não vazio de objetos INTERPRETAÇÃO I = função que mapeia símbolos não lógicos para funções em D ou para relações em D. I[função(t 1,, t n )] [D n D] I[constante] D I[Predicado(t 1,..., t n )] D n D n é D 1 x x D n Para símbolos proposicionais I[p] = {} ou I[p] = {<>} Convém assumir que = I {proposições {true, false}} 45

46 INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO Interpretação é um par (D, I) Exemplo: D = {1, 2, 3, } Interpretação de constantes I[1] = 1 I[2] = 2 Interpretação de predicados I[Par] = {2, 4, 6, } Interpretação de funções I[suc] = {(1 2), (2 3), } Par(3) Par(suc(3)) 46

47 INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO Interpretação é um par (D, I) Exemplo: considere o domínio de pessoas e cachorros Domínio PREDICADOS Pessoa(x) é um predicado unário I[Pessoa] D Cao(x) é um predicado unário I[Cao] D totó catita joão MelhorAmigo Dono maria Dono scooby Dono(x, y) é um predicado binário que relaciona um objeto x a um objeto y indicando que x é dono de y I[Dono] D x D é um conjunto de pares de objetos, onde o primeiro é uma pessoa dona do segundo que é um cão. I[melhorAmigo] [D D] FUNÇÃO melhoramigo(x) é uma função que mapeia uma pessoa para seu melhor amigo 47

48 INTERPRETAÇÃO As funções em LPO são totais Então a função MelhorAmigo, que retorna o melhor amigo de uma pessoa, deve fazer algo razoável com objetos que não são pessoas! I[melhorAmigo] [D D] Interpretação envolve denotação 48

49 SEMÂNTICA DENOTAÇÃO 49

50 DENOTAÇÃO DE UMA VAR LIVRE Denotação: atribuição de valores às variáveis de uma fórmula para podermos atribuir-lhe um valor-verdade. Cao(x) y.dono(y, z) x, = [x] = totó z, = [z] = totó I[Cao] = {totó, catita, scooby} I[Dono] = {(maria, catita), (maria, scooby)} A fórmula é FALSA para a e [x] = totó A fórmula é TRUE para a e [x] = catita ana totó catita Domínio joão MelhorAmigo Dono maria Dono scooby interpretação 50

51 DENOTAÇÃO Na denotação de termos que apresentam variáveis, é preciso atribuir valores do domínio D às variáveis Se x é uma variável então a atribuição [x] é um elemento qualquer do domínio Formalmente, a denotação de um termo t, na interpretação com a atribuição de valores representada por t, é definida por 1. Se x é uma variável então x, = [x] 2. Se t 1,, t n são termos e f é um símbolo de função de aridade n então f(t 1,, t n ), = F(d 1,, d n ) onde F=I(f) e d i = t i, Observar que: I(f) é a interpretação de f definida por [D x x D D] As regras são recursivas (um termo pode ser uma função) t, é sempre UM ÚNICO elemento de D 51

52 SEMÂNTICA SATISFAÇÃO 52

53 SATISFAÇÃO Dada uma interpretação = (D, I) e a denotação.,, pode-se determinar quais FBFs são verdadeiras e quais são falsas na interpretação com a denotação. Uma FBF verdadeira na interpretação é dita satisfeita. 53

54 SATISFAÇÃO Não satisfazível (insatisfazível): se não é satisfazível para nenhum par (, ) Falseável: se existe algum par (, ) que não satisfaz Válida (i.e., uma tautologia): se toda (, ) satisfaz 54

55 SATISFAÇÃO Uma FBF é satisfazível em com a atribuição. Escreve-se:, se é uma FBF com variáveis livres quando se trata de sentenças (pode-se omitir a denotação) Para um conjunto de sentenças S, escreve-se S 55

56 SATISFABILIDADE x.cão(melhoramigo(x)) Encontre um par (, ) que satisfaça à fórmula. O par (, ) abaixo satisfaz a fórmula: I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={ana maria, joão totó, maria joão, totó totó catita catita, scooby scooby] [x]=totó A função MelhorAmigo é total. Neste caso considera-se que na ausência de um melhorarmigo o próprio objeto é melhor amigo dele mesmo (não foi representada na figura) 56

57 MODELO LÓGICO Uma interpretação é um modelo lógico de um conjunto de sentenças S se todas as sentenças de S são verdadeiras na interpretação com a atribuição Notação: S 57

58 MODELO LÓGICO Conjunto de sentenças S x.cão(melhoramigo(x)) y.(pessoa(y) Pessoa(melhorAmigo(y)) Há um par (, ) que saisfaz o conjunto S? Domínio O par (, ) abaixo satisfaz a fórmula: ana joão MelhorAmigo D={joão, ana, totó, catita, scooby, maria} I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} totó catita Dono maria Dono scooby I[melhorAmigo]={(ana maria), (joão maria), (maria joão), (totó totó) (catita catita), (scooby scooby)} [x]={totó} [y]={maria, joão, ana, totó, catita, scooby} Ver itens 6 e 7 do slide seguinte A função MelhorAmigo é total. Neste caso considera-se que na ausência de um melhorarmigo o próprio objeto é melhor amigo dele mesmo (ver cães) 58

59 SATISFAÇÃO Atribui d a v Copyright Brachman e Levesque, pg

60 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM PRAGMÁTICA 60

61 CONSEQUÊNCIA LÓGICA: CONCEITO Embora as regras semânticas da interpretação dependam da interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos Caso contrário, como poderíamos obter todas as interpretações?) Por exemplo, sendo γ definido por ( ), uma interpretação onde é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente de como entendemos os símbolos e Sempre que for verdadeiro, γ também será!!! Logo, γ é uma consequência lógica de ou a verdade de γ está implícita na verdade de 61

62 CONSEQUÊNCIA LÓGICA Formalmente: é uma consequência lógica de S se e somente se é verdadeira em todos os modelos de S S sse para toda interpretação, se S então 62

63 CONSEQUÊNCIA LÓGICA De outra forma, não há interpretação onde S { } (i.e. S { } é insatisfazível) Quando uma sentença é válida (em qualquer interpretação), escreve-se: Quando o conjunto S é finito, consequência lógica se reduz à validade da implicação lógica: S={ 1,..., n}, então S se e somente se ( 1... n) for válida 63

64 CONSEQUÊNCIA LÓGICA Um KBS pode tirar conclusões interessantes? Se Cachorro(fido) então pode concluir Mamífero(fido)??? Depende... Há interpretações onde I[Cachorro] I[Mamífero] Não temos acesso a todas as interpretações possíveis para os símbolos lógicos... Conjuntos infinitos de objetos!!! Pode-se utilizar consequência lógica, se S é true na interpretação pretendida, então também será! Se o usuário/agente enxerga um mundo que satisfaz S, então este mundo também satisfaz Temos que incluir relações EXPLICITAMENTE em S: x[cachorro(x) Mamífero(x)] S U {Cachorro(fido)} = Mamífero(fido) 64

65 CONSEQUÊNCIA LÓGICA KB é um conjunto de sentenças: Declaração explícita de sententeças que são acreditadas (incluindo conexões/relações entre símbolos não-lógicos) KB =, é uma consequência adicional ao que já é acreditado, então tem-se que: KB = conhecimento explícito = conhecimento implícito 65

66 CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA = Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde? verde A B B é verde b está sobre c, portanto há um cubo verde sobre um não verde cor desconhecida B Dois casos possíveis c não é verde C B B não é verde a está sobre b, portanto há um cubo verde sobre um não verde Ou seja, qualquer que seja a interpretação, a sentença proposta será satisfeita! Portanto, a sentença é uma crença implícita. 66

67 CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA S = {O(a,b), O(b,c), G(a), G (c)} = x y[g(x) G (y) O(x,y)] S =?? Suponha que uma dada interpretação S i.e. O conjunto de sentenças S é válido na interpretação Caso 1 1. G(b). 2. G(b) O(b,c) G(c) daí segue que é V a b c Caso 2 1. G(b) 2. G(a) O(a,b) G(b) daí segue que é V a b c Portanto, para qualquer interpretação, se S e então a verdade de alfa está implícita na verdade de S: S 67