Conteúdo. Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42)

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1 Conteúdo Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42)

2 Correção exercicios 11) P(x) = x = x 2 P(0) P(1) P(2) 12) Q(x) = x + 1 = 2x Q(0) Q(-1) Q(1)

3 Correção exercicios 11) P(x) = x = x 2 P(0) Verdade P(1) Verdade P(2) Falso 12) Q(x) = x + 1 = 2x Q(0) Q(-1) Q(1)

4 Correção exercicios 11) P(x) = x = x 2 P(0) Verdade P(1) Verdade P(2) Falso 12) Q(x) = x + 1 > 2x Q(0) Verdade Q(-1) Verdade Q(1) Falso

5 Lógica de Predicados Quantificadores

6 Quantificadores São frases do tipo: para todo para cada para algum Ou seja, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, têm uma determinada propriedade.

7 Quantificadores - Tipos Universal: considera todos os elementos de um conjunto Existencial: Existe um ou mais elementos de um conjunto.

8 Quantificador Universal Propriedade é verdadeira para todos os valores de uma variável em um determinado domínio, ou seja, todos os elementos do domínio tornam o predicado verdadeiro. Domínio = Conjunto Verdade Símbolo Usado:

9 Quantificador Universal Notação: ( x A) (P(x)) x A, P(x) x A: P(x) ( x ) P(x) x, P(x) x: P(x) x P(x)

10 Quantificador Universal Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à conjunção das proposições. x P(x) P(a 1 )^ P(a 2 ) ^... P(a n )

11 Quantificador Universal Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à conjunção das proposições. x P(x) P(a 1 )^ P(a 2 ) ^... ^P(a n ) Sendo assim ao usarmos o quantificador universal no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.

12 Quantificador Universal Exemplo: A= {3,5,7} P(x) = x é primo x P(x) é???

13 Quantificador Universal Exemplo: A= {3,5,7} P(x) = x é primo x P(x) é Verdade Um elemento para o qual P(x) é falsa é chamado de contra exemplo para x P(x) e torna x P(x) falso também.

14 Quantificador Universal Exemplo: P(x) = x +1 > x Domínio: o conjunto dos números reais. x P(x) é?

15 Quantificador Universal Exemplo: P(x) = x +1 > x Domínio: o conjunto dos números reais. x P(x) é Verdade

16 Quantificador Universal Exemplo: Q(x) = x < 2 Domínio: o conjunto dos números reais x Q(x) é???

17 Quantificador Universal Exemplo: Q(x) = x < 2 Domínio: o conjunto dos números reais Q(3) é Falso logo x Q(x) é Falso Contra exemplo

18 Quantificador Existencial Propriedade é verdadeira para pelo menos um valor de uma variável em um determinado domínio, ou seja, existe um elemento do domínio que torna o predicado verdadeiro. Símbolo Usado:

19 Quantificador Existencial Exemplo P(x) = x é aluno de fundamentos 1 que tem N1=10.0 Domínio = {alunos desta sala} Podemos escrever que: x P(x)

20 Quantificador Existencial Notação: ( x A) (P(x)) x A, P(x) x A: P(x) ( x ) P(x) x, P(x) x: P(x) x P(x)

21 Quantificador Existencial Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à disjunção das proposições. x P(x) P(a 1 ) v P(a 2 ) v... v P(a n )

22 Quantificador Existencial Seja A = {a 1,a 2,..., a n } o domínio considerado para o predicado P(x). Então x P(x) equivale à disjunção das proposições. x P(x) P(a 1 ) v P(a 2 ) v... v P(a n ) Sendo assim ao usarmos o quantificador existencial no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.

23 Quantificador Existencial Exemplo: P(x) = x > 3 Domínio: conjunto dos números reais. Temos que 4 > 3 logo x P(x) é V

24 Quantificador Existencial x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio. Exemplo: ( n N) (n+4<8) O Conjunto Verdade = {0,1,2,3}, logo a proposição é verdadeira x P(x) é Verdade

25 Quantificador Existencial x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio. Exemplo: ( n N) (n+4 < 4) O Conjunto Verdade = { }, logo o predicado é falso x P(x) é Falso

26 Quantificadores Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como: existem exatamente dois existem não mais de três existe um único x tal que P(x) é verdadeiro

27 Quantificadores Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como existem exatamente dois existem não mais de três existe um único x tal que P(x) é verdadeiro Quantificador de Unicidade

28 Quantificadores Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como existem exatamente dois existem não mais de três existe um único x tal que P(x) é verdadeiro!x P(x) ou 1 x P(x) Quantificador de Unicidade

29 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. Como podemos representar isso na lógica?

30 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica

31 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica 2) Definir o domínio Domínio = {estudantes desta classe}

32 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou lógica 2) Definir o domínio Domínio = {estudantes desta classe} 3) Escrever a proposição: x C(x)

33 Traduzindo do Português Todo estudante desta classe estudou lógica. 1) Definir o predicado C(x) = x estudou calculo 2) Definir o domínio Existem várias maneiras de Domínio = {estudantes desta classe} tradução!!!! 3) Escrever a proposição: x C(x)

34 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~ x P(x)

35 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~ x P(x) Podemos reformular a frase para: Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x)

36 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~ x P(x) Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x) Ilustramos que: ~ x P(x) x ~P(x)

37 Negando Expressões Quantificadas Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo. x P(x) Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~ x P(x)

38 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~ x P(x) Podemos reformular a frase para: Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x)

39 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~ x P(x) Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x) Ilustramos que: ~ x P(x) x ~P(x)

40 Negando Expressões Quantificadas As regras para negações de quantificadores são chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores. ~ x P(x) x ~P(x) ~ x P(x) x ~P(x)

41 Rosen Pg 46 Ex. 5 Considere P(x) como o predicado x passa mais do que cinco horas em aula todos os dias, em que o domínio de x são todos os estudantes. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x P(x) b) x P(x) c) x ~P(x) d) x ~P(x)

42 Exercícios 1) Quais as negações de: a) Existe um político honesto b) Todos os brasileiros comem churrasco 2) Negar x (x 2 > x) 3) Negar x (x 2 = x)

43 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} Como fica a proposição???

44 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x)

45 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~ x H(x)

46 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~ x H(x) Sabemos que ~ x H(x) x ~H(x) Então podemos dizer que:...

47 Exercício 1) 1) Existe um político honesto H(x) = x é honesto Domínio = {todos os políticos} x H(x) negando ~ x H(x) Sabemos que ~ x H(x) x ~H(x) Então podemos dizer que: Todos os políticos são desonestos.

48 Exercício 1b Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} Como fica a proposição???

49 Exercício 1b Todos os brasileiros comem churrasco C(x) = x como churrasco Domínio = {os brasileiros} x P(x)

50 Exercício 1b Todos os brasileiros comem churrasco P(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x) ~ x P(x)

51 Exercício 1b Todos os brasileiros comem churrasco P(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x) ~ x P(x) x ~P(x)

52 Exercício 1b Todos os brasileiros comem churrasco P(x) = x como churrasco Domínio = {todos os brasileiros} x P(x) ~ x P(x) x ~P(x) Existe pelo menos um brasileiro que não come churrasco. Algum brasileiro não come churrasco.

53 2) Negar x (x 2 > x)

54 2) Negar x (x 2 > x) ~ x (x 2 > x)????

55 2) Negar x (x 2 > x) ~ x (x 2 > x) x ~ (x 2 > x)????

56 2) Negar x (x 2 > x) ~ x (x 2 > x) x ~ (x 2 > x)???? x (x 2 x) Qual????

57 Exercícios Negar x (x 2 = x)

58 Exercícios Negar x (x 2 = x) ~ x (x 2 = x)????

59 Exercícios Negar x (x 2 = x) ~ x (x 2 = x) x ~(x 2 = x)????

60 Exercícios Negar x (x 2 = x) ~ x (x 2 = x) x ~(x 2 = x)???? x (x 2 x) É Verdade?

61 Exercícios Rosen(47 e 48)