Lógica Matemática - Quantificadores

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1 Lógica Matemática - Quantificadores Prof. Elias T. Galante Quantificador Universal Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não-vazio A e seja V p o seu conjunto verdade: V p = {x x A p(x)}. Quando V p = A podemos afirmar: i) Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira (V). ii) Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira (V). iii) Para todo x de A, p(x). iv) Qualquer que seja x de A, p(x). Ou então, considerando o simbolismo da Lógica Matemática: 1) ( x A)(p(x)) 2) x A, p(x) 3) x A : p(x) 4) ( x)(p(x)) 5) x, p(x) 6) x : p(x) Note que p(x) sozinha é uma sentença aberta e, dessa forma, não tem valor lógico definido V ou F. Porém, quando adicionamos o símbolo antes de p(x), isto é, quando escrevemos ( x A)(p(x)), obtemos uma proposição, a qual tem um valor lógico definido. Será a verdade (V), caso V p = A, ou falsidade (F), caso V p A. Dessa forma, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo, referido à variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, a qual será verdadeira (V) ou falsa (F). A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e ao respectivo símbolo (que é um A invertido) o de quantificador universal. 1

2 Portanto, é válida a equivalência: ( x A)(p(x)) V p = A. Se A é conjunto finito com n elementos, isto é, A = {a 1, a 2,..., a n } temos: ( x A)(p(x)) (p(a 1 ) p(a 2 )... p(a n )). Muitas vezes o quantificador é escrito depois da expressão quantificada, e não antes. Por exemplo, tem-se em R: x 2 4 = (x + 2)(x 2), x. Na expressão acima o símbolo x pode ser lido qualquer que seja x, ou para todo valor de x, ou ainda para todo o x. Quantificador Existencial Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não-vazio A e seja V p o seu conjunto verdade: V p = {x x A p(x)}. Quando V p não é vazio (V p ), então, um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x). Daí podemos afirmar: i) Existe pelo menos um x A tal que p(x) é verdadeira (V). ii) Para algum x A, p(x) é verdadeira (V). iii) Existe x A, tal que p(x). iv) Para algum x A, p(x). Ou então, considerando o simbolismo da Lógica Matemática: 1) ( x A)(p(x)) 2) x A, p(x) 3) x A : p(x) 4) ( x)(p(x)) 5) x, p(x) 6) x : p(x) 2

3 Note que p(x) sozinha é uma sentença aberta e, dessa forma, não tem valor lógico definido V ou F. Porém, quando adicionamos o símbolo antes de p(x), isto é, quando escrevemos ( x A)(p(x)), obtemos uma proposição, a qual tem um valor lógico definido. Será a verdade (V), caso V p, ou falsidade (F), caso V p =. Dessa forma, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo, referido à variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, a qual será verdadeira (V) ou falsa (F). A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo (que é um E invertido) o de quantificador existencial. Portanto, é válida a equivalência: ( x A)(p(x)) V p. Se A é conjunto finito com n elementos, isto é, A = {a 1, a 2,..., a n } temos: ( x A)(p(x)) (p(a 1 ) p(a 2 )... p(a n )). Por exemplo, no universo finito A = {3, 4, 5}, sendo p(x) a sentença aberta x é par, tem-se: ( x A)(p(x)) (3 é par 4 é par 5 é par). Mais um exemplo: a expressão ( x)(x > x 2 ) pode ser lida Existe pelo menos um x tal que x > x 2. O símbolo nunca pode ser escrito após a sentença aberta quantificada. Variável Aparente e Variável Livre Quando há um quantificador a incidir sobre uma variável, esta diz-se aparente ou muda; caso contrário diz-se livre. Dessa forma a letra x é variável livre nas sentenças: Porém é variável aparente em: 3x 1 = 14, x + 1 > x. ( x)(3x 1 = 14), ( x)(x + 1 > x). PRINCÍPIO DE SUBSTITUIÇÃO DAS VARIÁVEIS APARENTES: Todas as vezes que uma variável aparente é substituída, em todos os lugares que ocupa numa expressão, por outra variável que não figure na mesma expressão, obtém-se uma expressão equivalente. 3

4 Quantificador de Existência e Unicidade Para a sentença aberta x 3 = 27, em R, temos que: 1. ( x R)(x 3 = 27) 2. x 3 = 27 y 3 = 27 x = y A conjunção das duas proposições acima diz que existe um x R e um só tal que x 3 = 27. Para indicar este fato, escreve-se: (!x R)(x 3 = 27), onde o símbolo! é chamado quantificador existencial de unicidade e se lê: existe um e um só. Negação de Proposições com Quantificador A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial (seguido de negação) e vice-versa. A negação da proposição ( x A)(p(x)) é equivalente a afirmação de que, para pelo menos um x A, p(x) é falsa ou p(x) é verdadeira. [( x A)(p(x))] ( x A)( p(x)). Analogamente, a negação da proposição ( x A)(p(x)) é equivalente a afirmação de que, para todo x A, p(x) é falsa ou p(x) é verdadeira. [( x A)(p(x))] ( x A)( p(x)). Essas duas equivalências são conhecidas por segundas regras de negação de DE MORGAN. Contra-exemplo Para mostrar que uma proposição da forma ( x A)(p(x)) é falsa (F), basta mostrar que a sua negação ( x A)( p(x)) é verdadeira (V), isto é, que existe pelo menos um elemento x 0 A tal que p(x 0 ) é uma proposição falsa (F). Pois bem, o elemento x 0 diz-se um contra-exemplo para a proposição ( x A)(p(x)). EXEMPLO: A proposição ( x Z + )(x 2 + x + 41 é primo) é falsa, sendo x 0 = 40. 4

5 Quantificação com mais de uma Variável Quantificação parcial, quantificação múltipla Dada uma sentença aberta com mais de uma variável, a aplicação de um quantificador referido a uma das variáveis, transforma a sentença aberta dada numa outra sentença aberta com menos uma variável livre. Logo, a aplicação sucessiva de quantificadores acaba por transformar uma sentença aberta com mais de uma variável numa proposição. EXEMPLO: ( x A)(2x + y < 7), sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} o universo das variáveis x e y, é uma sentença aberta em y cujo conjunto-verdade é {1, 2, 3, 4}. EXEMPLO: ( y A)(2x + y < 10), sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} o universo das variáveis x e y, é uma sentença aberta em x cujo conjunto-verdade é {1, 2}. Toda a sentença aberta precedida de quantificadores, um para cada variável, isto é, com todas as variáveis quantificadas, é uma proposição, pois assume um dos valores lógicos: V ou F. Assim, por exemplo, são proposições as seguintes expressões: 1. ( x A)( y B)(p(x, y)) 2. ( x A)( y B)(p(x, y)) 3. ( x A)( y B)( z C)(p(x, y, z)) Comutatividade Quantificadores da mesma espécie podem ser comutados: ( x)( y)(p(x, y)) ( y)( x)(p(x, y)); ( x)( y)(p(x, y)) ( y)( x)(p(x, y)). Quantificadores de espécies diferentes não podem em geral ser comutados. 5

6 Negação Quantificadores de mesma espécie: ( x)( y)(p(x, y)) ( x)( ( y)(p(x, y))) ( x)( y)( p(x, y)) ( x)( y)(p(x, y)) ( x)( ( y)(p(x, y))) ( x)( y)( p(x, y)) Quantificadores de espécies diferentes: Três quantificadores: ( x)( y)(p(x, y)) ( x)( ( y)(p(x, y))) ( x)( y)( p(x, y)) ( x)( y)(p(x, y)) ( x)( ( y)(p(x, y))) ( x)( y)( p(x, y)) ( x)( y)( z)(p(x, y, z)) ( x)( ( y)( z)(p(x, y, z))) ( x)( y)( z)( p(x, y, z))) 6