Departamento de Matemática Universidade do Minho, Braga 2009 /2010. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p.

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1 Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica Lógica CC Departamento de Matemática Universidade do Minho, Braga 2009 /2010 Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 1/7

2 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.1 Um tipo de linguagem é um terno (F, R, N), em que: a) F é um conjunto, numerável ou finito, de símbolos designados por símbolos de função; b) R é um conjunto, numerável ou finito, de símbolos designados por símbolos de relação ou símbolos de predicado; c) N é uma função de domínio F R e conjunto de chegada N 0. Para cada s F R, chamamos ao número natural N(s) a aridade de s. Os símbolos de função de aridade 0 são chamados constantes. Exemplo 3.2 O terno ({0,s,+, }, {=,<}, N ), onde N(0) = 0, N(s) = 1, N(+) = 2, N( ) = 2, N(=) = 2 e N(<) = 2, é um tipo de linguagem. Chamaremos L Arit a este tipo de linguagem para a Aritmética. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 2/7

3 Sintaxe do Cálculo de Predicados Caso nada seja dito em contrário, L é utilizado para representar um tipo linguagem (F, R, N), cujo conjunto das constantes é C. Definição 3.3 O alfabeto A L, do Cálculo de Predicados, induzido por um tipo de linguagem L é o conjunto formado pelos seguintes símbolos: a) símbolos de função e símbolos de predicado de L; b),,,, e, chamados conectivos proposicionais; c) x 0,x 1,...,x n,..., chamados variáveis (de indivíduo), formando um conjunto numerável, notado por V; d) e, chamados quantificador existencial e quantificador universal respectivamente; e) (, ) e, chamados símbolos auxiliares. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 3/7

4 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.4 O conjunto de L-termos, que notamos por T L, é o conjunto definido indutivamente, sobre o conjunto de palavras sobre A L, pelo seguinte conjunto de regras: a) para cada variável x i V, x i T L x i ; b) para cada constante c de L, c T L c ; c) para cada símbolo de função f de L, de aridade n 1, t 1 T L... t n T L f(t 1,...,t n ) T L f. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 4/7

5 Sintaxe do Cálculo de Predicados Exemplo 3.5 A palavra (x 1,s(0)) sobre o alfabeto A LArit é um L Arit -termo. De facto, 0 0 T x LArit 1 s x 1 T LArit s(0) T LArit (x 1,s(0)) T LArit é uma árvore de formação de (x 1,s(0)). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 5/7

6 Sintaxe do Cálculo de Predicados Notação: No caso em que f é um símbolo de função binário e t 1 e t 2 são L-termos, é usual a notação t 1 ft 2 (possivelmente entre parêntesis) para representar o L-termo f(t 1,t 2 ). Por exemplo, a notação x 1 s(0) representará o L Arit -termo (x 1,s(0)). Definição 3.6 Chamaremos subtermos aos sub-objectos de um L-termo. Exemplo 3.7 O conjunto dos subtermos de x 1 s(0) é {x 1 s(0),x 1,s(0),0}. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 6/7

7 Sintaxe do Cálculo de Predicados A definição indutiva do conjunto de L-termos é determinista, Assim, existe um teorema de recursão estrutural para L-termos, que pode ser enunciado como se segue. Teorema 3.8 [Teorema da Recursão Estrutural para L-Termos] Sejam X um conjunto, g V : V X e g C : C X funções e seja, para cada símbolo de função f, de aridade n 1, g f : X n X uma função. Então, existe uma e uma só função G : T L X tal que: a) Para todo x V, G(x) = g V (x); b) Para todo c C, G(c) = g C (c); c) para todo o símbolo de função f, de aridade n 1, e para todo t 1,...,t n T L, G(f(t 1,...,t n )) = g f (G(t 1 ),...,G(t n )). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 7/7

8 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.9 A função VAR : T L P(V), que a cada L-termo t faz associar o conjunto VAR(t) das variáveis que ocorrem em t, é definida, por recursão estrutural em T L, do seguinte modo: a) Para todo x V, VAR(x) = {x}; b) Para todo c C, VAR(c) = ; c) para todo o símbolo de função f, de aridade n 1, e para todo t 1,...,t n T L, n VAR(f(t 1,...,t n )) = VAR(t i ). Exemplo 3.10 O conjunto das variáveis que ocorrem no L Arit -termo x 0 s(x 1 ) é i=1 VAR(x 0 s(x 1 )) = VAR(x 0 ) VAR(s(x 1 )) = {x 0 } VAR(x 1 ) = {x 0,x 1 }. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 8/7

9 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.11 Sejam x V e t T L. A função [t/x] : T L T L que a cada L-termo t 0 faz associar o L-termo que resulta da substituição em t 0, da variável x pelo termo t, é definida, por recursão estrutural, do seguinte modo: t se y = x a) para todo y V, y[t/x] = y se y x b) para todo c C, c[t/x] = c; c) para todo o símbolo de função f, de aridade n 1, e para todo t 1,...,t n T L, f(t 1,...,t n )[t/x] = f(t 1 [t/x],...,t n [t/x]). O L-termo que resulta da substituição em t 0, da variável x pelo termo t, é representado por t 0 [t/x]. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 9/7

10 Sintaxe do Cálculo de Predicados Exemplo 3.12 O L Arit -termo que resulta da substituição de x 1 por s(0), em x 0 s(x 1 ), é (x 0 s(x 1 ))[s(0)/x 1 ] = x 0 [s(0)/x 1 ] s(x 1 )[s(0)/x 1 ] = x 0 s(x 1 [s(0)/x 1 ]) = x 0 s(s(0)). Uma vez que o conjunto de L-termos é definido indutivamente, existe um teorema de indução estrutural para este conjunto, que pode ser enunciado como se segue. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 10/7

11 Sintaxe do Cálculo de Predicados Teorema 3.13 [Indução Estrutural em L-Termos] Seja P(t) uma propriedade que depende de um L-termo t. Se: a) para todo x V, P(x) é válida; b) para todo c C, P(c) é válida; c) para todo o símbolo de função f, de aridade n 1, e para todo t 1,...,t n T L, se P(t 1 ) e... e P(t n ) são válidas, então P(f(t 1,...,t n )) é válida então, para todo t T L, P(t) é válida. Proposição 3.14 Dados L-termos t 1 e t 2 e dada uma variável x, se x VAR(t 1 ), então t 1 [t 2 /x] = t 1. Dem: Por indução estrutural em t 1. (Exercício.) Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 11/7

12 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.15 Seja L um tipo de linguagem. Uma palavra sobre o alfabeto A L da forma R(t 1,...,t n ), onde R é um símbolo de relação de aridade n e t 1,...,t n são L-termos, é chamada uma L-fórmula atómica. O conjunto das L-fórmulas atómicas é representado por At L. Exemplo 3.16 As palavras < (x 0,s(0)) e = (x 0,x 1 ), sobre o alfabeto A LArit, são L Arit -fórmulas atómicas. Notação: Quando R é um símbolo de relação binário e t 1 e t 2 são L-termos, utilizamos a notação t 1 Rt 2 (possivelmente entre parêntesis) para representar a L-fórmula atómica R(t 1,t 2 ). Por exemplo, a notação x 0 < s(0) representará a L Arit -fórmula atómica < (x 0,s(0)). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 12/7

13 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.17 Seja L um tipo de linguagem. O conjunto das L-fórmulas, que representamos por F L, é o conjunto definido indutivamente, sobre o conjunto de palavras sobre A L, pelas regras seguintes: a) F L ; b) ϕ F L At L, para cada ϕ At L ; c) d) ϕ F L ( ϕ) F L ; ϕ F L ψ F L (ϕ ψ) F L, para cada {,,, }; e) f) ϕ F L ( x ϕ) F L x, para cada x V; ϕ F L ( x ϕ) F L x, para cada x V. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 13/7

14 Sintaxe do Cálculo de Predicados Exemplo 3.18 A palavra ( x0 ( x1 (( (x 0 < s(0))) (x 0 = x 1 ))), sobre o alfabeto induzido pelo tipo de linguagem L Arit, é uma L Arit -fórmula, como prova a árvore de formação seguinte: At LArit (x 0 < s(0)) F LArit At LArit ( (x 0 < s(0))) F LArit (x 0 = x 1 ) F LArit (( (x 0 < s(0))) (x 0 = x 1 )) F LArit x1 ( x1 (( (x 0 < s(0))) (x 0 = x 1 ))) F LArit x0 ( x0 ( x1 (( (x 0 < s(0))) (x 0 = x 1 ))) F LArit Para simplificação de escrita, omitiremos alguns parêntesis na escrita de fórmulas; os parêntesis extremos e os parêntesis à volta de negações ou de quantificadores são geralmente omitidos. Por exemplo, a L Arit -fórmula do exemplo anterior poderá ser representada por x0 x1 ( (x 0 < s(0)) (x 0 = x 1 )). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 14/7

15 Sintaxe do Cálculo de Predicados Uma vez que o conjunto de L-fórmulas se encontra definido através de uma definição indutiva determinista, existem teoremas de recursão e de indução estrutural para L-fórmulas. Teorema 3.19 [Recursão Estrutural em L-fórmulas] Sejam X um conjunto e x X e sejam g : At L X, g : X X, g : X X X (para cada {,,, }) e g Q : X X (para cada Q {, }) funções. Então, existe uma e uma só função G : F L X tal que: a) G( ) = x; b) G(ϕ) = g(ϕ), para todo ϕ At L ; c) G( ϕ)) = g (G(ϕ)), para todo ϕ F L ; d) G(ϕ ψ) = g (G(ϕ),G(ψ)), para todo {,,, } e para todo ϕ,ψ F L ; e) G(Q y ϕ) = g Q (G(ϕ)), para todo Q {, }, para todo y V e para todo ϕ F L. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 15/7

16 Sintaxe do Cálculo de Predicados Teorema 3.20 [Indução Estrutural em L-Fórmulas] Seja L um tipo de linguagem e seja P(ϕ) uma propriedade que depende de uma L-fórmula ϕ. Se: a) P( ); b) P(ϕ), para todo ϕ At L ; c) P(ϕ) P( ϕ), para todo ϕ F L ; d) P(ϕ) e P(ψ) P(ϕ ψ), para todo {,,, } e para todo ϕ,ψ F L ; e) P(ϕ) P(Q x ϕ), para todo Q {, }, para todo x V e para todo ϕ F L ; então, para todo σ F L, P(σ). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 16/7

17 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.21 Sejam L um tipo de linguagem e ϕ F L. Aos sub-objectos de ϕ damos a designação de subfórmulas de ϕ. Definição 3.22 Dada uma subfórmula de uma L-fórmula ϕ da forma Q x ψ, em que Q {, } e x V, o alcance desta ocorrência do quantificador Q x em ϕ é a L-fórmula ψ. Exemplo 3.23 Na L Arit -fórmula x0 ( x1 (x 0 = s(x 1 )) ( (x 0 = 0) x1 (x 1 < x 0 ))), a) o alcance de x0 é x1 (x 0 = s(x 1 )) ( (x 0 = 0) x1 (x 1 < x 0 )); b) o alcance da primeira ocorrência do quantificador x1 é x 0 = s(x 1 ); c) o alcance da segunda ocorrência do quantificador x1 é x 1 < x 0. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 17/7

18 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.24 Numa L-fórmula ϕ, uma ocorrência numa sub-fórmula atómica de ϕ de uma variável x diz-se livre quando essa ocorrência não está no alcance de nenhum quantificador Q x (com Q {, }); caso contrário, essa ocorrência de x diz-se ligada. Representamos por LIV(ϕ) o conjunto das variáveis que têm ocorrências livres em ϕ e por LIG(ϕ) o conjunto das variáveis que têm ocorrências ligadas em ϕ. Exemplo 3.25 Seja ϕ a L Arit -fórmula x1 ( ( x 0 }{{} (a) < s(0)) x0 ( x 0 }{{} (b) = x }{{} 1 )). (a) A ocorrência (a) de x 0 é livre, enquanto que a ocorrência (b) de x 0, por se encontrar no alcance do quantificador x0, é ligada. A ocorrência (a) de x 1 é também ligada, pois encontra-se no alcance do quantificador x1. Assim, LIV(ϕ) = {x 0 } e LIG(ϕ) = {x 0,x 1 }. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 18/7

19 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.26 A L-fórmula resultante da substituição, numa L-fórmula ϕ, de todas as ocorrências livres de uma variável x por um L-termo t, que será notada por ϕ[t/x], é definida, por recursão estrutural em ϕ, como: a) [t/x] = ; b) para todo o símbolo de relação R, de aridade n, e para todo t 1,...,t n T L, R(t 1,...,t n )[t/x] = R(t 1 [t/x],...,t n [t/x]); c) Para todo ψ F L, ( ψ)[t/x] = ( ψ[t/x]); d) Para todo {,,, } e para todo ψ 1,ψ 2 F L, (ψ 1 ψ 2 )[t/x] = (ψ 1 [t/x] ψ 2 [t/x]); e) Para todo Q {, }, para todo y V e para todo ψ F L, (Q y ψ) se y = x (Q y ψ)[t/x] =. (Q y ψ[t/x]) se y x Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 19/7

20 Sintaxe do Cálculo de Predicados Exemplo 3.27 Seja ϕ a L Arit -fórmula x1 ( (x 0 < s(0)) x0 (x 0 = x 1 )). Então, ϕ[s(x 1 )/x 0 ] = x1 ( (s(x 1 ) < s(0)) x0 (x 0 = x 1 )). Definição 3.28 Uma variável x diz-se substituível por um L-termo t numa L-fórmula ϕ sem captura de variáveis ou que a variável x é livre para substituição por um L-termo t numa L-fórmula ϕ quando não existem ocorrências livres de x no alcance de quantificadores Q y, em que Q {, } e y VAR(t), ou, equivalentemente, quando, para toda a ocorrência livre de x em ϕ, se essa ocorrência está no alcance de um quantificador Q y, com Q {, }, então y VAR(t). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 20/7

21 Sintaxe do Cálculo de Predicados Exemplo 3.29 Seja ϕ a L Arit -fórmula x1 (x 1 < x 2 ) (x 1 < x 2 ). a) x 0 é substituível por x 1 + s(x 2 ) em ϕ sem captura de variáveis, pois x 0 não tem ocorrências livres em ϕ. b) x 1 é substituível por x 1 + s(x 2 ) em ϕ sem captura de variáveis, uma vez que a única ocorrência livre de x 1 em ϕ não se encontra no alcance de qualquer quantificador. c) x 2 não é substituível por x 1 + s(x 2 ) em ϕ sem captura de variáveis, pois x 2 tem uma ocorrência livre no alcance do quantificador x1 e x 1 VAR(x 1 + s(x 2 )). d) Em ϕ existem duas ocorrências livres de x 2. Uma dessas ocorrências está no alcance de um único quantificador, x1. A outra ocorrência não está no alcance de nenhum quantificador. Logo, x 2 é substituível por um L-termo t em ϕ sem captura de variáveis se e só se x 1 VAR(t). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 21/7

22 Sintaxe do Cálculo de Predicados Observação: Observe que mesmo quando uma variável x não é substituível por um L-termo t numa L-fórmula ϕ sem captura de variáveis, a operação de substituição de x por t em ϕ encontra-se definida. Por exemplo, x 2 não é livre para substituição por x 1 + s(x 2 ) em ϕ = x1 ((x 1 < x 2 ) (x 1 < x 2 )), no entanto, a L Arit -fórmula resultante da substituição de x 2 por x 1 + s(x 2 ) em x1 (x 1 < x 2 ) (x 1 < x 2 )) encontra-se definida e é igual a x1 (x 1 < x 1 + s(x 2 )) (x 1 < x 1 + s(x 2 ))). Contudo, note que a primeira ocorrência da variável x 2 em ϕ, que era livre, foi substituída pelo termo x 1 + s(x 2 ), cuja ocorrência de x 1 passou a estar ligada ao quantificador x1. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 22/7

23 Sintaxe do Cálculo de Predicados Proposição 3.30 Dadas uma L-fórmula ϕ e uma variável x e dado um L-termo t, x LIV(ϕ) = ϕ[t/x] = ϕ. Dem: Por indução estrutural em ϕ. a) Caso ϕ =. Então, ϕ[t/x] = [t/x] (1) = = ϕ. Justificações (1) Definição de substituição. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 23/7

24 Sintaxe do Cálculo de Predicados b) Caso ϕ = R(t 1,...,t n ), com R um símbolo de relação, n-ário, e t 1,...,t n T L. Uma vez que x LIV(ϕ) segue que, para todo 1 i n, x VAR(t i ); de outra forma teríamos x LIV(ϕ), uma contradição. Portanto, aplicando a Proposição 3.14, para todo 1 i n, t i [t/x] = t i. Logo: ϕ[t/x] = R(t 1,...,t n )[t/x] (1) = R(t 1 [t/x],...,t n [t/x]) (2) = R(t 1,...,t n ) = ϕ. Justificações (1) Definição de substituição. (2) Para todo 1 i n, t i [t/x] = t i. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 24/7

25 Sintaxe do Cálculo de Predicados c) Caso ϕ = Q y ϕ 1, com Q {, }, y V e ϕ 1 F L. Suponha-se, por hipótese de indução, que se x LIV(ϕ 1 ), então ϕ 1 [t/x] = ϕ 1. Caso x = y. Então: ϕ[t/x] = (Q y ϕ 1 )[t/x] (1) = Q y ϕ 1 = ϕ. Justificações (1) Definição de substituição. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 25/7

26 Sintaxe do Cálculo de Predicados Caso x y. Então: ϕ[t/x] = (Q y ϕ 1 )[t/x] (1) = Q y ϕ 1 [t/x] (2) = Q y ϕ 1 = ϕ. (1) Definição de substituição. Justificações (2) Por hipótese, x LIV(ϕ). Como LIV(ϕ 1 ) LIV(ϕ) {y} e x y, segue-se que x LIV(ϕ 1 ). Logo, por hipótese de indução, ϕ 1 [t/x] = ϕ 1. d) Os restantes casos são deixados como exercício. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 26/7

27 Sintaxe do Cálculo de Predicados Definição 3.31 Uma L-fórmula ϕ diz-se uma L-sentença, ou uma L-fórmula fechada, quando não tem ocorrências livres de variáveis, i.e., LIV(ϕ) =. Proposição 3.32 Sejam ϕ uma L-sentença, x uma variável e t um L-termo. Então, ϕ[t/x] = ϕ. Dem: Imediata, a partir da proposição anterior. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 27/7

28 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.33 Uma L-estrutura E é um par (D, ) tal que : a) D é um conjunto não vazio, chamado o domínio de E e notado por dom(e); b) é uma função de domínio F R, chamada a função interpretação de E, tal que : para cada constante c de L, de D; faz corresponder um elemento c para cada símbolo de função f de L, de aridade n 1, corresponder uma função f : D n D, n-ária; para cada símbolo de relação R de L, de aridade n, corresponder uma relação R D n, n-ária. Para cada símbolo s F R, s é chamada a interpretação de s em E. faz faz Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 28/7

29 Semântica do Cálculo de Predicados Exemplo 3.34 a) Seja E Arit = (N 0, ), onde: 0 é o número natural zero; s é a função de sucessor em N 0, i.e., s é a função N 0 N 0 ; n n é a função de adição em N 0 ; é a função de multiplicação em N 0 ; = é a relação de igualdade em N 0 ; < é a relação de menor do que em N 0. Então, E Arit é uma L Arit -estrutura. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 29/7

30 Semântica do Cálculo de Predicados Exemplo 3.34 b) É também uma L Arit -estrutura o par ({a,b}, ), onde: 0 = a; s é a função {a,b} {a,b} x x ; + é a função {a, b} {a, b} {a, b} (x, y) a é a função {a,b} {a,b} {a,b} (x, y) b ; ; = = {(a,a),(b,b)}; < = {(a,b)}. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 30/7

31 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.35 Uma função a : V dom(e), do conjunto das variáveis para o domínio de uma L-estrutura E, é chamada uma atribuição em E. Exemplo 3.36 A função é uma atribuição em E Arit. a ind : V N 0 x i i Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 31/7

32 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.37 O valor de um L-termo t para uma atribuição a numa L-estrutura E = (D, ), que notamos por t[a] E ou, simplesmente, por t[a] (quando é claro qual a estrutura que deve ser considerada) é um elemento de D definido, por recursão estrutural em t, como: a) Para todo x V, x[a] = a(x); b) Para todo c C, c[a] = c; c) para todo o símbolo de função f, de aridade n 1, e para todo t 1,...,t n T L, f(t 1,...,t n )[a] = f(t 1 [a],...,t n [a]). Exemplo 3.38 O valor do L Arit -termo s(x 0 ) (x 0 + x 2 ) para a atribuição a ind, na L Arit -estrutura E Arit, é (s(x 0 ) (x 0 + x 2 ))[a ind ] = s(x 0 )[a ind ] (x 0 + x 2 )[a ind ] = s(x 0 [a ind ]) (x 0 [a ind ]+x 2 [a ind ]) = (0 + 1) (0+2) = 2. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 32/7

33 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.39 Dado um L-termo t e dadas atribuições a 1 e a 2 numa L-estrutura E = (D, ), (para todo x VAR(t), a 1 (x) = a 2 (x)) = t[a 1 ] = t[a 2 ]. Dem: Por indução estrutural em t. a) Caso t seja uma variável. Então, t VAR(t). Logo, por hipótese, a 1 (t) = a 2 (t) ( ). Assim, t[a 1 ] (1) = a 1 (t) ( ) = a 2 (t) (1) = t[a 2 ]. Justificações (1) Definição de valor de um termo para uma atribuição. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 33/7

34 Semântica do Cálculo de Predicados b) Caso t seja uma constante. Então, t[a 1 ] (1) = t (1) = t[a 2 ]. Justificações (1) Definição de valor de um termo para uma atribuição. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 34/7

35 Semântica do Cálculo de Predicados c) Caso t seja da forma f(t 1,...,t n ) (com f um símbolo de função de aridade n 1). Então, t[a 1 ] = f(t 1,...,t n )[a 1 ] (1) = f(t 1 [a 1 ],...,t n [a 1 ]) (2) = f(t 1 [a 2 ],...,t n [a 2 ]) (1) = f(t 1,...,t n )[a 2 ] = t[a 2 ]. Justificações (1) Definição de valor de um termo para uma atribuição. (2) Para 1 i n, como VAR(t i ) VAR(t), da hipótese seguese que: x VAR(ti ) a 1 (x) = a 2 (x). Logo, por hipótese de indução, 1 i n t i [a 1 ] = t i [a 2 ]. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 35/7

36 Semântica do Cálculo de Predicados De a), b) e c), por indução estrutural em L-termos, pode agora concluir-se que, para todo t T L, (para todo x VAR(t), a 1 (x) = a 2 (x)) = t[a 1 ] = t[a 2 ]. Notação: Sejam a uma atribuição numa L-estrutura E, d dom(e) ( ) x e x uma variável. Escrevemos a para a atribuição tal que, para d todo y V, ( ) x d se y = x a (y) =. d a(y) se y x Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 36/7

37 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.40 Sejam t 0 e t 1 L-termos e seja a uma atribuição numa L-estrutura. Então, ( )] x t 0 [t 1 /x][a] = t 0 [a. t 1 [a] Dem: Por indução estrutural em t 0. (Exercício.) Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 37/7

38 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.41 O valor lógico de uma L-fórmula ϕ numa L-estrutura E = (D, ) para uma atribuição a em E, que notamos por ϕ[a] E ou, simplesmente, por ϕ[a] (quando é claro qual a estrutura que deve ser considerada) é um elemento do conjunto {0,1} definido, por recursão em ϕ, como: a) [a] = 0; b) R(t 1,...,t n )[a] = 1 sse (t 1 [a],...,t n [a]) R, para todo o símbolo de relação R de aridade n e para todo t 1,...,t n At L ; c) ( ϕ 1 )[a] = 1 ϕ 1 [a], para todo ϕ 1 F L ; d) (ϕ 1 ϕ 2 )[a] = min(ϕ 1 [a],ϕ 2 [a]), para todo ϕ 1,ϕ 2 F L ; e) (ϕ 1 ϕ 2 )[a] = max(ϕ 1 [a],ϕ 2 [a]), para todo ϕ 1,ϕ 2 F L ; f) (ϕ 1 ϕ 2 )[a] = 0 sse ϕ 1 [a] = 1 e ϕ 2 [a] = 0, para todo ϕ 1,ϕ 2 F L ; Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 38/7

39 Semântica do Cálculo de Predicados g) (ϕ 1 ϕ 2 )[a] = 1 sse ϕ 1 [a] = ϕ 2 [a], para todo ϕ 1,ϕ 2 F L ; ( )] x h) ( x ϕ 1 )[a] = 1 sse existe d D tal que ϕ 1 [a = 1 d [ ( )] } x sse max {ϕ 1 a : d D = 1, d para todo x V e para todo ϕ 1 F L ; ( )] x i) ( x ϕ 1 )[a] = 1 sse para todo d D, ϕ 1 [a = 1 d [ ( )] } x sse min {ϕ 1 a : d D = 1, d para todo x V e para todo ϕ 1 F L. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 39/7

40 Semântica do Cálculo de Predicados Exemplo 3.42 O valor lógico da L Arit -fórmula x 1 x 2 (x 3 + x 2 = s(s(0)) x 1 ), em E Arit, para a atribuição a ind, é 1, pois a seguinte proposição da Aritmética é verdadeira, n1 N 0 n2 N n 2 = 2 n 1 Definição 3.43 Dizemos que uma L-estrutura E satisfaz uma L-fórmula ϕ para uma atribuição a em E, e escrevemos E = ϕ[a], quando o valor lógico de ϕ em E para a é 1. Dizemos que a L-estrutura E não satisfaz ϕ para a atribuição a, e escrevemos E = ϕ[a], quando o valor lógico de ϕ em E para a é 0. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 40/7

41 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.44 Sejam E uma L-estrutura e a uma atribuição em E. Então: [ ( )] x a) E = x ϕ[a] sse existe d dom(e) tal que E = ϕ a ; d [ ( )] x b) E = x ϕ[a] sse para todo d dom(e), E = ϕ a ; d [ ( )] x c) E = x ϕ[a] sse para todo d dom(e) E = ϕ a ; d [ ( )] x d) E = x ϕ[a] sse existe d dom(e), E = ϕ a. d Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 41/7

42 Semântica do Cálculo de Predicados Dem: Imediata, a partir da definição de valor lógico de L-fórmulas. Por exemplo: E = x ϕ[a] sse x ϕ[a] E = 0 [ ( )] sse para todo d dom(e), ϕ a x d [ ( sse para todo d dom(e), E = ϕ a x d Exemplo 3.45 Seja ϕ a L Arit -fórmula E = 0 )]. x1 ( (x 1 = x 0 ) x2 (s(x 2 ) = x 1 )). Então E Arit = x1 ( (x 1 = x 0 ) x2 (s(x 2 ) = x 1 ))[a ind ] Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 42/7

43 Semântica do Cálculo de Predicados sse para todo n 1 N 0, E Arit = ( (x 1 = x 0 ) x2 (s(x 2 ) = x 1 )) [a ind ( x 1 n 1 )] sse para todo n 1 N 0, ( )] E Arit = (x 1 = x 0 ) [a ind x 1 n 1 ( ou E Arit = x2 (s(x 2 ) = x 1 ) [a ind x 1 n 1 )] Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 43/7

44 Semântica do Cálculo de Predicados sse para todo n 1 N 0, [a ind ( )] E Arit = (x 1 = x 0 ) x 1 n 1 [a ind ( )( ) ou existe n 2 N 0 tal que E Arit = (s(x 2 ) = x 1 ) x 1 n 1 x 2 n 2 sse para todo n 1 N 0, n 1 = 0 ou existe n 2 N 0 tal que n = n 1 Assim, uma vez que a última proposição é verdadeira, temos que E Arit satisfaz ϕ para a ind ou, por outras palavras, o valor lógico de ϕ em E Arit para a ind é 1. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 44/7

45 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.46 Seja ϕ uma L-fórmula e sejam a 1 e a 2 atribuições numa L-estrutura E. a) Se a 1 (x) = a 2 (x) para todo x LIV(ϕ), então E = ϕ[a 1 ] sse E = ϕ[a 2 ]. b) Se x LIV(ϕ), então E = ϕ[a 1 ] sse para todo d dom(e), ( )] x E = ϕ [a 1. d c) Se ϕ é uma L-sentença, então E = ϕ[a 1 ] sse E = ϕ[a 2 ]. Dem: a) Por indução estrutural em ϕ. (Exercício.) b) e c) Exercício. (Sugestão: Aplique a aĺınea a).) Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 45/7

46 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.47 Sejam ϕ uma L-fórmula, E = (D, ) uma L-estrutura, a uma atribuição em E e x uma variável substituível por um L-termo t em ϕ. Então, [ ( )] x E = ϕ[t/x][a] sse E = ϕ a. t[a] Dem: a) Caso x LIV(ϕ), E = ϕ[t/x][a] (1) sse E = ϕ[a] [ ( (2) sse E = ϕ a x t[a] )]. Justificações (1) Da Proposição 3.30, por x LIV(ϕ), ϕ[t/x] = ϕ. (2) Como x LIV(ϕ) e t[a] dom(e), por (b) da proposição anterior, E = ϕ[a] sse E = ϕ a. t[a] Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 46/7

47 Semântica do Cálculo de Predicados b) Caso x LIV(ϕ), a demonstração segue por indução estrutural em ϕ. 1) ϕ, de outra forma x LIV(ϕ). 2) Caso ϕ = R(t 1,...,t n ), com R símbolo de relação n-ário, e t 1,...,t n T L. Então: [ ( )] x E = R(t 1,...,t n ) a t[a] ( ( [ ( )]) (1) x x sse t 1 [a )],...,t n a R t[a] t[a] (2) sse (t 1 [t/x][a],...,t n [t/x][a]) R (1) sse E = R(t 1 [t/x],...,t n [t/x])[a] (3) sse E = R(t 1,...,t n )[t/x][a]. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 47/7

48 Semântica do Cálculo de Predicados Justificações (1) Definição de satisfação. (2) Pela Proposição 3.40, para todo 1 i n, t i (3) Definição de substituição. a x t[a] = [t/x]t i [a] 3) Caso ϕ = y ϕ 1. Então, y x (de outra forma x LIV(ϕ)) e y VAR(t) (de outra forma x não seria substituível por t em ϕ). Assim, Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 48/7

49 Semântica do Cálculo de Predicados E = ( y ϕ 1 )[t/x][a] (1) sse E = y ϕ 1 [t/x][a] [ ( (2) y sse para todo d dom(e), E = ϕ 1 [t/x] a d ( ) (3) sse para todo d dom(e), E = ϕ 1 a y d ( (4) sse para todo d dom(e), E = ϕ 1 [a ( )] (2) x sse E = y ϕ 1 [a t[a] x t[a] )] x t a y d )( )] y d Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 49/7

50 Semântica do Cálculo de Predicados Justificações (1) Definição de substituição. (2) Definição de satisfação. (3) Hipótese de indução. (4) Como y x, a x y = a y x. t[a] d d t[a] Da Proposição 3.40, por y VAR(t), t[a] = t a y d. Logo, a x t[a] y d = a y d x t a y d. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 50/7

51 Semântica do Cálculo de Predicados 4) Os restantes casos são deixados como exercício. Definição 3.48 Dizemos que uma L-fórmula ϕ é válida numa L-estrutura E, e escrevemos E = ϕ, quando, para toda a atribuição a em E, E = ϕ[a]. Utilizamos a notação E = ϕ quando ϕ não é válida em E, i.e., quando existe uma atribuição a em E tal que E = ϕ[a]. Definição 3.49 Dizemos que uma L-fórmula ϕ é (universalmente) válida, e escrevemos = ϕ, quando ϕ é válida em todas as L-estruturas. Utilizamos a notação = ϕ quando ϕ não é (universalmente) válida, i.e., quando existe uma L-estrutura E tal que E = ϕ. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 51/7

52 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.50 Dizemos que uma L-fórmula ϕ é logicamente equivalente a uma L-fórmula ψ, escrevendo ϕ ψ, quando = ϕ ψ. Proposição 3.51 Dadas L-fórmulas ϕ e ψ e dadas variáveis x e y, são válidas as proposições que se seguem. a) x ϕ x ϕ b) x ϕ x ϕ c) x ϕ x ϕ d) x ϕ x ϕ e) x (ϕ ψ) x ϕ x ψ f) x (ϕ ψ) x ϕ x ψ g) = ( x ϕ x ψ) x (ϕ ψ) h) = x (ϕ ψ) ( x ϕ x ψ) Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 52/7

53 Semântica do Cálculo de Predicados i) = x (ϕ ψ) ( x ϕ x ψ) j) = ( x ϕ x ψ) x (ϕ ψ) k) x y ϕ y x ϕ l) x y ϕ y x ϕ m) = x y ϕ y x ϕ n) = x y ϕ y x ϕ o) Q x ϕ ϕ se x LIV(ϕ) (Q {, }) p) x ϕ y ϕ[y/x] se y LIV(ϕ) e x é substituível por y em ϕ sem captura de variáveis q) x ϕ y ϕ[y/x] se y LIV(ϕ) e x é substituível por y em ϕ sem captura de variáveis Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 53/7

54 Semântica do Cálculo de Predicados Dem: a) Sejam L uma linguagem, E uma L-estrutura e a uma atribuição em E. (Queremos demonstrar que E = x ϕ[a] sse E = x ϕ[a].) E = x ϕ[a] (1) sse para todo d dom(e) E = ϕ[a (2) sse para todo d dom(e) E = ϕ[a (3) sse E = x ϕ[a] (2) sse ( x d ( x E = x ϕ[a] d ) ] ) ] Justificações (1) Por (b) da Proposição (2) ψ FL E = ψ[a] sse E = ψ[a] (Exercício). (3) Por (c) da Proposição (4) ψ FL E = ψ[a] sse E = ψ[a] (Exercício). Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 54/7

55 Semântica do Cálculo de Predicados n) Seja L uma linguagem contendo um símbolo R de relação, binário. Seja E uma L-estrutura de domínio {a,b}, onde a interpretação de R é o conjunto {(a,b),(b,a)}. Então, mas E = x0 x1 R(x 0,x 1 ), E = x1 x0 R(x 0,x 1 ) (Porquê?). Logo, E = x0 x1 R(x 0,x 1 ) x1 x0 R(x 0,x 1 ). A demonstração das restantes proposições é deixada como exercício. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 55/7

56 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.52 Uma L-fórmula ψ é uma instância de uma fórmula ϕ do Cálculo Proposicional quando existe uma enumeração p 1,...,p n de VAR(ϕ) e existem L-fórmulas ψ 1,...,ψ n tais que ψ = ϕ[ψ 1 /p 1 ;...;ψ n/p n], ou seja, ψ é a L-fórmula obtida de ϕ substituindo, em simultâneo, cada p i por ψ i. Exemplo 3.53 A L Arit -fórmula (x 0 = x 1 ) ( x0 x1 (x 0 + x 1 = 0) (x 0 = x 1 )) é uma instância da fórmula p 0 (p 1 p 0 ) do Cálculo Proposicional, pois: (x 0 = x 1 ) ( x0 x1 (x 0 + x 1 = 0) (x 0 = x 1 )) = (p 0 (p 1 p 0 ))[(x 0 = x 1 )/p 0 ; x0 x1 (x 0 + x 1 = 0)/p 1 ]. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 56/7

57 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.54 Se uma L-fórmula ψ é uma instância de uma tautologia do Cálculo Proposicional, então ψ é válida em qualquer L-estrutura. Exemplo 3.55 A L Arit -fórmula ϕ = ((x 0 = x 1 ) ( x0 x1 (x 0 + x 1 = 0) (x 0 = x 1 ))) é, como vimos no exemplo anterior, uma instância de p 0 (p 1 p 0 ). Assim, sendo p 0 (p 1 p 0 ) uma tautologia, podemos, pela proposição anterior, concluir que ϕ é uma fórmula universalmente válida. Observação: Nem todas as L-fórmulas universalmente válidas são instâncias de tautologias do Cálculo Proposicional. Por exemplo, a L Arit -fórmula x0 ((x 0 = 0) (x 0 = 0)) é válida em todas as L Arit -estruturas, no entanto, esta fórmula não é instância de nenhuma tautologia, pois as únicas fórmulas do Cálculo Proposicional das quais esta fórmula é uma instância são as variáveis proposicionais, que, como sabemos, não são tautologias. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 57/7

58 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.56 Dizemos que um par (E,a), em que E é uma L-estrutura e a é uma atribuição em E, é uma realização de um conjunto Γ de L-fórmulas quando, para todo ϕ Γ, E = ϕ[a]. Exemplo 3.57 O par (E Arit,a ind ) é uma realização do conjunto { x0 (x 0 x 1 = x 0 ), x0 x1 (x 0 < x 1 )} de L Arit -fórmulas, mas não é uma realização do conjunto { x0 (x 0 x 1 = x 0 ), x0 (x 0 < x 1 )} de L Arit -fórmulas. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 58/7

59 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.58 Um conjunto Γ de L-fórmulas diz-se semanticamente consistente, ou realizável, quando existe uma realização de Γ. Caso contrário, Γ diz-se semanticamente inconsistente. Exemplo 3.59 a) O conjunto Γ = { x0 (x 0 x 1 = x 0 ), x0 x1 (x 0 < x 1 )}, de L Arit -fórmulas, é semanticamente consistente. Por exemplo, (E Arit,a ind ) é uma realização de Γ. b) O conjunto { x0 (x 0 = x 0 ), (0 = 0)}, de L Arit -fórmulas, é semanticamente inconsistente. (Exercício.) Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 59/7

60 Semântica do Cálculo de Predicados Definição 3.60 Uma L-estrutura E é um modelo de um conjunto Γ de L-fórmulas quando, para toda a atribuição a em E, (E,a) realiza Γ ou, por outras palavras, quando toda a L-fórmula de Γ é válida em E. Exemplo 3.61 E Arit é um modelo do conjunto formado pelas seguintes L-sentenças: x0 (0 = s(x 0 )); x0 (s(x 0 ) < 0); x0 (x = x 0 ); x0 (x 0 0 = 0); x0 x1 (s(x 0 ) x 1 = (x 0 x 1 ) + x 1 ); x0 x1 (s(x 0 ) + x 1 = s(x 0 + x 1 )); x0 x1 ((s(x 0 ) = s(x 1 )) (x 0 = x 1 )); x0 x1 ((x 0 < s(x 1 )) ((x 0 < x 1 ) (x 0 = x 1 ))). A axiomática de Peano para a Aritmética é constituída pelas fórmulas acima descritas, juntamente com um princípio de indução nos naturais. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 60/7

61 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.62 Sejam Γ um conjunto de L-sentenças, E uma L-estrutura e a uma atribuição em E. Então, E é um modelo de Γ se e somente se (E,a) é uma realização de Γ. Dem: Exercício. Definição 3.63 Dizemos que uma L-fórmula ϕ é uma consequência semântica de um conjunto Γ de L-fórmulas, e escrevemos Γ = ϕ, quando, para toda a L-estrutura E e para toda a atribuição a em E, se (E,a) é uma realização de Γ, então E = ϕ[a]. Exemplo 3.64 A L Arit -fórmula 0 = 0 é uma consequência semântica do conjunto Γ = { x0 (x 0 = x 0 )} de L Arit -fórmulas, pois se (E,a) é uma realização de Γ, então, e designando a função interpretação de E por, n0 dom(e)(n 0,n 0 ) = e assim, em particular, (0,0) =, donde E = (0 = 0)[a]. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 61/7

62 Semântica do Cálculo de Predicados Proposição 3.65 Sejam Γ um conjunto de L-fórmulas, ϕ uma L-fórmula, t um L-termo e x V. a) Se Γ = x ϕ e x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis, então Γ = ϕ[t/x]. b) Se Γ = ϕ e x LIV(Γ) (i.e., para todo ψ Γ, x LIV(ψ)), então Γ = x ϕ. c) Se Γ = ϕ[t/x] e x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis, então Γ = x ϕ. d) Se Γ = x ϕ, Γ,ϕ[y/x] = ψ e y LIV(Γ {ψ}), então Γ = ψ. Dem: a) Suponhamos que (E,a) é uma realização de Γ. (Queremos demonstrar que: E = ϕ[t/x][a].) Então, pela hipótese, E = x ϕ[a]. Assim, por definição de satisfação, para todo d dom(e), ( ) ( ) x x E = ϕ[a ]. Donde, em particular, E = ϕ[a ], pois d t[a] t[a] dom(e). Logo, como por hipótese x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis, aplicando a Proposição 3.47, E = ϕ[t/x][a]. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 62/7

63 Semântica do Cálculo de Predicados b) Suponhamos que (E,a) é uma realização de Γ. (Queremos demonstrar que: E = x ϕ[a].) Por hipótese, x LIV(Γ). Logo, de (b) da Proposição 3.46, para toda a L-fórmula ψ no conjunto Γ, ( ) x E = ψ[a] sse para todo d dom(e), E = ψ[a ]. Assim, uma d vez que (E,a) é uma realização de Γ, para todo o elemento d do ( ) x domínio de E, (E,a ) é uma realização de Γ. Logo, como por d hipótese Γ = ϕ, para todo o elemento d do domínio de E, ( ) x E = ϕ[a ]. Donde, por definição de satisfação, E = x ϕ[a]. d c) e d) Exercício. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 63/7

64 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Definição 3.66 A colecção de regras de inferência para o Sistema Formal de Dedução Natural para o Cálculo de Predicados (DNCP) é formada por todas as regras de inferência do sistema DNP e pelas seguintes regras para os quantificadores Eliminação Introdução xϕ ϕ[t/x] E (a) D ϕ xϕ I (b) (b) x não ocorre livre nas hipóte- ses não canceladas de D (a) x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 64/7

65 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Eliminação Introdução ϕ xϕ ψ D ψ E (c) ϕ[t/x] xϕ I (d) (c) x não ocorre livre nas hipóteses não canceladas de D distintas de ϕ (d) x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 65/7

66 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Quando o tipo de linguagem L inclui o símbolo de relação de igualdade, permitimos ainda as seguintes regras para a igualdade: t = t reflexividade t = t t = t comutatividade t = t t = t t = t transitividade t = t t [t/x] = t [t /x] substituição em termos t = t ϕ[t/x] ϕ[t /x] substituição em fórmulas Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 66/7

67 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados As várias noções relacionadas com derivações no contexto de fórmulas do Cálculo Proposicional são aplicáveis a derivações de fórmulas do Cálculo de Predicados. Exemplo 3.67 x 0 = x 0 reflexividade x 0 (x 0 = x 0 ) I (a) (a) Não há hipóteses por cancelar em x 0 = x 0, logo x 0 não ocorre livre em hipóteses não canceladas da derivação x 0 = x 0. A derivação anterior tem como conclusão a fórmula x 0 (x 0 = x 0 ) e não tem hipóteses por cancelar, logo trata-se de uma derivação de x 0 (x 0 = x 0 ), ou seja, a fórmula x 0 (x 0 = x 0 ) é um teorema. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 67/7

68 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Exemplo 3.68 xϕ ϕ[x/x] E (a) xϕ I (a) xϕ xϕ I (a) Toda a variável x é substituível por x em qualquer L-fórmula ϕ sem captura de variáveis. Exemplo xϕ ϕ ϕ E (1) xϕ I xϕ xϕ I (2) Não é necessariamente uma derivação pois na aplicação da regra E podemos ter ocorrências livres de x em ϕ. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 68/7

69 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Exemplo 3.70 x 2 x 1 x 2 < x 1 x 1 x 1 < x 1 E Não é uma derivação, uma vez que x 2 não é livre para substituição por x 1 em x 1 x 2 < x 1. Exemplo 3.71 (1) x 0 = x 1 substituição em termos x 2 + x 0 = x 2 + x 1 (x 0 = x 1 ) (x 2 + x 0 = x 2 + x 1 ) I (1) x 2 ((x 0 = x 1 ) (x 2 + x 0 = x 2 + x 1 )) I (a) x 1 x 2 ((x 0 = x 1 ) (x 2 + x 0 = x 2 + x 1 )) I (a) x 0 x 1 x 2 ((x 0 = x 1 ) (x 2 + x 0 = x 2 + x 1 )) I (a) (a) A variável não ocorre livre nas hipóteses não canceladas da derivação da premissa. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 69/7

70 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Proposição 3.72 Sejam Γ um conjunto de L-fórmulas e ϕ,ψ L-fórmulas. Então são válidas as seguintes proposições: 1. Se Γ ϕ e x LIV(Γ), então Γ xϕ. 2. Se Γ xϕ e x é substituível por x em ϕ sem captura de variáveis, então Γ ϕ[t/x]. 3. Se Γ ϕ[t/x] e x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis, então Γ xϕ. 4. Se Γ xϕ e Γ,ϕ ψ e x LIV(Γ {ψ}), então Γ ψ. Dem: 4) Suponha-se que Γ xϕ, que Γ, ϕ ψ e que x LIV(Γ {ψ}). Da primeira hipótese segue que existe uma derivação D de xϕ a partir de Γ, da segunda hipótese segue que existe uma derivação D de ψ a partir de Γ {ψ}. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 70/7

71 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Assim, Γ D xϕ ψ Γ, ϕ D ψ E é uma derivação de ψ a partir de Γ (note-se que a aplicação da regra E é correcta, uma vez que que x LIV(Γ {ψ}), ou seja x não ocorre livre nem em ψ nem nas hipóteses não canceladas de D distintas de ϕ). Logo Γ ψ. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 71/7

72 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Proposição 3.73 Seja L um tipo de linguagem com o símbolo de relação de igualdade. Então são teoremas as seguintes L-fórmulas: 1. x(x = x); 2. x y (x = y y = x); 3. x y z (x = y y = z x = z); 4. x y (x = y t[x/z] = t[y/z]); 5. x y (x = y ϕ[x/z] ϕ[y/z]). Dem: (1) x = x reflexividade x (x = x) I (a) (a) x não ocorre livre nas hipóteses não canceladas de x = x. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 72/7

73 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados (5) x = y ϕ[x/z] x = y E x = y ϕ[x/z] E ϕ[x/z] substituição-fórmulas ϕ[y/z] x = y ϕ[x/z] ϕ[y/z] I y (x = y ϕ[x/z] ϕ[y/z]) I (a) x y (x = y ϕ[x/z] ϕ[y/z]) I (a) (a) A variável não ocorre livre na derivação da premissa. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 73/7

74 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Há semelhança do que sucede com o sistema DNP, o Sistema Formal de Dedução Natural para o Cálculo de Predicados é, também, um sistema completo e correcto. De facto, prova-se serem válidos os seguintes resultados: Teorema 3.74 (da Completude) Sejam Γ um conjunto de L-fórmulas e ϕ uma L-fórmula. Então Γ = ϕ Γ ϕ. Teorema 3.75 (da Correcção) Sejam Γ um conjunto de L-fórmulas e ϕ uma L-fórmula. Então Γ ϕ Γ = ϕ. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 74/7

75 Dedução Natural para o Cálculo de Predicados Teorema 3.76 (da Adequação) Sejam Γ um conjunto de L-fórmulas e ϕ uma L-fórmula. Então Γ ϕ Γ = ϕ. Cálculo de Predicados de Primeira-Ordem da Lógica Clássica p. 75/7