Espaços quase topológicos: o caso em que cada conjunto fechado é também aberto. Introdução. Hércules de A. Feitosa, Mauri C.

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1 Espaços quase topológicos: o caso em que cada conjunto fechado é também aberto Hércules de A. Feitosa, Mauri C. do Nascimento, Departamento de Matemática, FC, UNESP, , Bauru, SP haf@fc.unesp.br, mauri@fc.unesp.br, Marcelo Reicher Soares Departamento de Matemática, FC, UNESP, , Bauru, SP reicher@fc.unesp.br. Resumo: Apresentamos a denição de espaço quase topológico e damos alguns exemplos e propriedades. A seguir, apresentamos as álgebras TK e a lógica TK, que teve como motivação os espaços de Tarski. Originalmente, damos uma demonstração da adequação da lógica TK relativa aos espaços quase topológicos e, no próximo passo, discutimos um novo axioma modal, usualmente denotado por (5). Fazemos a sua formalização em TK e tratamos dos seus modelos, dados por espaços quase topológicos em que todo conjunto fechado é também aberto. Palavras-chave: Espaço quase topológico, espaço de Tarski, lógica modal, álgebra TK, sistema dedutivo, lógica TK. Introdução O conceito de espaço quase topológico é uma variação do conceito de espaço topológico, de maneira que todo topológico é quase topológico. Eliminamos algumas das condições da denição de espaço topológico e vericamos que, enquanto o conceito usual está vinculado com aspectos espaciais dos espaços R n, inicialmente envolvidos nos abertos de R, o conceito de espaço quase topológico tem como motivação o conceito de derivabilidade. O conceito de derivabilidade originou uma versão abstrata de sistema dedutivo ou lógica abstrata, que nomeamos de espaço de Tarski, devido aos trabalhos do precursor desta vertente, Alfred Tarski. A partir da denição de espaço de Tarski, em [6] denimos as álgebras de Tarski e em [4], formalizamos as condições da denição de um espaço de Tarski em ambiente lógico proposicional, e caracterizamos a lógica TK. Também em [4] mostramos, usando recursos algébricos, a adequação (correção e completude) de TK relativo às algebras TK. Nestas notas, fazemos uma nova demonstração da adequação de TK, mas agora considera-se como modelos de TK qualquer espaço quase topológico. Em um passo avante, discutimos a relação de TK na hierarquia de lógicas modais e tratamos de um outro axioma modal, conhecido na literatura como (5) com a seguinte conguração: ψ ψ, e o entendimento de que se algo é possível, então é necessariamente possível. Para modelarmos a lógica TK acrescida do axioma (5) temos como modelos exatamente os espaço quase topológicos em que cada conjunto fechado é também aberto. Para concluir, relacionamos estes espaços com os espaços topológicos. 40

2 1 Espaços quase topológicos Espaços quase topológicos são generalizações das estruturas topológicas dadas pela eliminação de algumas propriedades. Um espaço quase topológico é um par (E, Ω) em que E é um conjunto, Ω P(E) e dada uma coleção qualquer de índices I: (i) se para cada i I, A i Ω, então i I A i Ω. A coleção Ω é denominada quase topologia e cada membro de Ω é um aberto de (E, Ω). Um conjunto A P(E) é um fechado quando o seu complemento relativo a E, denotado por A C, é um aberto de (E, Ω). Segue destas denições que uma união qualquer de abertos de (E, Ω) é ainda um aberto de (E, Ω). Proposição: Se (E, Ω) é espaço quase topológico, então o conjunto é aberto, E é fechado e qualquer intersecção de fechados é um fechado. Se (E, Ω) é um espaço quase topológico, então o fecho de A é o conjunto: A = {X : A X e X C Ω}. O interior de A é o conjunto: Å = {Y E : Y A e Y Ω}. Agora, veremos como envolver os conceitos de espaço quase topológico e o conceito de sistema dedutivo de Tarski ou espaço de Tarski. Um operator de consequência sobre E é uma função : P(E) P(E) tal que, para todos A, B P(E), valem: (i) A A; (ii) A B A B; (iii) A A. Segue de (i) e (iii), que vale a igualdade A = A, para cada A E. Um espaço de Tarski (ou sistema dedutivo de Tarski ou espaço de fecho) é um par (E, ) de modo que E é um conjunto e é um operador de consequência sobre E. Seja (E, ) um espaço de Tarski. O conjunto A é fechado em (E, ) se A = A, e A é aberto quando o seu complemento relativo a E, denotado por A C, é fechado em (E, ). Proposição: Se (E, ) é um espaço de Tarski, então toda intersecção de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado de (E, ). Proposição: Se (E, Ω) é um espaço quase topológico e é a operação de fecho denida em (E, Ω), então o par (E, ) é um espaço de Tarski. Proposição: Se (E, ) é um espaço de Tarski e Θ = {X E : X is closed}, o conjunto dos fechados de (E, ), então (E, Ω) é um espaço quase topológico em que X Ω X C Θ. Das duas proposições anteriores, segue que para cada espaço de Tarski podemos denir, de modo natural, um espaço quase topológico; e para cada espaço quase topológico podemos denir um espaço de Tarski. 41

3 Um espaço topológico (E, Ω) é um espaço de Tarski tal que: (iv) = ; (v) A B = A B. Um espaço de Tarski (E, ) é vácuo quando =. Deste modo, os espaços topológicos são exemplos de espaços de Tarski ou quase topológicos vácuos. Como o conceito de consequência interessa à Lógica e naquele contexto são relevantes os conjuntos de consequências, os quais não devem em geral ser vazios, então, do ponto de vista lógico, interessam os espaços de Tarski não vácuos. 2 As álgebras TK e a lógica TK Nesta seção apresentamos as álgebras TK e a lógica proposicional TK. Detalhes sobre os dois sistemas podem ser encontrados em [4]. A denição de álgebra TK introduz as noções de operador de consequência no ambiente algébrico e a lógica TK dá a formalização no contexto lógico. Uma álgebra TK é uma sêxtupla A = (A, 0, 1,,, ) em que (A, 0, 1,, ) é uma álgebra de Boole e é um novo operador, chamado de operador de Tarski, para o qual valem: (i) a a = a; (ii) a (a b) = (a b); (iii) ( a) = a. Como as álgebras TK estão no contexto das álgebras de Boole, o item (i) da denição acima arma que, para cada a A, a a. Em uma álgebra TK qualquer podemos denir os seguintes operadores: a b = df a b e a b = df a b. Proposição: Para toda álgebra TK valem as seguintes condições: (i) a a a; (ii) a b a b; (iii) (a b) a b; (iv) a b (a b). A seguir, apresentamos o sistema formal ou lógica TK, que formaliza as noções essenciais de um operador de consequência no ambiente lógico. A lógica proposicional TK é o sistema lógico construído sobre a linguagem proposicional de TK que é L = (,,,, p 1, p 2, p 3,...) com os seguintes axiomas e regras: (CPC) φ, se φ é uma tautologia; (T K 1 ) φ φ; (T K 2 ) φ φ. (MP) (RM ) φ ψ, φ ; ψ φ ψ φ ψ. 42

4 Em [4] demonstramos a adequação (correção e completude) de TK relativo às álgebras TK. Da dualidade entre os operadores de fecho e interior dos espaços quase topológicos, podemos denir também o operador dual de da seguinte maneira: φ = df φ. Alternativamente, poderíamos ter tomado o operador como o operador primitivo e substituir os axiomas T K 1 e T K 2 pelos respectivos axiomas e regra duais. 3 A adequação quase topológica de TK Nesta seção mostramos como os espaços quase topológicos são modelos apropriados para a lógica TK. Denotamos o conjunto das variáveis proposicionais de TK por Var(TK) e o conjunto de suas fórmulas por For(TK). Seja (E, Ω) um espaço quase topológico. Uma valoração restrita em (E, Ω) é uma função. : Var(TK) P(E) que interpreta cada variável (fórmula atômica) de TK em um subconjunto de E. Dado um espaço quase topológico (E, Ω), uma valoração é uma função [.]: For(TK) P(E) que estende natural e unicamente a valoração. da seguinte maneira: (i) [p] = p ; (ii) [ φ] = E [φ]; (iii) [ φ] = [φ]; (iv) [φ ψ] = [φ] [ψ]; (v) [φ ψ] = [φ] [ψ]; (vi) [ ] = E, em que é qualquer tautologia; (vii) [ ] =, em que é qualquer contradição. Se (E, Ω) é um espaço quase topológico, então uma valoração [.]: For(TK) P(E) é um modelo para o conjunto Γ For(TK) se, para toda fórmula γ Γ, vale [γ] = E. Denotamos um modelo de Γ por (E, Ω), [.] Γ. Em particular, um modelo para φ For(TK) é uma valoração [.]: For(TK) P(E) tal que [φ] = E. Neste caso, escrevemos (E, Ω), [.] φ. Um subconjunto Γ For(TK) implica logicamente a fórmula ψ, o que é denotado por Γ ψ, se todo modelo de Γ é também modelo de ψ. Uma fórmula φ é válida no espaço quase topológico (E, Ω) se para toda valoração [.] tem-se que (E, Ω), [.] φ. Uma fórmula φ For(TK) é válida quando é válida em todo espaço quase topológico (E, Ω). Agora mostramos a correção dos modelos quase topológicos para a lógica TK. Proposição: [φ ψ] = E [φ] [ψ]. Demonstração: [φ ψ] = E [ φ ψ] = E [ φ] [ψ] = E (E [φ]) [ψ] = E [φ] [ψ]. Proposição: [Correção] Se Γ φ, então Γ φ. 43

5 Demonstração: A demonstração é por indução sobre o comprimento k da dedução. Um conjunto de fórmulas é consistente maximal se ele é consistente e não está contido propriamente em nenhum outro conjunto consistente. Lema: (i) Γ ψ Γ { ψ} é inconsistente. (ii) Se Γ é consistente maximal, então para toda fórmula ψ de F or(t K), ou ψ Γ ou ψ Γ. (iii) Se Γ é consistente maximal e Γ ψ, então ψ Γ. Teorema: [Lindenbaum] Todo conjunto consistente de fórmulas Γ pode ser estendido para um conjunto consistente maximal. Teorema: Se Γ é consistente, então Γ tem um modelo. Demonstração: Segundo o teorema anterior, todo conjunto consistente de fórmulas Γ pode ser estendido a um conjunto consistente maximal. Então, vericaremos que tem um modelo e como consequência de Γ, então também Γ tem modelo. Tomemos o espaço quase topológico (E, Ω), em que E = {x} e Ω = {, E}. Então, para todo A E, A = A. Agora, denimos uma valoração [.] : F or(t K) P(E), tal que para cada variável proposicional p, [p] = E p. Segue da armação acima que [ψ] = [ψ], para toda ψ F or(t K). Mostramos que para toda fórmula ψ, [ψ] = E ψ, isto é, [.] é um modelo para. A demonstração segue por indução sobre o número n de operadores que ocorrem em ψ. Corolário: [Completude forte] Se Γ ψ, então Γ ψ. Demonstração: Se Γ ψ, então todo modelo de Γ é também modelo de ψ, isto é, não existe modelo de Γ { ψ}. Pelo teorema anterior, Γ { ψ} é inconsistente e, pelo lema acima, segue que Γ ψ. 4 Um axioma modal adicional A lógica TK pode ser vista como um caso particular de lógica modal, em que o operador seria visto como um caso do operador modal de possibilidade. Esta lógica é um subsistema do sistema modal S 4, mas não é um sistema modal normal, posto que em geral, em TK, não vale a condição: ( ψ σ) (ψ σ). Por ser um sistema subnormal, os usuais modelos de Kripke não se aplicam a TK, mas outros modelos sim, como aquele de caráter topológico da seção anterior. Neste momento, gostaríamos de avaliar o acréscimo do usual axioma modal (5): ψ ψ a TK. Dada a dualidade entre e temos, naturalmente uma outra versão de (5) que denotamos por (5'): (5') ψ ψ. Veremos então como ca o modelo quase topológico deste novo sistema. 5 Quando todo conjunto fechado é aberto Como os espaços quase topológicos são modelos adequados para a lógica TK ao incluirmos um novo axioma à coleção de axiomas de TK, no caso o (5), precisamos avaliar como interpretar, de modo natural, este axioma em um espaço quase topológico e o que daí decorre. A maneira imediata de interpretar (5) em um espaço quase topológico é através do axioma: A Å. 44

6 Como o interior de cada conjunto está contido no conjunto, então imediatamente temos que A = Å e também. Proposição: Num espaço quase topológico (E, Ω) em que para todo A E, tem-se A = Å, então todo conjunto fechado é aberto. Demonstração: Se A é fechado, então A = A. Como A = Å, então A = Å e, assim, A é aberto. Proposição: Num espaço quase topológico (E, Ω) em que para todo A E, tem-se A = Å, então todo conjunto aberto é fechado. Demonstração: Se A é aberto, então o seu complementar é fechado e, pela proposição anterior, é aberto. Logo A é fechado. As condições acima indicam que todo conjunto fechado é aberto e que todo aberto é fechado, mas não diz que todo subconjunto de E é aberto e fechado. Isto é apenas um caso particular, assim como o caso em os únicos abertos e fechados são e E. Teorema: Os espaços quase topológicos em que, para todo A E, A = Å, são modelos adequados para TK + (5). Demonstração: Certamente (5) é correto em todo tal espaço. Falta mostrar que se uma fórmula qualquer é válida num espaço quase topológico (E, Ω) em que A = Å, então ela é dedutivamente obtida de TK + (5). Esta parte decorre do teorema que arma que todo conjunto consistente tem modelo, quando precisamos de um espaço modelo que atende a exigência de que, para todo A E, A = Å. Mas, o modelo considerado naquele teorema tem exatamente esta característica. Logo, a completude também segue. Proposição: Se (E, Ω) é espaço quase topológico em que para todo A E, tem-se A = Å, então (E, Ω) é um espaço topológico. Demonstração: Os conjuntos e E são abertos e fechados e, mais, uma intersecção qualquer de abertos é uma intersecção de fechados e, desse modo, um fechado. Logo é também um aberto. Como sabemos da literatura sobre lógicas modais, o sistema modal S 5 tem como modelos adequados a classe dos espaços topológicos em que todo aberto é fechado (ver [5]), então S 5 e TK + (5) têm exatamente as mesmas fórmulas válidas e, portanto, são dedutivamente coincidentes. Referências [1] B. Chellas, Modal Logic: an introduction. Cambridge: Cambridge University Press, [2] J. Dugundji, Topology. Boston: Allyn and Bacon, [3] H. D. Ebbinghaus; J. Flum; W. Thomas, Mathematical logic. New York: Springer-Verlag, [4] H. A. Feitosa; M. C. C. Grácio; M. C. Nascimento, Logic TK: algebraic notions from Tarki's consequence operator. Principia, v. 14 (2010), [5] P. Kremer Dynamic topological S5. Annals of Pure and Applied Logic, v. 160 (2009) [6] M. C. Nascimento; H. A. Feitosa (2005) As álgebras dos operadores de conseqüência. São Paulo: Revista de Matemática e Estatística, v. 23, n. 1 (2005)