0.1 Seja S o subconjunto de P(N) definido indutivamente pelas 3 regras apresentadas de seguida.

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1 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha 1 0. Definições indutivas 0.1 Seja S o subconjunto de P(N) definido indutivamente pelas 3 regras apresentadas de seguida. (1) {1} S (2) X S X \ {1} S (3) X S X {2} S a) Dê exemplos de elementos de S. b) Diga, justificando, se o conjunto {, {1}, {2}, {1, 2}} é fechado para as operações f, g : P(N) P(N) definidas por f(x) = X \ {1} e g(x) = X {2}, para qualquer X P(N). c) Determine o conjunto S. 0.2 Seja A = {a, b, c, d} e seja f : A A A a operação em A definida pela tabela que se segue. f a b c d a a a a a b a c b c c a c b b d a c b a a) Calcule os conjuntos indutivos, sobre A, de base {b} e conjunto de operações {f}. b) Indique qual é o conjunto gerado pela definição indutiva ({b}, {f}). Justifique a sua resposta. c) Indique uma árvore de formação de c. A árvore de formação que encontrou é a única árvore de formação de c? d) A definição indutiva ({b}, {f}) é determinista? Justifique. 0.3 Apresente definições indutivas de cada um dos seguintes conjuntos: a) o conjunto dos naturais múltiplos de 5; b) o conjunto dos números inteiros; c) o conjunto das palavras sobre o alfabeto A = {0, 1} cujo comprimento é ímpar. d) o conjunto das palavras sobre o alfabeto A = {a, b} que têm um número par de ocorrências do símbolo a. e) N A, onde A é um conjunto. Em cada um dos casos anteriores, indique justificando se a definição indutiva apresentada é ou não determinista.

2 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Seja V o conjunto numerável formado pelos símbolos v 0, v 1, v 2,... (designados por variáveis) e seja A o alfabeto V {c, f, g, h, (, ),, }. Consideremos que E é o conjunto gerado, sobre A, pela seguinte definição indutiva determinista. c E c v n E v n (n N 0 ) t E p(t) E p (p {f, h}) t 1 E t 2 E g(t 1, t 2 ) E g a) Dê exemplos de elementos de A que pertençam ao conjunto E e de elementos de A que não pertençam ao conjunto E. Justifique as suas respostas. b) Investigue se o conjunto E é fechado para cada uma das operações que se seguem. i) s 1 : A A A (t 1, t 2 ) f(t 1, t 2 ) ii) s 2 : A A t g(t, c) c) Considere o seguinte esquema de árvore de formação para elementos de E. ϕ 1 E r 1 ϕ 2 E r 2 r 3 ϕ 4 E r ϕ 3 E 4 ϕ 5 E r 5 r 6 ϕ 6 E Considere ainda que X é o conjunto dos elementos de E com este esquema de árvore de formação tais que o seu conjunto de variáveis é um subconjunto de {v 1, v 2 }. i) Indique, justificando, um elemento de X. ii) Determine o número de elementos do conjunto X. d) Defina funções n, a : E N 0 que a cada elemento e de E façam corresponder, respectivamente, o número de nodos e a altura (número de nodos no ramo mais comprido) da árvore de formação de e. d) Enuncie o teorema de indução estrutural para o conjunto E. Mostre que, para todo e E, a(e) n(e). 0.5 Seja X o conjunto das palavras sobre {0, 1} e seja G o subconjunto de X gerado pela seguinte definição indutiva determinista. 1 G 1 x G x0 G f x G x1 G g a) Prove que a palavra 100 é um dos elementos de G. c) Enuncie o teorema de recursão estrutural para o conjunto G. Defina por recursão estrutural a função h : G G tal que, para cada x G, h(x) = 1x. b) Seja i : G N a única função que satisfaz as seguintes condições: i(1) = 1; para todo x G, i(x0) = 2i(x); para todo x G, i(x1) = 2i(x) + 1. b.i) Determine i(11) e i(101). b.ii) Enuncie o teorema de indução estrutural para G. Mostre que, para todo x G, i(h(x)) = 2 n + i(x), em que n é o comprimento da palavra x.

3 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha 3 1. Sintaxe do Cálculo Proposicional 1.1 Represente as seguintes frases através de fórmulas do Cálculo Proposicional, utilizando variáveis proposicionais para representar frases atómicas: a) Se o Sr. João é feliz, a sua mulher é infeliz e se o Sr. João é infeliz, a sua mulher também o é. b) Vou de comboio e perco o avião ou vou de camioneta e não perco o avião. c) Uma condição necessária para que uma sucessão seja convergente é que seja limitada. d) Se x é um número racional e y é um inteiro, então z não é real. e) Se o Pedro não jogar, então o Miguel joga e a equipa perde o jogo. f) Uma condição suficiente para um número ser ímpar é que seja primo. 1.2 Dê exemplos de proposições que possam ser representadas através das seguintes fórmulas: a) (p 1 (( p 2 ) p 3 )). b) ((p 4 ( p 0 )) p 6 ). c) (p 13 p 8 ). d) ((p 98 p 99 ) p 2000 ). 1.3 De entre as seguintes palavras sobre o alfabeto do Cálculo Proposicional, indique, justificando, aquelas que pertencem ao conjunto F CP : a) ( (p 1 p 2 )). b) (( p 5 ) ( p 6 )). c) ((p 3 p 1 ) (. d) ((p 0 p 0 ) ). e) ( ). f) (((p 9 ((p 3 ( p 8 )) p 12 )) ( p 4 )) (p 7 ))). 1.4 Seja X o conjunto das fórmulas proposicionais que admitem árvores de formação da forma F CP ϕ 2 F r p 5 F p p 5 F p CP 5 CP 5 ϕ 4 F r CP 4 CP 2 r 3 ϕ 3 F CP r 1 ϕ 1 F CP em que ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 e ϕ 4 são fórmulas e r 1, r 2, r 3 e r 4 são regras da definição indutiva do conjunto de fórmulas. a) Indique elementos de X e determine o número de elementos de X. b) Qual o número de subfórmulas de uma fórmula que pertença a X?

4 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Sejam n, f : F CP N 0 as funções que a cada fórmula ϕ fazem corresponder o número de ocorrências de conectivos em ϕ e o número de nodos na árvore de formação de ϕ, respectivamente. a) Defina, por recursão estrutural em fórmulas proposicionais, as funções n e f. b) Demonstre que, para toda a fórmula proposicional ϕ, f(ϕ) 2n(ϕ) Demonstre que: uma fórmula proposicional ϕ é uma subfórmula de uma fórmula proposicional ψ se e somente se uma das seguintes condições é satisfeita: i) ϕ = ψ; ou ii) ψ = ( ψ 1 ), para alguma fórmula proposicional ψ 1, e ϕ é uma subfórmula de ψ 1 ; ou iii) ψ = (ψ 1 ψ 2 ), para algumas fórmulas proposicionais ψ 1 e ψ 2 e para algum conectivo {,,, }, e ϕ é uma subfórmula de ψ 1 ou de ψ Com base na caracterização de subfórmulas dada no exercício anterior, justifique se as fórmulas proposicionais ( p 2 ) e (p 2 p 3 ) são ou não subfórmulas de (p 1 (( p 2 ) p 3 )). 1.8 Defina, por recursão estrutural em fórmulas proposicionais, uma função subf : F CP P(F CP ) tal que, para todas as fórmulas proposicionais ϕ e ψ, ϕ subf(ψ) se e só se ϕ é uma subfórmula de ψ. Mostre que a função definida tem de facto a propriedade enunciada. 1.9 Demonstre que, para quaisquer fórmulas proposicionais ϕ e ψ, se ϕ é uma subfórmula de ψ, então var(ϕ) var(ψ) Considere o conjunto T, de fórmulas do Cálculo Proposicional, definido indutivamente pelas seguintes regras: p i T i (i N 0) ϕ T (ϕ ) T r 1 ϕ T ψ T ( ϕ ψ) T r 2 (a) Construa a árvore de formação da fórmula σ = (( ( p 2 ) p 0 ) ) de T. (b) Defina, por recursão estrutural, uma função g : T N 0 tal que, para cada ϕ T, g(ϕ) seja o número de ocorrências do conectivo na fórmula ϕ. (c) Calcule g(σ) usando a definição recursiva de g da alínea anterior. (d) Enuncie o Princípio de Indução Estrutural para T. (e) Mostre que, para todo o ϕ T, g(ϕ) é ímpar Enuncie um princípio de indução para fórmulas proposicionais análogo ao princípio de indução completa para os naturais.

5 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha 5 2. Semântica do Cálculo Proposicional 2.1 Sejam v 1 e v 2 as únicas valorações tais que 0 se p {p 0, p 1 } v 1 (p) = 1 se p V CP {p 0, p 1 } 1 se p {p 1, p 3 } e v 2 (p) = 0 se p V CP {p 1, p 3 }. Considere as seguintes fórmulas: ϕ 1 = (p 2 ( p 1 p 3 )); ϕ 2 = (p 2 p 0 ) (p 2 p 0 ); ϕ 3 = (p 1 ((p 5 p 3 ) )). Calcule os valores lógicos das fórmulas ϕ 1, ϕ 2 e ϕ 3 para as valorações v 1 e v Seja v uma valoração. Quais das seguintes proposições são verdadeiras? a) v((p 3 p 2 ) p 1 ) = 0 e v(p 2 )=0 é uma condição suficiente para v(p 3 ) = 0. b) Uma condição necessária para v(p 1 (p 2 p 3 )) = 0 é v(p 1 ) = 1 e v(p 3 ) = 0. c) Uma condição necessária e suficiente para v(p 1 p 3 ) = 1 é v((p 3 (p 1 p 3 )) = De entre as seguintes fórmulas, indique aquelas que são tautologias e aquelas que são contradições. a) (p 1 ) p 1 b) (p 1 p 2 ) ( p 2 p 1 ) c) (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) d) (p 1 p 1 ) (p 1 p 1 ) 2.4 Das seguintes proposições, indique as verdadeiras. Justifique. a) = ϕ ψ se e só se = ϕ e = ψ. b) Se = ϕ ψ, então = ϕ ou = ψ. c) Se = ϕ ou = ψ, então = ϕ ψ. d) Se = ϕ ψ e = ψ, então = ϕ. 2.5 Determine ϕ[p 0 p 1 /p 2 ] para: a) ϕ = ( p 2 ) p 1. b) ϕ = ( p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ). 2.6 a) Seja ϕ a fórmula ( p 1 p 1 ). Verifique que p 0 var(ϕ) e que ϕ[p 2 p 1 /p 0 ] = ϕ. b) Demonstre, mais geralmente, que: para todas as fórmulas ϕ e ψ e para toda a variável proposicional p, se p var(ϕ), então ϕ[ψ/p] = ϕ. 2.7 Sejam v uma valoração, ϕ e ψ fórmulas e p i uma variável proposicional. Seja v a valoração definida, para cada p n V CP, por { v v (ψ) se n = i, (p n ) = v (p n ) se n i. Demonstre que: (a) v (ϕ) = v (ϕ [ψ/p i ]); (b) se = ϕ, então = ϕ[ψ/p].

6 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Para cada uma das seguintes fórmulas, encontre uma fórmula que lhe seja logicamente equivalente e que envolva apenas conectivos no conjunto {, }. a) (p 0 p 2 ) p 3. b) p 1 (p 2 ). c) p 4 p 2. d) (p 1 p 2 ) (p 1 ). 2.9 Defina uma função f : F CP F CP de tal modo que, para cada ϕ F CP, f(ϕ) ϕ e os conectivos de f(ϕ) pertençam ao conjunto {, }. Conclua que o conjunto de conectivos {, } é completo Seja F o conjunto das fórmulas cujos conectivos estão no conjunto {, }, ou seja, F é o conjunto definido indutivamente, sobre o alfabeto do Cálculo Proposicional, pelas seguintes regras: p i F p i (i N 0 ) ϕ F ψ F (ϕ ψ) F ϕ F ψ F (ϕ ψ) F a) Enuncie o teorema de indução estrutural para F. b) Seja v a valoração que a cada variável proposicional atribui o valor lógico 0. Mostre que v(ϕ) = 0 para qualquer ϕ F. c) Existem tautologias no conjunto F? Justifique Investigue se os conjuntos de conectivos {, } e {,, } são ou não completos Considere a extensão do conjunto das fórmulas proposicionais F CP com o conectivo ternário (ou seja, considere que à definição indutiva de F CP é acrescentada uma regra que indica que (ϕ, ψ, σ) é uma fórmula proposicional se ϕ, ψ e σ o forem). Considere ainda que, dada uma valoração v e dadas fórmulas proposicionais ϕ, ψ e σ se tem, v ( (ϕ, ψ, σ) ) = 1 se e só se v(ϕ) = v(ψ) = v(σ) = 0. a) Calcule v ( (p 0, p 0, p 0 ) ) e v ( ( (p 0, p 0 p 1, )) ) para a valoração v tal que v(p i ) = 0 para todo o i N 0. b) Mostre que (ϕ, ψ, σ) (ϕ ψ σ). c) Dê exemplo de tautologias e de contradições onde o único conectivo usado seja. d) O conjunto { } é completo? Justifique Calcule formas normais conjuntivas e disjuntivas logicamente equivalentes a cada uma das seguintes fórmulas: a) p 0. b) p 1 (p 2 p 3 ). c) (p 1 p 0 ) (p 2 p 0 ). d) (p 1 ). e) (p 1 p 0 ) (p 2 (p 1 p 0 )). f) (p 1 p 2 ) ( p 2 p 1 ).

7 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Considere que ϕ e ψ são fórmulas cujo conjunto de variáveis é {p 1, p 2 } e {p 1, p 2, p 3 }, respectivamente, e que têm as seguintes tabelas de verdade: p 1 p 2 ϕ e p 1 p 2 p 3 ψ Determine FND s e FNC s logicamente equivalentes a cada uma das fórmulas. m n i 2.15 Sejam ϕ F CP e ψ = ( l ij ) F CP, onde cada l ij é um literal. i=1 j=1 Para cada i {1,..., m}, seja Γ i = {l i1,..., l ini }. a) Mostre que, para toda a valoração v, v(ψ) = 1 se e só se, para todo o i {1,..., m}, v satisfaz pelo menos um dos elementos de Γ i. b) Considere que ψ é logicamente equivalente a ϕ. Mostre que ϕ é uma tautologia se e só se não existe uma valoração v tal que, para todo i {1,..., m}, v satisfaz pelo menos um dos elementos de Γ i Considere as fórmulas ϕ = (p 3 (p 1 p 2 )) ( p 1 p 2 ), ψ = p 2 p 3 ( p 3 p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ). a) Mostre que ψ é logicamente equivalente a ϕ. b) Recorrendo ao Exercício 2.15 diga, justificando, se ϕ é uma tautologia. c) Resolva as alíneas anteriores considerando ϕ = (p 2 p 1 ) ( p 2 p 3 ), ψ = (p 1 p 2 ) (p 2 p 3 ) De entre os seguintes conjuntos de fórmulas, indique os que são consistentes e os que são inconsistentes. a) {p 0 p 2, p 1 p 3, p 1 p 2 }. b) {p 0 p 1, p 1, p 0 (p 2 p 3 )}. c) F CP. d) O conjunto F do Exercício Mostre que se é um conjunto de fórmulas do Cálculo Proposicional que contém uma contradição, então é inconsistente.

8 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Diga se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira para toda a fórmula ϕ e para todo o conjunto de fórmulas Γ. (a) se Γ é consistente e {ϕ} é consistente, então Γ {ϕ} é consistente. (b) se Γ é consistente e ϕ é uma tautologia, então Γ {ϕ} é consistente. (c) se Γ {ϕ} é consistente, então Γ = ϕ Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) p 3 p 0, p 0 = p 3. b) p 0 p 1, p 1 p 2 = p 0 p 2. c) p 2 (p 1 p 3 ), p 3 p 2 = p 1. d) ϕ ψ, (ϕ ψ) σ = σ ϕ, para quaisquer ϕ, ψ, σ F CP. e) ϕ ψ, ψ σ, σ = ϕ, para quaisquer ϕ, ψ, σ F CP Sejam ϕ, ψ, σ F CP e Γ um conjunto de fórmulas. Demonstre que: a) ϕ ψ, ϕ σ = ψ σ. b) = ϕ ψ se e só se ϕ = ψ. c) Γ = ϕ ψ se e só se Γ, ϕ = ψ. d) Γ é inconsistente se e só se Γ = Considere as seguintes afirmações: Se a dívida externa aumenta ou as taxas de juro descem, então os impostos são aumentados ou o desemprego diminui. Os impostos são aumentados se a dívida externa aumenta. Se as taxas de juro descem, então os impostos não são aumentados ou a dívida externa não aumenta. O desemprego diminui ou os impostos não são aumentados com as taxas de juro a descer. a) É possível que as afirmações anteriores sejam simultaneamente verdadeiras? b) A proposição Os impostos são aumentados é ou não uma consequência das afirmações anteriores? 2.23 O Carlos, o João e o Manuel, suspeitos de um crime, fizeram os seguintes depoimentos, respectivamente: O João é culpado, mas o Manuel é inocente. Se o Carlos é culpado, o Manuel também o é. Eu estou inocente, mas um dos outros dois é culpado. a) Os três depoimentos são consistentes? b) Algum dos depoimentos é consequência dos outros dois? c) Supondo os três réus inocentes, quem mentiu? d) Supondo que todos disseram a verdade, quem é culpado? e) Supondo que os inocentes disseram a verdade e que os culpados mentiram, quem é culpado?

9 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha 9 3. Dedução Natural para o Cálculo Proposicional 3.1 Sejam ϕ, ψ e σ fórmulas. Justifique as seguintes relações de derivabilidade, através da construção de derivações em Dedução Natural que reflictam os argumentos informais apresentados. a) ϕ ψ ψ ϕ Argumento: Admitamos ψ. Admitamos ainda ϕ. De ϕ e da hipótese ϕ ψ segue ψ, o que contraria ψ. Assim, como a assunção de ϕ conduz a uma contradição, podemos concluir ϕ. b) ϕ ψ, ψ σ ϕ σ Argumento: Por um lado, admitindo ϕ, por maioria de razão, temos ϕ σ. Por outro lado, admitindo ψ, como da segunda hipótese temos ψ ou σ, chegamos, no primeiro caso, a uma contradição e, no segundo caso, segue ϕ σ por maioria de razão. Assim, destas duas observações e da primeira hipótese, podemos concluir ϕ σ. 3.2 Sejam ϕ, ψ e σ fórmulas. Encontre derivações em DNP das seguintes fórmulas: a) (ϕ ψ) (ϕ ψ). b) (ϕ (ψ σ)) ((ϕ ψ) (ϕ σ)). c) ϕ ϕ. d) ( ϕ ψ) (ϕ ψ). e) ϕ ϕ. f) ((ϕ ψ) (ψ ϕ)) (ϕ ψ). g) (ϕ ψ) (ψ ϕ). h) (ϕ ψ) ( ϕ ψ). 3.3 Sejam ϕ e ψ fórmulas. A fórmula ((ϕ ψ) ϕ) ϕ é chamada a Lei de Pierce. a) Indique uma derivação da Lei de Pierce a partir do conjunto { ϕ}. b) Demonstre que a Lei de Pierce é um teorema. (Sugestão: Utilize a derivação construída na alínea anterior.) 3.4 Mostre que: a) p 0 p 1, p 5, p 4 ( p 1 p 3 ) (p 0 p 4 ) p 3. b) p 0 p 1, p 1 p 2, p 2 p 0 (p 1 p 2 ) (p 2 p 0 ) (p 1 p 0 ). 3.5 Sejam Γ um conjunto de fórmulas e sejam ϕ, ψ e σ fórmulas. Mostre que: a) Γ ϕ se e só se Γ, ϕ. b) Γ ϕ se e só se Γ, ϕ. 3.6 Seja Γ um conjunto de fórmulas e sejam ϕ e ψ fórmulas. Mostre que: a) Γ ϕ e Γ ϕ se e só se Γ é inconsistente. b) Se Γ, ϕ ψ e ϕ é uma tautologia, então Γ ψ. c) (p 0 p 1 ) (p 0 p 1 ) não é um teorema de DNP. d) p 0 p 1 p 0 p 1. Sugestão: Aplique o Teorema da Correcção e o Teorema da Completude.

10 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Sintaxe do Cálculo de Predicados 4.1 Seja L = ({0, f, g}, {R}, N ) o tipo de linguagem tal que N (0) = 0, N (f) = 1, N (g) = 2, N (R) = 2. a) Indique quais das seguintes sequências de símbolos constituem L-termos: i) 0. ii) f(1) iii) R(x 0, x 1 ). iv) g(f(x 1, x 0 ), x 0 ). v) g(x 0, f(x 1 )). b) Calcule o conjunto das variáveis de cada um dos seguintes L-termos: i) 0. ii) g(x 1, f(x 1 )). iii) g(x 1, x 2 ). iv) g(x 1, g(x 2, x 3 )). c) Para cada um dos L-termos t da alínea anterior, calcule t[g(x 0, 0)/x 1 ]. 4.2 Seja L o tipo de linguagem do exercício anterior. Considere que t é um L-termo com uma árvore de formação da forma t 1 T L r 1 t 2 T L r 2 t 3 T L r 3 t 4 T L r 4 t T L r 5 a) Indique um L-termo que admita uma árvore de formação desta forma. b) Assumindo que t 1, t 3 {c, x 0 } qual o número de L-termos que têm uma árvore de formação desta forma? c) Qual o número máximo de subtermos de t? 4.3 Seja L o tipo de linguagem definida no Exercício 4.1. a) Enuncie os teoremas de indução estrutural e de recursão estrutural para o conjunto dos L-termos. b) Defina, por recursão estrutural em L-termos, funções r, h : T L N 0 que a cada L-termo t fazem corresponder o número de ocorrências de variáveis em t e o número de ocorrências de símbolos de função em t, respectivamente. c) Dê exemplos de L-termos t 1 e t 2 tais que #VAR(t 1 ) = r(t 1 ) e #VAR(t 2 ) < r(t 2 ). d) Demonstre que, para todo o L-termo t, #VAR(t) r(t). 4.4 Dado um L-termo t, a notação SUBT(t) representa o conjunto de subtermos de t. a) Defina, por recursão estrutural, uma função f que a cada termo t faça corresponder o conjunto SUBT(t). b) Demonstre que: para todo o L-termo t, VAR(t) SUBT(t).

11 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Escreva as seguintes afirmações como fórmulas numa linguagem apropriada. a) Todo aquele que é persistente aprende Lógica. b) Quem quer vai, quem não quer manda. c) Nem todos os pássaros voam. d) Se toda a gente consegue, também o João consegue. e) Para todo o número natural que é maior do que 6, o seu dobro é maior do que 12. f) Quaisquer dois conjuntos que têm os mesmos elementos são iguais. g) Existe um inteiro positivo menor do que qualquer inteiro positivo. h) Todo o inteiro positivo é menor do que algum inteiro positivo. i) Não há barbeiro que barbeie precisamente aqueles homens que não se barbeiam a si próprios. 4.6 Seja L = ({0, }, {<}, N ) em que N (0) = 0 e N ( ) = N (<) = 2. a) Dê exemplos de L-fórmulas atómicas e de L-fórmulas não atómicas. b) Calcule os conjuntos de variáveis livres e de variáveis ligadas das seguintes fórmulas: i) x 2 0 < x 1. ii) x0 x1 (x 1 x 0 < 0). iii) x2 ( x0 (x 0 < x 1 ) x1 (x 2 < x 1 x 0 )). iv) x0 (x 0 < x 1 ) x1 (x 1 < x 0 ). c) A proposição Para toda a L-fórmula ϕ, LIV(ϕ) LIG(ϕ) = é verdadeira? 4.7 Para cada uma das fórmulas ϕ do Exercício 4.6 b), calcule ϕ[x 2 x 0 /x 1 ]. 4.8 Considere a linguagem do Exercício 4.6. Para cada uma das fórmulas ϕ do Exercício 4.6 b), indique quais das seguintes proposições são verdadeiras. a) A variável x 1 é substituível pelo L-termo 0 em ϕ sem captura de variáveis. b) A variável x 1 é substituível pelo L-termo x 2 em ϕ sem captura de variáveis. c) A variável x 2 é substituível por qualquer L-termo em ϕ sem captura de variáveis. d) Toda a variável é substituível pelo L-termo x 1 x 3 em ϕ sem captura de variáveis. 4.9 Seja L um tipo de linguagem. a) Defina, por recursão estrutural em L-fórmulas, a função SUBFA : F L P(F L ) que a cada L-fórmula ϕ faz corresponder o conjunto das subfórmulas atómicas de ϕ. b) Sejam ϕ uma L-fórmula e x uma variável. Demonstre que: se, para todo ψ SUBFA(ϕ), x LIV(ψ), então x LIV(ϕ).

12 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Semântica do Cálculo de Predicados 5.1 Seja L = ({f 1, f 2, f 3, f 4 }, {R 1, R 2 }, N ) o tipo de linguagem em que N (f 1 ) = N (f 2 ) = 0, N (f 3 ) = 1, N (f 4 ) = 2, N (R 1 ) = 1 e N (R 2 ) = 2 e seja D o conjunto {d 1, d 2 }. a) Indique uma L-estrutura de domínio D. b) Quantas L-estruturas de domínio D existem? 5.2 Considere o tipo de linguagem L Arit, seja E Arit a estrutura usual para este tipo de linguagem e sejam a 1 e a 2 atribuições em N 0 tais que a 1 (x i ) = 0, para todo i N 0, e a 2 (x i ) = i, para todo i N 0. a) Para cada um dos termos t em L Arit que se seguem, calcule t[a 1 ] EArit e t[a 2 ] EArit. i) 0. ii) x 5. iii) s(x 2 ). iv) +(s(0), x 3 ). v) s(0 (x 2 x 3 )). vi) (s(0) + x 7 ) s(x 1 + x 2 ). b) Para cada um das fórmulas ϕ em L Arit que se seguem, calcule ϕ[a 1 ] EArit e ϕ[a 2 ] EArit. i). iii) s(x 1 ) < (x 1 + 0). v) (x 1 < x 2 ) (s(x 1 ) < s(x 2 )). ii) x 1 = x 2. iv) (x 1 = x 1 ). vi) (x 1 < x 2 ) ((x 1 + x 3 ) < (x 2 + x 3 )). c) Para cada um das ( fórmulas ϕ em L Arit da alínea anterior, indique, para cada n N, o valor de ϕ[a x1 ) ( 1 n ]EArit e ϕ[a x1 ) 2 n ]EArit. d) Para cada um das fórmulas ϕ em L Arit da alínea b), indique ( x1 ϕ)[a 1 ] EArit, ( x1 ϕ)[a 2 ] EArit, ( x1 ϕ)[a 1 ] EArit e ( x1 ϕ)[a 2 ] EArit. e) Indique se alguma das fórmulas da alínea b) é válida para a estrutura E Arit. f) Indique se alguma das fórmulas da alínea b) é universalmente válida. 5.3 Seja L = ({0, }, { }, N ) o tipo de linguagem em que N (0) = 0, N ( ) = 2 e N ( ) = 2. Seja E = (N 0, ) a L-estrutura tal que: a interpretação 0 de 0 é o número inteiro zero; a interpretação de é a função multiplicação em inteiros; e a interpretação de é a relação menor ou igual do que em inteiros. Seja a : V N 0 a atribuição, em E, tal que: 0 se i {0} i N0 a(x i ) =. 2i se i N 0 \ {0} Para cada um dos seguintes L-termos t, calcule t[a] E. a) 0. b) x 2. c) x 1 x 2. d) (0 (x 2 x 1 )). 5.4 Sejam L, E e a o tipo de linguagem, a estrutura e a atribuição, respectivamente, definidas no Exercício 5.3 e sejam ϕ e ψ as L-fórmulas 0 x 1 e x 2 x 2 x 1, respectivamente. Discuta se as fórmulas ϕ, x2 ψ e x1 x2 (ϕ ψ) são satisfeitas na estrutura E para a atribuição a. Discuta ainda a validade em E e a validade universal destas fórmulas.

13 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Considere a linguagem L Conj = ({, P,, }, {=, }, N ) em que é um símbolo de aridade zero, P é um símbolo unário e os restantes símbolos de função e relação são binários. Seja E = (P(N), ) a estrutura usual desta linguagem e sejam a 1 e a 2 atribuições em P(N) tais que a 1 (x) = N, para todo x P(N), e a 2 (x i ) = {i}, para todo i N. a) Para cada um dos termos t em L Conj que se seguem, calcule t[a 1 ] E e t[a 2 ] E. i). ii) x 3. iii) P(x 6 ). iv) (P( ), x 3 ). v) P( (x 9 x 3 )). vi) (P( ) x 4 ) P(x 1 x 2 ). b) Para cada um das fórmulas ϕ em L Conj que se seguem, calcule ϕ[a 1 ] E e ϕ[a 2 ] E. i). iii) P(x 1 ) (x 1 ). v) x 1 (x 2 x 3 ) = (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ). ii) x 1 = x 2. iv) (x 1 = x 1 ). vi) (x 1 x 2 ) ((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )). c) Para cada um das fórmulas [ ( ϕ em )] L Conj [ da ( alínea )] anterior, indique, para cada x1 x1 n P(N), o valor de ϕ a 1 e ϕ a n 2 n E d) Para cada um das fórmulas ϕ em L Conj da alínea b), indique ( x 1 ϕ)[a 1 ] E, ( x 1 ϕ)[a 2 ] E, ( x 1 ϕ)[a 1 ] E e ( x 1 ϕ)[a 2 ] E. e) Indique se alguma das fórmulas da alínea b) é válida para a interpretação usual de L Conj em P(N). f) Indique se alguma das fórmulas da alínea b) é logicamente válida.. E 5.6 Seja L = ({c, f, g}, {R}, N ) uma linguagem, onde N (c) = 0, N (f) = 1, N (g) = 3 e N (R) = 2. Seja E = (R, ) a L-estrutura tal que c é o real 2, f : R R é a função definida por f (x) = x, g : R 3 R é a função definida por g (x, y, z) = x + y + z e R é a relação de menor ou igual nos números reais. Seja a : V R a atribuição tal que, para todo i N 0, a (x i ) = a) Para cada um dos seguintes termos t em L, calcule t[a] E. i) c. ii) x 1. iii) f (x 4 ). iv) g (c, f (x 3 ), x 1 ). b) Dê vários exemplos de termos t em L tais que t[a] E = 2. { i se i é par, 1 se i é ímpar. c) Dê vários exemplos de atribuições a em R tais que (g (c, f (x 3 ), x 1 ))[a ] E = 2. [ ( x2 d) Seja t = f (g (f (x 2 ), x 0, c)). Calcule (t [c/x 2 ])[a] E e t a c e) Seja ϕ a L-fórmula R (x 0, c) R (c, g (x 0, f (x 0 ), c)). Calcule (ϕ [c/x 0 ])[a] E e ϕ )]. E [ ( x0 a c )]. E

14 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Seja L uma linguagem, t 0 um termo em L, x uma variável, E = (D, ) uma L-estrutura e a uma atribuição em D, e u 0 = t 0 [a] E. Mostre que: [ ( )] x a) Para todo o termo t em L, (t [t 0 /x])[a] E = t a. [ ( x b) Para toda a fórmula ϕ em L, (ϕ [t 0 /x])[a] E = ϕ a c) Conclua que, para toda a fórmula ϕ em L, se ϕ é válida para I, então ϕ[t 0 /x] é válida para I. d) Conclua ainda que, para toda a fórmula ϕ em L, se ϕ é válida, então ϕ[t 0 /x] é válida. u 0 u 0 )]. E 5.8 Seja L uma linguagem, t 0 um termo em L, x uma variável, E = (D, ) uma L-estrutura e a 1 e a 2 atribuições em D. Mostre que: a) Para todo o termo t em L, se a 1 (x) = a 2 (x), para todo x VAR(t), então t[a 1 ] E = t[a 2 ] E. b) Para toda a fórmula ϕ em L, se a 1 (x) = a 2 (x), para todo x LIV(ϕ), então ϕ[a 1 ] E = ϕ[a 2 ] E. c) Conclua que, se ϕ é uma sentença em L, então ϕ[a 1 ] E = ϕ[a 2 ] E. d) Conclua ainda que, para toda a fórmula ϕ em L, e para toda a atribuição a em E, se x / LIV(ϕ), então ϕ[a] E = ( xϕ)[a] E. 5.9 Diga, justificando, quais das seguintes proposições são verdadeiras, para quaisquer fórmulas ϕ e ψ num tipo de linguagem L e para qualquer variável x. a) x ϕ x ϕ; b) = x (ϕ ψ) ( x ϕ x ψ); c) = ( x ϕ x ψ) x (ϕ ψ); d) = ( x ϕ x ψ) x (ϕ ψ); e) = x (ϕ ψ) ( x ϕ x ψ); f) = x y ϕ y x ϕ; g) = x y ϕ y x ϕ; h) Para toda a L-estrutura E, E = ϕ ou E = ϕ Seja L uma linguagem. a) Mostre que, para todas as fórmulas ϕ, ψ em L tais que x / LIV(ψ), se tem: i) = ( xϕ ψ) x(ϕ ψ). ii) = ( xϕ ψ) x(ϕ ψ). iii) = (ψ xϕ) x(ψ ϕ). iv) = (ψ xϕ) x(ψ ϕ). b) Mostre que, na alínea anterior, a condição x / LIV(ψ) é necessária Seja ϕ uma fórmula numa linguagem L e sejam x e y variáveis. Demonstre que, para Q {, }, se y LIV(ϕ) e x é substituível por y em ϕ sem captura das variáveis, então Q x ϕ Q y ϕ[y/x].

15 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Prove que = x 0 (ϕ x 0 ϕ). (Como curiosidade, pense no caso particular de ϕ representar a frase atómica x 0 é aprovado a Lógica.) 5.13 Seja L o tipo de linguagem definida no Exercício 5.3 e seja ϕ a L-fórmula (( x1 (x 1 0)) (x 2 0)) ( ( x1 (x 1 0)) (x 2 0)). a) ϕ é uma instância de uma tautologia? b) ϕ é válida em todas as L-estruturas? 5.14 Considere as seguintes afirmações, relativas a um conjunto de números reais. O valor absoluto de qualquer número negativo é maior do que algum número positivo. Há irracionais negativos, mas todos os irracionais são maiores do que os racionais. a) Represente as duas afirmações como fórmulas para um tipo de linguagem adequado, explicitando o tipo de linguagem utilizado. b) Justifique se as duas afirmações são ou não contraditórias Sejam L um tipo de linguagem, ϕ uma L-fórmula e x uma variável. Mostre que a) x ϕ x ϕ; b) { x ϕ, x ϕ} é semanticamente inconsistente Sejam L um tipo de linguagem e Γ F L. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: a) Γ é insatisfazível; b) Para todo ϕ F L, Γ = ϕ; c) Γ = ; d) Existe ϕ F L tal que Γ = ϕ e Γ = ϕ Seja L = ({c 1, c 2 }, {R}, N ), onde N (c 1 ) = N (c 2 ) = 0 e N (R) = 2, um tipo de linguagem. Seja Γ o conjunto formado pelas seguintes L-sentenças: x0 R(x 0, x 0 ); x0 x1 (R(x 0, x 1 ) R(x 1, x 0 )); x0 x1 x2 ((R(x 0, x 1 ) R(x 1, x 2 )) R(x 0, x 2 )). a) Indique um modelo de Γ, i.e., indique uma L-estrutura que valide todas as fórmulas de Γ. b) Mostre que existem modelos de Γ { R(c 1, c 2 )} e de Γ {R(c 1, c 2 )}. c) Mostre que Γ, R(c 1, c 2 ), R(c 2, c 3 ) = R(c 3, c 1 ).

16 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Dedução natural para o Cálculo de Predicados 6.1 Dadas L-fórmulas ϕ e ψ e dadas variáveis x e y, demonstre que as seguintes L-fórmulas são teoremas de DNCP. a) x (ϕ ψ) ( x ϕ x ψ) b) x ϕ x ϕ c) x ϕ ϕ se x LIV(ϕ) d) x y ϕ y x ϕ e) ( x ϕ ψ) x (ϕ ψ) se x LIV(ψ) f) x (ϕ ψ) ( x ϕ x ψ) g) ( x ϕ x ψ) x (ϕ ψ) se x LIV(ϕ) ou x LIV(ψ) 6.2 Dado um tipo de linguagem L com igualdade, com uma constante 0 e com símbolos de função binários + e, mostre que as seguintes proposições são verdadeiras: a) x0 x1 (x 0 = x 1 ). b) x0 x1 ( (x 0 = x 1 ) (x 1 = x 0 )). c) x0 (x = x 0 ), x0 (x 0 0 = 0) x0 (x 0 + (x 0 0) = 0)). 6.3 Sejam ϕ 1 e ϕ 2 as duas L Arit -sentenças que se seguem e seja Γ = {ϕ 1, ϕ 2 }. ϕ 1 : x0 (x = x 0 ) ϕ 2 : x0 x1 x2 ((x 0 + x 1 = x 2 ) (x 0 + s(x 1 ) = s(x 2 ))) Demonstre as proposições que se seguem, sem fazer uso das regras para a igualdade. a) Γ ϕ 2. b) Γ x0 x1 (x 0 + x 1 = s(0)). c) Γ x0 (x 0 + s(0) = s(x 0 )). 6.4 Dadas L-fórmulas ϕ e ψ, dado um conjunto de L-fórmulas Γ e dada uma variável x, demonstre que as seguintes proposições são verdadeiras. a) Para qualquer L-termo t tal que x é substituível por t em ϕ sem captura de variáveis, se Γ, x ϕ, ϕ[t/x] ψ, então Γ, x ϕ ψ. b) Se Γ x ϕ, Γ, ϕ ψ e x LIV(Γ {ψ}), então Γ ψ. c) Se Γ x ϕ e Γ, x ϕ, então Γ.

17 Lic. Ciências da Computação Exercícios - Folha Lógica Proposicional Intuicionista 7.1 Considere a estrutura de Kripke K = ({w 0, w 1, w 2 },, ) tal que w 0 < w 1 e w 0 < w 2 e tal que w 0 não valida qualquer variável proposicional, w 1 valida a variável proposicional p 0 e w 2 valida a variável proposicional p 1. Justificando, indique se cada uma das seguintes proposições é verdadeira. a) w 1 p 0 p 1. b) w 1 p 1. c) w 0 p 1. d) w 2 p 0 p 1. e) w 0 p 0 p 1. f) w 0 (p 0 p 1 ) (p 1 p 0 ). g) K p 0 p 1. h) K p 0 p 1. i) K (p 0 p 1 ). 7.2 Seja K uma estrutura de Kripke e sejam ϕ e ψ fórmulas proposicionais. a) Mostre que: K ϕ ψ se e só se para qualquer mundo w do universo de K, se w ϕ então w ψ. b) Mostre que: se o universo de K tem elemento mínimo w 0, então K ϕ se e só se w 0 ϕ. 7.3 Sejam ϕ e ψ fórmulas proposicionais. Prove a partir da definição que as seguintes fórmulas são intuicionisticamente válidas. a) ϕ ϕ b) (ϕ ψ) (ϕ ψ) c) (ϕ ϕ) d) (ϕ ) ϕ e) ϕ ϕ f) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) 7.4 Sejam ϕ e ψ fórmulas proposicionais. Mostre que as tautologias que se seguem não são necessariamente fórmulas intuicionisticamente válidas. a) (ϕ ψ) (ψ ϕ) b) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) c) ϕ ϕ d) ((ϕ ψ) ϕ) ϕ 7.5 Prove que, para qualquer fórmula proposicional ϕ: a) ϕ é tautologia se e só se ϕ é válida em qualquer estrutura de Kripke que contenha apenas um mundo; b) se ϕ não é tautologia então ϕ não é intuicionisticamente válida. 7.6 Prove que: a) p 0 p 1 I p 1 p 0 ; b) (p 0 p 1 ) I p 0 p Investigue se cada uma das seguintes proposições é verdadeira para quaisquer fórmulas proposicionais ϕ e ψ. a) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) é um teorema intuicionista. b) ϕ ψ é intuicionisticamente derivável a partir de { (ϕ ψ)}. c) ϕ ψ, ϕ I ψ. d) ϕ DNI ϕ.