Conceitos básicos de Teoria da Computação

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1 Folha Prática Conceitos básicos de 1 Conceitos básicos de Métodos de Prova 1. Provar por indução matemática que para todo o número natural n: a) n = 2 n+1 1, para n 0 b) n 2 = n(n+1)(2n+1), n 1 2 c) n 3 = ( n) 2, n 1 d) 2x1 + 2x2 + 2x n = n 2 + n, n 1 e) n (n 2 + 5) é divisível por 6, para n 0 f) A soma dos primeiros n números inteiros positivos ímpares é igual a n 2 g) A soma dos primeiros n números inteiros positivos é igual a (n 2 + n) / 2 h) n < 2 n i) n 2 n é múltiplo de 3 j) n 3 n é múltiplo de 3 k) 2 2n 1 é múltiplo de 3 l) n (n+1) = m)se n 3, então 2n + 1 n 2 n) Se n 3, então 2n + 1 < 2 n o) Se n 5, então 2 n > n 2 n n+1 p) Se n > 1, então n pode ser escrito como produto de números primos q) Seja (a n ) n a sucessão de números naturais tal que a 1 = 1 e, para cada n, a n+1 = 2a n Para que inteiros não negativos n é válida a desigualdade 2n n? Justificar a resposta usando indução matemática. 3. Provar por contradição o teorema Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 4. Provar por contradição que o quadrado de um número inteiro positivo par é um número par. 5. Provar por contradição que, o conjunto de números primos é infinito.

2 Folha Prática Conceitos básicos de 2 Reconhecimento de palavras (cadeias de símbolos) programação Considere o ficheiro TheoryComputation.txt que se encontra acessível a partir da página web da disciplina ( 6. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que contêm a subpalavra at. 7. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que contêm a subpalavra at, mas que não se iniciem por at ou não terminem por at. 8. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que contêm a subpalavra at, mas que não se iniciam por t nem terminem por k. 9. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que se iniciam e terminam por uma vogal. 10. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que se iniciam por a e terminam por e. 11. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que se iniciam e terminam por letras diferentes. 12. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que contêm a letra a numa posição par da palavra. 13. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras cujo número de a é igual ao número de b. 14. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras com mais vogais do que consoantes. 15. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras com um número par de vogais. 16. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras em que a letra o está sempre antes da letra e. 17. Implemente um programa que leia as palavras contidas no ficheiro TheoryComputation.txt e mostre no monitor aquelas palavras que são palíndromos (por ex:, osso, ovo, radar). 18. Implemente um programa que verifique se uma expressão matemática contendo apenas símbolos de conjunto S = { a, +, -, *, / } está correta, segundo o formato normal (a+3*5).

3 Folha Prática Conceitos básicos de 3 Linguagens 19. Considerando o alfabeto = { 0, 1 }, dar exemplos de linguagens L 1 e L 2 tais que: a) (L 1 L 2 )* L 1 * L 2 * b) (L 1 L 2 ) = (L 1 * L 2 *), com L 1 L 2, L 1 L 2, L 2 L Considere a cadeia de símbolos sobre o alfabeto Σ = { a, b }: aaaba. Diga, justificando, se esta cadeia pertence ou não a cada uma das seguintes linguagens: a) { a, b }* b) { aaa, bab } { ba, bb } c) { aaa }* { b }* { a }, isto é, ( { aaa }* ) ( { b } * ) { a } d) { a }* { b }* { a }* e) { aa }* { a }* { a, ba, bb, l } 21. Descreva informalmente cada uma das linguagens seguintes sobre o alfabeto S = { 0, 1 }: a) { 0 }* b) { 0 }* { 1 }*, isto é, ( { 0 }* ) ( { 1 }* ) c) { 0 }* { 1 }*, isto é, ( { 0 }* ) ( { 1 }* ) d) { 01, 00 } { 0, 1 }*; isto é, ( { 01, 00 } ) ( { 0, 1 }*) e) { 0, 1 }* { 101, 111 } f) { 0, 1 }* { 11, 00 } { 0, 1 }* g) { 0, 1 }* \ { 0 }* h) { 000, 1 }* { 00, 1 }*; isto é, ( { 000, 1 }* ) ( { 00, 1 }*) 22. Seja L a linguagem sobre o alfabeto S = { a, b } constituída pelas cadeias que se podem obter por aplicação das duas regras seguintes: - a e b são cadeias de L - se b é uma cadeia de L então aab e bbb são cadeias de L a) Verifique que aaaabba e bbaabbbbb pertencem a L b) Verifique que aaabaaabba não pertence a L c) Prove por indução matemática (sobre o número de vezes que se aplica a segunda regra), que qualquer cadeia de L - tem um número par de a's e um número ímpar de b's, ou - tem um número par de b's e um número ímpar de a's d) Mostre que L = L 1 L 2 com L 1 = { aa, bb }* e L 2 = { a, b }, ou seja, L = { aa, bb }* { a, b } e) Justifique que L é o conjunto das cadeias sobre o alfabeto { a, b } constituídas por sequências de a's ou de b's, e em que o número de símbolos em cada sequência de comprimento máximo é par, exceto no último (sufixo)

4 Folha Prática Conceitos básicos de Sejam L e M linguagens sobre o alfabeto Σ = { 0, 1, 2 } definidas por L = { 2, 01, 001, 1 } e M = { x x Σ +, x 3 e o número de 0 s em x é menor do que dois } a) Determine M L, M L, Σ* \ M, LL, LM, ML, (LM) (ML) b) Indique uma propriedade que caraterize informalmente, mas com rigor, as cadeias de L n quanto ao número de 0 s e à forma como ocorrem, para n, e prove-a por indução c) Descreva informalmente o fecho de Kleene da linguagem L (ou seja, L* = L 0 L 1 L 2..., o conjunto das cadeias de tamanho finito de L) 24. Sejam L e M linguagens quaisquer sobre o alfabeto Σ = { a, b }. Justifique a veracidade ou falsidade de cada uma das seguintes afirmações: a) se l M então L LM b) se L LM então c) se l L então l LM l M d) se LM = então L = e M = e) se LM então L e M f) se L M = então L = e M = g) se x = 3 para todo x L, então y = 3 k qualquer que seja k e y L k h) se L M = { l } então L = M = { l } i) se l LM então l L e l M Gramáticas 25. Determine a linguagem gerada por cada uma das gramáticas G = (V, T, S, P), tais que: a) V = { S }; T = { a, b }; P = { S l, S asb } b) V = { S }; T = { a, b }; P = { S ab, S asb } c) V = { S }; T = { a, b }; P = { S l, S asbs, S bsas } d) V = { S }; T = { a, b }; P = { S ab, S asb, S ba, S bsa, S SS } e) V = { S, A }; T = { a, b, c }; P = { S asc, S ba, A Ab, A b } f) V = { S, A }; T = { a, b }; P = { S asa, S ba, A ba, A b } g) V = { S }; T = { a, (, ) }; P = { S a, S (S), S SS } h) V = { S }; T = { a, +, - }; P = { S a, S +SS, S -SS } i) V = { S }; T = { a, +, * }; P = { S a, S SS+, S SS* } j) V = { S }; T = { a, (, ), +, * }; P = { S a, S S+S, S SS, S S*S, S (S) }

5 Folha Prática Conceitos básicos de Determine uma gramática sobre o alfabeto = { a, b } que gera cada uma das cadeias a) com exatamente um a b) com pelo menos um a c) que não têm mais do que três a's 27. Determine uma gramática sobre o alfabeto = { 0, 1 } que gera todas as cadeias em que todos os 0's são seguidos por pelo menos dois 1's. 28. Determine uma gramática sobre o alfabeto = { a, b } que gera cada uma das linguagens a) L = { a n+2 b n : n 1 } b) L = { a n b m : n 0, m > n } c) L = { a n b 2n : n 0 } 29. Determine uma gramática sobre o alfabeto = { a } que permita gerar todas as cadeias da cada uma das linguagens seguintes: a) L = { w : w mod 3 = 0 } ( w = número de elementos de w = comprimento de w) b) L = { w : w mod 3 w mod 2 } c) L = { w : w mod 3 w mod 2 } 30. Determine uma gramática que gera a linguagem L = { ww R : w { a, b } + } 31. Determine uma gramática sobre = { a, b } que gera a linguagem L = { w : n a (w) > n b (w) } (n a (w) = número de a's em w) 32. Considere as gramáticas G 1 = { S asb, S ab } e G 2 = { S aab, S ab, A aab, A }. Em que medida as gramáticas são equivalentes, isto é, geram a mesma linguagem?