2.5 FORMAS NORMAIS. Forma normal da negação

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1 Forma normal da negação 2.5 FORMAS NORMAIS Newton José Vieira 05 de agosto de 2007 Definições preliminares: literal: variável proposicional (literal positivo) ou negação de variável proposicional (literal negativo). complemento de um literal L, denotado por L: ν se L = ν; ν se L = ν. Uma fórmula está na forma normal da negação (FNN) se é:,, ou constituída apenas de literais e (eventualmente) conectivos e/ou. Obtenção de fórmula na FNN Obtenção de fórmula na FNN (cont.) (a) eliminação dos conectivos e : (a.1) α β α β (a.2) α β ( α β) (α β) ou α β (α β) ( α β) (b) internalização da negação: (b.1) α α (b.2) (α β) α β (b.3) (α β) α β (c) tratamento de e : (c.1) (c.2) (c.3) α α (c.4) α α (c.5) α (c.6) α (c.7) α (c.8) α (c.9) α α (c.10) α α

2 Observações sobre o sistema formal Exemplo de obtenção de fórmula na FNN Para cada regra γ 1 γ 2, tem-se que γ 1 γ 2. Assim, se α β (pelo sistema formal (F,R, ), em que R é o conjunto de regras), segue-se indutivamente que α β. Se nenhuma regra é aplicável a β, então β está na FNN: após a eliminação de e, se a fórmula não está na FNN, ela contém uma subfórmula que é da forma especificada pelo lado esquerdo de alguma das outras regras. Ou seja: se α β e nenhuma regra é aplicável a β, então β α e β está na FNN. 1. (p q) ((q r) p) (fórmula original) 2. ( p q) ((q r) p) (a1) 3. ( p q) ( (q r) p) (a1) 4. ( p q) (( q r) p) (b3) = Que regra usar dentre as de (a.2)? Conjunções e disjunções generalizadas Exemplo As regras (a1), (a2.1) ou (a2.2), (b1), (c1) e (c2) continuam as mesmas. As regras (b2) e (b3) tornam-se, respectivamente (n 2): (α 1 α 2... α n ) α 1 α 2... α n (α 1 α 2... α n ) α 1 α 2... α n No lugar das regras (c3) e (c4) tem-se (n 2): α 1... α n α 1... α i 1 α i+1... α n, se α i = para algum i. No lugar de (c5) e (c6) tem-se (n 2): α 1... α n, se α i = para algum i. No lugar de (c7) e (c8) tem-se (n 2): α 1... α n, se α i = para algum i. Finalmente, no lugar de (c9) e (c10) tem-se (n 2): α 1... α n α 1... α i 1 α i+1... α n, se α i = para algum i. As regras continuarão com os mesmos nomes. As que substituem (c3) e (c4), (c5) e (c6), (c7) e (c8), (c9) e (c10), terão os nomes (c3), (c5), (c7) e (c9). 1. ((p q) r) q (α) 2. ((p q) r) q (c3) 3. ( (p q) r) (p q r) q (a2.1) 4. (( p q) r) (p q r) q (b2) Observações: De 2 para 3, usou-se a generalizada correspondente a (c3) e (c4). A 4 é ( (p q) r) (p q r) q, e não (( (p q) r) ((p q) r)) q. Dois pares de parênteses foram eliminados para que os escopos ficassem os mais amplos possíveis. Houvesse sido aplicada a regra (a2.2), a FNN obtida seria outra: 3. (((p q) r) ( (p q) r)) q (a2.2) 4. (((p q) r) ( p q r)) q (b3)

3 Estrutura e-ou de uma fórmula Uma fórmula na FNN pode ser vista como exibindo uma estrutura e-ou de possíveis atribuções de valores verdade a variáveis proposicionais de forma a satisfazer a fórmula (e qualquer outra logicamente equivalente). Exemplo: a fórmula na FNN (p q) p obtida de α = (( p q) p) (e de muitas outras) exibe mais claramente como satisfazer α: deve-se satisfazer (1) p q e (2) p; para satisfazer (1) deve-se fazer p i = V ou q i = V ; para satisfazer (2), deve-se fazer p i = F; logo, deve-se ter p i = F e q i = V. As coisas não ficam tão simples em geral: muitos níveis alternados de es e ous. Dois pseudocomandos: Satisfabilidade para FNN com computação alternante escolha-nd(c): tem sucesso se existe uma escolha de elemento de C que leve a sucesso; itera(c): tem sucesso se toda escolha de elemento de C leva a sucesso. proc-nd satalt(fórmula na FNN γ): conjunto de literais Σ; Σ := ; laço literal: se γ Σ então fracasso senão Σ := Σ {γ}; sucesso fimse α 1... α n :γ := itera({α 1,...,α n }) α 1... α n :γ := escolha-nd({α 1,...,α n }) fimlaço fim satalt Como lidar com o pseudocomando itera deterministicamente? Cláusulas e cláusulas conjuntivas Via uso da lista A, como nos algoritmos sata-nd e satb-nd. Obtém-se uma adaptação de satb-nd para lidar apenas com fórmulas na FNN com conjunções e disjunções generalizadas. cláusula: disjunção de literais l 1 l 2... l k, k 0. k = 0: cláusula vazia, denotada por. cláusula conjuntiva: conjunção de literais l 1 l 2... l k, k 0. k = 0: cláusula conjuntiva vazia, denotada por. Observações: Algumas vezes é útil ver uma cláusula como um conjunto de literais. O mesmo para cláusulas conjuntivas. Mesmo assim, será usada a notação usual. Exemplo: p q e q p serão consideradas a mesma cláusula, também denotada por {p, q}.

4 Forma normal conjuntiva Como obter fórmula na FNC Uma fórmula é dita estar na forma normal conjuntiva (FNC) se for, ou da forma ψ 1 ψ 2... ψ n, para n 1, sendo cada ψ i uma cláusula não vazia. Exemplos de fórmulas na FNC: (conjunção de zero cláusulas); (uma cláusula sem literais: a cláusula vazia); p (uma cláusula de um literal); p r (uma cláusula de dois literais); p q r (três cláusulas de um literal cada uma); (p 1 r) q (r p 2 ) (três cláusulas, uma de um literal e duas de dois literais). Note: caso a fórmula na FNC contenha a cláusula vazia, não pode conter nenhuma outra cláusula. 1. Obter uma fórmula na FNN. 2. Usar até não poder mais: α 1 α m (β 1 β n ) (α 1 α m β 1 ) (α 1 α m β n ). Exemplo: Fórmula equivalente a ((p q) r) q na FNN: Aplicando-se a regra anterior: (( p q) r) (p q r) q. 1. ((p q) r) q) 2. (( p q) r) (p q r) q (FNN) 3. ( p r) ( q r) (p q r) q (d1) Outra fórmula na FNC (a2.1) ou (a2.2)? 1. ((p q) r) q) 2. (( p q) r) (p q r) q (FNN) 3. ( p r) ( q r) (p q r) q (d1) Para obter 2, foi usada a regra (a2.1). Agora usando a FNN obtida pela aplicação da regra (a2.2): 1. ((p q) r) q 2. (((p q) r) ( p q r)) q (outra FNN) 3. (p q ( p q r)) (r ( p q r)) q (d1) 4. (p q p) (p q q) (p q r) (r ( p q r)) q (d1) 5. (p q p) (p q q) (p q r) (r p) (r q) (r r) q (d1) Eliminando-se as tautologias, obtém-se (p q r) (r p) (r q) q. O uso da regra (a2.1) ou (a2.2) tem influência no processamento posterior que se deseje para a FNN. Como a FNC é uma conjunção de disjunções, a melhor opção é aquela que obtém uma conjunção de disjunções. As cláusulas obtidas de γ 1 γ 2 são as obtidas de γ 1 mais as obtidas de γ 2. As cláusulas obtidas de γ 1 γ 2 são as que podem ser obtidas unindo-se cada cláusula obtida de γ 1 com cada cláusula obtida de γ 2, o que gera um efeito multiplicativo. Por que esta última é mais ineficiente?

5 Vendo já a fórmula na FNN: (a2.1) ou (a2.2)? se a subfórmula que vai resultar da bicondicional tem polaridadade positiva (estiver no escopo de um número par de negações) é melhor a regra (a2.1); se tem polaridadade negativa (estiver no escopo de um número ímpar de negações) é melhor a regra (a2.2). O algoritmo a seguir leva em conta, implicitamente, a polaridade: na medida em que a fórmula vai sendo processada, é usada para indicar a polaridade de suas subfórmulas. Procedimento fnnc: FNN para posterior FNC Para simplificar: supõe-se que e não podem ocorrer (ocorrências devem ser eliminadas antes). proc fnnc(fórmula sem nem γ) retorna uma fórmula na FNN: literal: retorne γ α: retorne fnnc(α) regra (b.1) α β: retorne (fnnc(α) fnnc(β)) (α β): retorne fnnc( α β) regra (b.2) α β: retorne (fnnc(α) fnnc(β)) (α β): retorne fnnc( α β) regra (b.3) α β: retorne fnnc( α β) regra (a.1) (α β): retorne fnnc(α β) regras (a.1), (b.3), (b.1) α β: retorne fnnc(( α β) (α β)) regra (a2.1) (α β):retorne fnnc((α β) ( α β)) regras (a2.2), (b.3), (b.2), (b.2), (b.1), fim fnnc Algumas observações sobre FNC Exemplo Uma fórmula na FNC é uma tautologia se, e somente se, é ou toda cláusula da mesma contém um literal e seu complementar. tempo linear para testar se é tautologia, mas obter uma fórmula na FNC é exponencial no pior caso. toda cláusula, com exceção de, é satisfatível; apenas as tautológicas não são falseáveis; com exceção de e cláusulas tautógicas, toda cláusula é contingente; para uma cláusula não tautológica l 1 l 2... l k a interpretação tal que i(l i ) = F, se l i for um literal positivo, ou i(l i ) = V, se l i for um literal negativo, falseia a fórmula. ( p r) ( q r) (p q r) q é uma fórmula na FNC, sem cláusulas tautológicas, equivalente a α = ((p q) r) q). Cada cláusula dá uma interpretação que falseia α: de p r obtém-se p i = V,r i = F; e de q r obtém-se q i = V,r i = F; e de p q r obtém-se p i = F,q i = F,r i = V. de q obtém-se q i = V. Se toda interpretação falseia alguma cláusula de uma fórmula γ na FNC, então γ é insatisfatível e, portanto, logicamente equivalente a.

6 Forma normal disjuntiva Como obter fórmula na FND Uma fórmula é dita estar na forma normal disjuntiva (FND) se for, ou da forma ψ 1 ψ 2... ψ n, para n 1, sendo cada ψ i uma cláusula conjuntiva não vazia. Exemplos de fórmulas na FND: (não tem nenhuma cláusula conjuntiva); (cláusula conjuntiva vazia); p (uma cláusula conjuntiva de um literal); p r (uma cláusula conjuntiva de dois literais); p q r (três cláusulas conjuntivas de um literal cada uma); (p 1 r) q (r p 2 ) (três cláusulas conjuntivas, uma de um literal e duas de dois literais). Note: caso a fórmula na FND contenha a cláusula conjuntiva vazia, não pode conter nenhuma outra cláusula conjuntiva. 1. Obter uma fórmula na FNN. 2. Usar até não poder mais: α 1 α m (β 1 β n ) (α 1 α m β 1 ) (α 1 α m β n ). Agora a regra (a2.2) para obtenção da FNN é mais adequada: 1. ((p q) r) q 2. (((p q) r) ( p q r)) q (FNN) 3. ((p r) (q r) ( p q r)) q (d2) 4. (p r q) (q r q) ( p q r) (d2) 5. (p r q) ( p q r) (elim. contraditória) Exemplo Procedimento fnnd: FNN para posterior FND 1. ((p q) r) q 2. (((p q) r) ( p q r)) q (FNN) 3. ((p r) (q r) ( p q r)) q (d2) 4. (p r q) (q r q) ( p q r) (d2) 5. (p r q) ( p q r) (elim. contraditória) Obtenção da FND usando-se a FNN obtida após utilização da regra (a2.1) é mais trabalhosa: 1. ((p q) r) q 2. (( p q) r) (p q r) q (FNN) 3. (( p q) r) ((p q) (q q) ( r q)) (d2) 4. (( p q) r) ((p q) ( r q)) (elim. contr.) 5. [(( p q) r) (p q)] [(( p q) r) ( q r)] (d2) 6. [( p q p) (r p q)] [(( p q) r) ( q r)] (d2) 7. (r p q) [(( p q) r) ( q r)] (elim. contr.) 8. (r p q) ( p q r) (r q r) (d2) 9. (r p q) ( p q r) (elim. contr.) proc fnnd(fórmula sem nem γ) retorna uma fórmula na FNN: literal: retorne γ α: retorne fnnd(α) regra (b.1) α β: retorne (fnnd(α) fnnd(β)) (α β): retorne fnnd( α β) regra (b.2) α β: retorne (fnnd(α) fnnd(β)) (α β): retorne fnnd( α β) regra (b.3) α β: retorne fnnd( α β) regra (a.1) (α β): retorne fnnd(α β)} regras (a.1), (b.3), (b.1) α β: retorne fnnd((α β) ( α β)) regra (a2.2) (α β):retorne fnnd(( α β) (α β)) (a2.1), (b.2), (b.3), (b.3), (b.1), (b.1) fim fnnd A única diferença deste para fnnc é o tratamento de.

7 Algumas observações sobre FND Uma fórmula na FND é uma contradição se, e somente se, é ou toda cláusula conjuntiva da mesma contém um literal e seu complementar. tempo linear para testar se é contradição, mas obter uma fórmula na FND é exponencial no pior caso. para uma cláusula disjuntiva não contraditória l 1 l 2... l k a interpretação tal que i(l i ) = V, se l i for um literal positivo, ou i(l i ) = F, se l i for um literal negativo, satisfaz a fórmula. Se toda interpretação satisfaz alguma cláusula conjuntiva não contraditória de uma fórmula γ na FND, então γ é tautológica e, portanto, logicamente equivalente a. Árvore e-ou e FND A fórmula na FND é a disjunção das conjunções dos literais de cada conjunto da família ints(r). Exemplo: ints(r) = {pq,pqr,r} Fórmula na FND: (p q) ( p q r) r. Termo: A fórmula na FND codificada por ints(r). Teorema: Seja r a raiz de uma árvore e-ou para a fórmula γ. A fórmula na FND codificada por ints(r) é logicamente equivalente a γ. Árvore de computação para satb-nd e FND A árvore de computação para satb-nd dá uma FND: a disjunção das cláusulas conjuntivas constituídas dos conjuntos dos literais que rotulam as folhas. Computações de fracasso: folhas com literais complementares. Conclusão: sata-nd e satb-nd podem ser vistos como procurando, implicitamente, por alguma cláusula conjuntiva não contraditória da FND. Com isso, algoritmos determinísticos diretamente baseados nos mesmos acabam realizando, implicitamente, a transformação para FND. A seguir, adaptação de satb-nd: fnd(γ) retorna o conjunto dos conjuntos Σ que rotulariam folhas em todas as computações possíveis de satb-nd, tanto as de sucesso quanto as de fracasso, supondo que as subfórmulas são dissecadas até atingir apenas literais. Algoritmo para obtenção de fórmula na FND proc fnd(fórmula γ) retorna uma família de conjuntos de literais: literal: retorne {{γ}}, : retorne {{}}, : retorne {} α: retorne fnd(α) α β: retorne {X Y X fnd(α) e Y fnd(β)} (α β): retorne fnd( α β) α β: retorne fnd(α) fnd(β) (α β): retorne fnd( α β)} α β: retorne fnd( α β) (α β):retorne fnd(α β)} α β: retorne fnd((α β) ( α β)) (α β):retorne fnd((α β) ( α β)) fim fnd

8 Operações básicas do algoritmo para obtenção de fórmula na FND Algoritmo para obtenção de fórmula na FNC fnd(α) fnd(β): realiza soma de disjunções; por exemplo: fnd(α) = {{p,q},{ p}} representa (p q) p; fnd(β) = {{ p,r},{p}} representa ( p r) p; Resultado: {{p,q},{ p},{ p,r},{p}} representando (p q) p ( p r) p {X Y X fnd(α) e Y fnd(β)}: realiza produto de disjunções; por exemplo: sejam os mesmos fnd(α) e fnd(β) acima; Resultado: {{p,q, p,r},{p,q},{ p,r},{ p,p} representando (p q p r) (p q p) ( p r) ( p p) proc fnc(fórmula γ) retorna uma família de conjuntos de literais: literal: retorne {{γ}}, : retorne {{}}, : retorne {} α: retorne fnc(α) α β: retorne fnc(α) fnc(β) (α β): retorne fnc( α β)} α β: retorne {X Y X fnc(α) e Y fnc(β)} (α β): retorne fnc( α β) α β: retorne fnc( α β)} (α β):retorne fnc(α β) α β: retorne fnc(( α β) (α β)) (α β):retorne fnc((α β) ( α β)) fim fnc Algoritmos fnc e fnd lidam adequadamente com Os algoritmos fnc e fnd, ao ir do conectivo principal em direção aos literais, empurrando a negação para o interior da fórmula, têm como escolher a melhor alternativa para lidar com o conectivo. Assim, na verdade, fnc e fnd incorporam o trabalho efetuado por fnnc e fnnd. FIM