IME, UFF 3 de junho de 2014

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1 Lógica IME, UFF 3 de junho de 2014

2 Sumário A lógica formal e os principais sistemas

3 A lógica formal Um dos objetivos da lógica formal é a mecanização do raciocínio, isto é, a obtenção de nova informação a partir de informações prévias por meio de recursos que podem ser controlados e automatizados.

4 Se temos as informações: Exemplo 1(a) Sócrates está disposto a visitar Platão, se Platão está disposto a visitá-lo. Porm, Platão não está disposto a visitar Sócrates, se Sócrates está disposto a visitá-lo. Mas, Platão está disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não está disposto a visitá-lo. Podemos concluir que Sócrates está disposto a visitar Platão?

5 Se temos a explicação confusa: Exemplo 1(b) Se eu não bebo cerveja no jantar, eu sempre como peixe. Quando eu bebo cerveja e como peixe no jantar, eu não tomo sorvete. Além disso, se eu tomo sorvete ou não bebo cerveja, eu nunca como peixe. Podemos simplificá-la para entender o que está dito?

6 Aspectos do raciocínio Qualquer forma de raciocínio tem, pelo menos, dois aspectos: a representação da informação prévia em uma linguagem adequada; a aplicação de mecanismos de processamento à informação representada, para a obtenção da informação nova.

7 Estrutura geral dos sistemas Todo sistema lógico aparato formal para a representação e obtenção da informação tem, pelo menos, duas partes: uma linguagem, por meio da qual enunciados (proposições, sentenças) de outras linguagens podem ser expressas; um mecanismo de inferência, por meio do qual argumentações (deduções, justificativas, provas) efetuadas em outras linguagens podem ser checadas e argumentações podem ser efetuadas no próprio sistema.

8 Principais sistemas Os sistemas mais básicos (mais fundamentais) são: a Lógica Sentencial (ou Proposicional), a Lógica Equacional, a Lógica de Primeira Ordem (ou de Predicados), a Lógica Monádica de Segunda Ordem, a Lógica de Segunda Ordem.

9 O que vamos estudar Vamos estudar apenas os dois sistemas mais básicos e que são considerados como introdutórios a qualquer domínio da lógica formal: a Lógica Sentencial (LS), a Lógica de Primeira Ordem (LPO).

10 Como vamos estudar A partir do final do século XVIII, G. Boole ( ), G. Frege ( ), e muitos outros, passaram a desenvolver estudos utilizando ferramentas matemáticas. Os conceitos são definidos rigorosamente. As propriedades dos sistemas são justificadas rigorosamente.

11 Descrição de um sistema lógico A descrição de um sistema lógico é feita pela apresentação da linguagem formal e do mecanismo de inferência daquele sistema.

12 Para cada sistema, a linguagem escrita () é, essencialmente, única. Mas há várias possibilidades para a leitura do que está escrito (). E, ainda, há várias possibilidades para o mecanismo de inferência.

13 Mecanismos de inferência Os mecanismos de inferência mais estudados são: - sistemas axiomáticos, - métodos de refutação (tableaux anaĺıticos), - métodos de dedução (dedução natural, cálculo de sequentes), - resolução.

14 Linguagem formal A descrição de uma linguagem formal é feita, em geral, em duas etapas: 1. Sintaxe: qual o alfabeto da linguagem e como as palavras, frases e textos da linguagem são formados. 2. Semântica: que significados podem ser atribuídos às letras do alfabeto, às palavras, frases e textos da linguagem.

15 Sentenças atômicas e moleculares Em LS exploramos partículas gramaticais simples, como não é o caso que...,... e simultaneamente... e investigamos o papel delas na formação e na avaliação de sentenças. Sentenças atômicas não são analisadas. Sentenças moleculares são analisadas e consideradas como formadas a partir de outras sentenças.

16 Alfabeto de LS O alfabeto de LS consiste dos seguintes símbolos: (i) Variáveis para sentenças: p, q, r,... (ii) Conectivos:,,,, (iii) Sinais de pontuação: (, )

17 Observação importante O conjunto das variáveis para sentenças é denotado por VS e pode ser finito ou infinito. LS é uma família de sistemas semelhantes, parametrizada pelo conjunto de variáveis para sentenças que está sendo adotado.

18 Suposição importante Assumimos que: 1. os símbolos do alfabeto são distintos dois a dois; 2. nenhum símbolo é uma sequência de outros símbolos.

19 Significado intuitivo Variáveis para sentenças: sentenças (atômicas) da Língua Portuguesa ou da Linguagem Matemática. conectivo nome significado símbolo de negação não (é o caso que) símbolo de conjunção e (simultaneamente) símbolo de disjunção ou (inclusivo) símbolo de implicação se..., então (causa e consequência) símbolo de bi-implicação se, e somente se (é o mesmo que, equivalência)

20 Palavras de LS Uma palavra de LS é uma sequência qualquer de símbolos do alfabeto de LS. Algumas fazem sentido e outras não. p 1 q 1 r 1 ()(()), (p 1 (p 1 p 2 )p 2 ) p 1 p 1, ((p 1 (p 1 p 2 )) p 2 )

21 Primeiro objetivo sintático Apresentar uma definição que seleciona, de uma maneira puramente sintática, isto é, sem fazer referências aos significados intuitivos dos símbolos, dentre todas as palavras possíveis de serem formadas com os símbolos do alfabeto da LS, aquelas que consideraremos como fazendo sentido.

22 Definições de conjuntos Usualmente, conjuntos são definidos de duas maneiras: pela listagem (ou uma indicação da listagem) dos seus elementos; através de uma propriedade aplicada a um outro conjunto.

23 Exemplo 1 (a) Conjunto dos números naturais não nulos, N, por listagem: N = {1, 2, 3,..., n,...} (b) Conjunto dos números pares não nulos, P, por listagem: P = {2, 4, 6,..., 2n,...} (c) Dado N, podemos definir P por propriedade: P = {x N : x é par}

24 Definições por listagem definições por propriedades Definições por listagem só são adequadas para conjuntos finitos e, na prática, apenas para conjuntos finitos pequenos. Definições por propriedades (aplicadas a conjuntos previamente dados) podem ser usadas para definir qualquer conjunto. Dependendo da complexidade da propriedade empregada, definições por propriedade podem ser difíceis de utilizar.

25 Definições por indução Definições por indução tentam aproveitar o melhor dos dois mundos: listagens ou propriedades simples; propriedades expressas por procedimentos que levem a controle e automação dos elementos que estão no conjunto.

26 definidos por indução Dado um conjunto U, dizemos que C U é definido por indução quando são dados: 1. Um subconjunto B C, chamado base, cujos elementos são considerados como elementos básicos de C. 2. Um procedimento que pode ser aplicado iteradamente para construir todos os elementos de C a partir dos elementos básicos. 3. A condição de que nenhum objeto está em C a não ser que possa ser obtido a partir dos elementos básicos por um número finito de aplicações do procedimento de construção descrito.

27 Exemplo N O conjunto N = {1, 2, 3,..., n,...} dos números naturais não nulos pode ser definido por indução do seguinte modo: 1. Tome o conjunto {1}, contendo o elemento básico 1, como base. 2. Construa todos os outros elementos de N a partir do 1 por aplicação iterada da operação n n + 1, de somar uma unidade.

28 Exemplo P O conjunto P = {2, 4, 6,..., 2n,...} dos números pares não nulos pode ser definido por indução do seguinte modo: 1. Tome o conjunto {2}, contendo o elemento básico 2, como base. 2. Construa todos os outros elementos de P a partir do 2 por aplicação iterada da operação n n + 2, de somar duas unidades.

29 Exemplo N com base Π Um mesmo conjunto pode ser definido por indução de vários modos, isto é, considerando-se bases diferentes e/ou procedimentos diferentes. O conjunto N = {1, 2, 3,..., n,...} dos números naturais não nulos também pode ser definido por indução do seguinte modo, onde Π é o conjunto dos números primos.

30 Exemplo N com base Π 1. Tome o conjunto Π {1}, contendo os números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13,... e a unidade 1, como base. 2. Construa todos os outros elementos de N a partir dos números primos por aplicação iterada da operação (m, n) m n, de multiplicação. Observe que, neste exemplo, o conjunto base é infinito e foi definido por uma indicação da listagem dos seus elementos.

31 de LS Definição O conjunto das da LS, denotado FLS, é definido pelas seguintes regras: 1. Cada variável para sentenças é uma fórmula. 2. Se ϕ é uma fórmula, então ( ϕ) é uma fórmula. 3. Se ϕ e ψ são, então (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) e (ϕ ψ) são. Assumimos que nenhum objeto é uma fórmula a não ser que possa ser obtido por um número finito de aplicações das regras acima.

32 p, q, r Exemplos de ( p), ( q) (p ( p)) (( q) (p ( p))) ((( q) (p ( p))) q) (p q), (p r), (q r) ((p q) (p r)) (((p q) (p r)) (q r)) ((((p q) (p r)) (q r)) r)

33 Não são exemplos de p, q, pq (( p)), p ( p) (( q) (p p)) (q) Observação Algumas expressões listadas acima não são apenas por possuírem ocorrências de parênteses em falta ou em excesso.

34 Definição Classificação de Sejam ϕ, ψ FLS. Dizemos que: 1. ϕ é atômica se é uma variável para sentenças. 2. ϕ é molecular se não é uma variável para sentenças. 3. ( ϕ) é a negação de ϕ. ϕ é o componente da negação. 4. (ϕ ψ) é a conjunção de ϕ com ψ. ϕ é o primeiro componente e ψ é o segundo componente da conjunção.

35 Classificação de 5. (ϕ ψ) é a disjunção de ϕ com ψ. ϕ é o primeiro componente e ψ é o segundo componente da disjunção. 6. (ϕ ψ) é a implicação de ψ por ϕ (observe a ordem em que as estão sendo referidas). ϕ é o antecedente e ψ é o consequente da implicação. 7. (ϕ ψ) é a bi-implicação de ϕ com ψ. ϕ é o primeiro componente e ψ é o segundo componente da bi-implicação.

36 Existência e unicidade da geração Pela definição temos que: 1. toda fórmula é gerada a partir das variáveis para sentenças por aplicação dos conectivos e as são os únicos objetos obtidos por este processo. 2. cada fórmula é gerada de um único modo a partir das variáveis para sentenças por aplicação iterada dos conectivos.

37 Graças a estas duas propriedades podemos: (a) provar propriedades que são verdadeiras para todas as pelo método de indução; (b) definir conceitos que se aplicam a todas as pelo método de recursão.

38 Método de definição por recursão Para definir um conceito C para todas as, basta fazer o seguinte: 1. Definir o conceito C para todas as variáveis para sentenças. 2. Supor que o conceito C está definido para arbitrárias ϕ e ψ. 3. Mostrar como o conceito C pode ser definido para as ( ϕ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) e (ϕ ψ), usando a hipótese de que C está definido para ϕ e ψ.

39 Exemplo VS[ϕ] Considere o seguinte conceito sobre ϕ. VS[ϕ] : conjunto das variáveis para sentenças de ϕ. Assim, VS[p] = VS[(p ( p))] = {p} VS[(p q) (( p) ( q))] = {p, q} Vamos definir VS[ϕ] usando o Método de Definição por.

40 Definição Seja ϕ FLS. Definição de VS[ϕ] O conjunto das variáveis para sentenças de ϕ, denotado por VS[ϕ], é definido recursivamente pelas seguintes regras: 1. Se ϕ for uma variável para sentenças, então VS[ϕ] = {ϕ}. 2. Se ϕ for uma negação ( ψ), então VS[ϕ] = VS[ψ]. 3. Se ϕ for uma conjunção (ψ θ), então VS[ϕ] = VS[ψ] VS[θ].

41 4. Se ϕ for uma disjunção (ψ θ), então VS[ϕ] = VS[ψ] VS[θ]. 5. Se ϕ for uma implicação (ψ θ), então VS[ϕ] = VS[ψ] VS[θ]. 6. Se ϕ for uma bi-implicação (ψ θ), então VS[ϕ] = VS[ψ] VS[θ].

42 Calculando VS[ϕ] A definição fornece um procedimento para, dada ϕ, calcularmos VS[ϕ]. VS[(p q) (( p) ( q))] = VS[(p q)] VS[(( p) ( q))] = VS[p] VS[q] VS[( p)] VS[( q)] = VS[p] VS[q] VS[p] VS[q] = {p} {q} {p} {q} = {p, q} Pode não ser eficiente mas é controlado e automatizável!

43 Definição de VS[ϕ] Para poupar espaço e tempo, costumamos simplificar a redação: Definição Seja ϕ FLS. O conjunto das variáveis para sentenças de ϕ, denotado por VS[ϕ], é definido pelas seguintes regras: 1. Se ϕ for uma variável para sentenças, então VS[ϕ] = {ϕ}. 2. Se ϕ for uma negação ( ψ), então VS[ϕ] = VS[ψ]. 3. Se ϕ for uma conjunção (ψ θ), então VS[ϕ] = VS[ψ] VS[θ]. 4. Os casos, e são inteiramente análogos ao caso.

44 Definir os conceitos abaixo por recursão: Exercício 1 1. na[ϕ] : número de ocorrências de abre parênteses em ϕ; 2. nf[ϕ] : número de ocorrências de fecha parênteses em ϕ.

45 Método de prova por indução Para provar que uma dada propriedade P(x), envolvendo uma variável x que toma palavras de LS como valores, é verdadeira para todas as, basta fazer o seguinte: 1. Provar que P(x) é verdadeira para todas as variáveis para sentenças. 2. Supor que P(x) é verdadeira para arbitrárias ϕ e ψ. 3. Provar que P(x) é verdadeira para as ( ϕ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) e (ϕ ψ), usando a hipótese de que P(x) é verdadeira para ϕ e ψ.

46 Vamos provar a seguinte propriedade: Exemplo na[ϕ] = nf[ϕ] Toda fórmula tem o mesmo número de ocorrências de abre e fecha parênteses. na[ϕ] : o número de ocorrências de abre parêntese em ϕ nf[ϕ] : o número de ocorrências de fecha parêntese em ϕ Queremos provar que P(x) : na[x] = nf[x] Para toda fórmula ϕ, temos que na[ϕ] = nf[ϕ].

47 Importante!!! Olhando para as, nós já sabemos disto. Mas nós não queremos apenas saber, também queremos demonstrar, justificar, provar formalmente. É para isto que serve o Método de Prova por Indução.

48 Prova. (Por indução em.) Base: Seja ϕ uma variável para sentenças. Temos que Logo, na[ϕ] = 0 e nf[ϕ] = 0. na[ϕ] = nf[ϕ], ou seja, ϕ tem o mesmo número de ocorrências de abre e fecha parênteses.

49 Hipótese: Suponha que ϕ e ψ têm, cada uma, o mesmo número de ocorrências de abre e fecha parênteses. Ou seja, suponha que na[ϕ] = nf[ϕ] e na[ψ] = nf[ψ].

50 Passo: O passo consistirá de 5 casos, um para cada conectivo. Para ( ϕ), temos: na[( ϕ)] = na[ϕ] + 1 HI = nf[ϕ] + 1 = nf[( ϕ)]. Logo, ( ϕ) tem o mesmo número de ocorrências de abre e fecha parênteses.

51 Para (ϕ ψ), temos: na[(ϕ ψ)] = na[ϕ] + na[ψ] + 1 HI = nf[ϕ] + nf[ψ] + 1 = nf[(ϕ ψ)]. Logo, (ϕ ψ) tem o mesmo número de ocorrências de abre e fecha parênteses.

55 Observação Declaramos explicitamente que a prova é feita por indução em, ϕ. A prova tem 3 partes: 1. Base. 2. Hipótese de Indução, HI. 3. Passo de Indução. Destacamos todos os pontos da prova onde a Hipótese de Indução, HI, é aplicada.

56 Prova de que na[ϕ] = nf[ϕ] Para poupar espaço e tempo, costumamos simplificar a redação: Prova. Por indução em, ϕ. Base: Seja ϕ uma variável para sentenças. Temos que na[ϕ] = 0 = nf[ϕ] = 0. Hipótese: Suponhamos que na[ϕ] = nf[ϕ] e na[ψ] = nf[ψ].

57 Passo: Temos 5 casos: na[( ϕ)] = na[ϕ] + 1 HI = nf[ϕ] + 1 = nf[( ϕ)]. na[(ϕ ψ)] = na[ϕ] + na[ψ] + 1 HI = nf[ϕ] + nf[ψ] + 1 = nf[(ϕ ψ)]. Os casos, e são inteiramente análogos ao caso.

58 1. Defina por recursão os conceitos Exercício 2 e nc[ϕ] : número de ocorrências de conectivos em ϕ np[ϕ] : número de ocorrências de pares de parênteses em ϕ Quando contamos ocorrências de símbolos, as repetições de símbolos são contabilizadas. 2. Prove por indução que nc[ϕ] = np[ϕ].