IME, UFF 4 de novembro de 2013

Transcrição

1 Lógica IME, UFF 4 de novembro de 2013

2 Sumário e ferramentas

3 Considere o seguinte texto, da aritmética dos números naturais. Teorema: Todo número inteiro positivo maior que 1 tem um fator primo. Prova: Seja n um inteiro positivo maior que 1. Sabemos que n é primo ou n não é primo. Se n é primo, n é um fator de n ou 1 n n. Neste caso, o teorema está provado.

4 Se n não é primo, n é composto. Assim, n = n 1 n 2 onde n 1 e n 2 são inteiros positivos, ambos menores que n. Se n 1 é primo, o teorema está provado. Se não, n 1 = n 3 n 4 onde n 3 e n 4 são inteiros positivos, ambos menores que n 1.

5 Novamente, se n 3 é primo, o teorema está provado. Se não, n 3 = n 5 n 6 onde n 5 e n 6 são inteiros positivos, ambos menores que n 3. Generalizando o procedimento acima teremos, depois de alguns passos: n 2k 1 = n 2k+1 n 2k+2 onde n 2k+1 e n 2k+2 são inteiros positivos, ambos menores que n 2k 1.

6 Como, para qualquer valor de k: e n > n 1 > n 3 > > n 2k 1 > 0 n = n 2k+1 n 2k+2 n 2k n 2k 2 n 6 n 4 n 2 este procedimento termina. Quando isto acontece, n 2k+1 é primo e, como ele é um fator de n, o teorema está provado.

7 Propriedades das provas Um teorema é uma afirmação verdadeira, que queremos justificar. Uma prova de um teorema é uma justificativa para que aceitemos a veracidade do teorema. Provas possuem vários aspectos importantes. Do ponto da vista da lógica, os seguintes são os mais aparentes: uso de sentenças, uso de sentenças, uso de argumentos.

8 Um exame destas 3 características do raciocínio nos leva a formulação de alguns básicos. Estes, por sua vez, nos levam a introdução de conceitos e técnicas que possibilitam a aplicação da sintaxe e da semântica de LS.

9 Seja n um inteiro positivo maior que 1. Sabemos que n é primo ou n não é primo. Neste contexto, a sentença é V. n é primo ou n não é primo Ela oferece alternativas complementares.

10 Por isto, ela é V em qualquer contexto. Como podemos ver que isto, de fato, acontece? Bem, se estamos lendo os conectivos como os conectivos de LS, podemos aplicar as fórmulas e as tabelas das fórmulas para resolver este problema.

11 Considere a legenda: p : n é primo De acordo com a legenda, a sentença n é primo ou n não é primo é representada por: (p ( p))

12 A tabela desta fórmula é: p ( p) (p ( p)) V F V F V V A fórmula é V em todas as suas interpretações.

13 Em resumo 1. Existem sentenças verdadeiras que possuem um tipo especial de verdade (que chamaremos de sentenças ). 2. são frequentemente utilizadas, quando raciocinamos. 3. Uma sentença é válida quando é V em todas as suas interpretações. 4. Usando as fórmulas e as tabelas de LS podemos reconhecer quando uma sentença é válida.

14 Se n é primo, então n é um fator de n ou 1 n n. Ela oferece uma condição que assumimos ser verdadeira e duas alternativas das quais uma é falsa. Assim, o que resta é a outra alternativa. Para entender o que esta sentença quer dizer, observe que ela tem o mesmo significado que a sentença Se n é primo, então (se 1 n = n, então n é um fator de n).

15 Como podemos ver que duas sentenças, de fato, têm o mesmo significado? Bem, se estamos lendo os conectivos como os conectivos de LS, podemos aplicar as fórmulas e as tabelas das fórmulas para resolver este problema.

16 Considere a legenda: p : n é primo q : n é um fator de n r : 1 n = n De acordo com a legenda, as sentenças ϕ : se n é primo, então n é um fator de n ou 1 n n ψ : se n é primo, então (se 1 n = n, então n é um fator de n) podem ser representadas, respectivamente, como: ϕ : (p (q ( r))) ψ : (p (r q))

17 A tabela de ϕ é: p q r ( r) (q ( r)) (p (q ( r))) V V V F V V V V F V V V V F V F F F V F F V V V F V V F V V F V F V V V F F V F F V F F F V V V

18 A tabela de ψ é: p q r r q (p (r q)) V V V V V V V F V V V F V F F V F F V V F V V V V F V F V V F F V F V F F F V V

19 Comparando T [ϕ] com T [ψ], temos: p q r (p (q ( r))) (p (r q)) V V V V V V V F V V V F V F F V F F V V F V V V V F V F V V F F V V V F F F V V As fórmulas possuem os mesmos valores nas mesmas interpretações.

20 Em resumo 1. diferentes podem ter o mesmo significado (neste caso, diremos que as sentenças são ). 2. Reescrever uma sentença como uma sentença equivalente pode clarificar a informação que ela contém. 3. Duas sentenças são quando possuem os mesmos valores nas mesmas interpretações. 4. Usando as fórmulas e as tabelas de LS, podemos decidir se duas fórmulas são.

21 A prova consiste, essencialmente, em: 1. tomar um número inteiro positivo qualquer n, maior que 1; 2. considerar que n é primo ou n não é primo; 3. no primeiro caso, concluir trivialmente que n possui um fator primo; 4. no segundo caso, explicar pormenorizadamente que, após sucessivas fatorações, podemos concluir que n possui um fator primo.

22 Estrutura geral da prova... n é primo ( n é primo) n é primo n possui um fator primo ( n é primo) n possui um fator primo Logo, n possui um fator primo. Se temos duas alternativas e cada uma delas nos leva à conclusão que estamos buscando, então podemos garantir que a conclusão deve ser verdadeira.

23 Uma estrutura pode ser vista como uma estratégia geral para a elaboração detalhada de uma prova. Depois que escolhemos uma estratégia, tentamos preencher as lacunas de modo a produzir um texto que mostra que a sentença conclusão realmente segue das sentenças que assumimos como premissas.

24 Como podemos ver que a estrutura/estratégia geral de uma prova é realmente adequada? Bem, se estamos lendo os conectivos como os conectivos de LS, podemos aplicar as fórmulas e as tabelas das fórmulas para resolver este problema.

25 Considere a legenda: p : n é primo q : n possui um fator primo De acordo com a legenda, a estrutura/estratégia é representada como: ϕ : (p ( p)) ψ : (p q) θ : (( p) q) γ : q Observe a barra horizontal separando as premissas da conclusão.

26 Observe que, na prova, as premissas da estrutura/estratégia são empregadas como sentenças verdadeiras e a conclusão da estrutura é empregada como uma sentença cuja veracidade é sustentada pela verdade das premissas. Assim, quando perguntamos se a estrutura/estratégia é adequada, perguntamos se a verdade simultânea das suas premissas acarreta a verdade da sua conclusão.

27 Ou seja, se quando passamos da conjunção (verdade simultânea) das premissas para a conclusão, o valor das sentenças não está diminuindo ( passando de V para F ). Em toda prova, partimos das premissas, que assumimos que são V, e chegamos na conclusão, que queremos garantir que é V.

28 A tabela da estrutura/estratégia é: p q ( p) ϕ ψ θ (ϕ ψ) ((ϕ ψ) θ) V V F V V V V V V F F V F V F F F V V V V V V V F F V V V F V F Em todas as interpretações nas quais as premissas são simultaneamente verdadeiras, a conclusão também é verdadeira.

29 Em resumo 1. Podemos usar sequências de sentenças, com premissas e conclusão, para expressar estruturas/estratégias de raciocínio (que chamaremos de argumentos). 2. são frequentemente empregados na justificação de sentenças. 3. Um argumento é válido quando o valor da conclusão não é menor do que o valor da conjunção das suas premissas. 4. Usando as fórmulas e as tabelas de LS, podemos decidir se os argumentos são.

30 conceitos Em resumo, os conceitos necessários para a análise lógica do raciocínio são: 1., ou seja, aquelas que são V em todas as suas interpretações. 2. Pares de sentenças, ou seja, aquelas que possuem os mesmos valores nas mesmas interpretações. 3., ou seja, sequências de sentenças em que uma é destacada como conclusão e as outras são consideradas como premissas. 4., ou seja, aqueles em que, quando a conjunção das premissas é V, a conclusão também é V.

31 e ferramentas Assim, os associados à análise lógica do raciocínio são: 1. Reconhecer as sentenças. 2. Determinar se duas sentenças são. 3. Reescrever sentenças de uma maneira equivalente mais informativa. 4. Determinar se um argumento é válido. A estratégia geral para a aplicação de LS na resolução destes é: 1. representar as sentenças como fórmulas; 2. usar as tabelas das fórmulas para resolver o problema.

32 ferramentas Vamos, agora, estudar um pouco mais profundamente: 1. A representação das sentenças como fórmulas de LS. 2. A aplicação das tabelas de avaliação das fórmulas na resolução dos. Nosso principal objetivo é avaliar o uso que fizemos de LS e, se necessário, modificar o sistema para torná-lo mais amigável, eficiente, abrangente, etc.

33 Exercício 1. Em cada item a seguir, decida se a sentença dada é válida: (i) Não é o caso que se n não é par, então n tem fator primo; ou n é ímpar. (ii) Se n não é quadrado perfeito nem ímpar, então n não é quadrado perfeito ou n é par. 2. Em cada item a seguir, decida se os pares de sentenças dados são pares de sentenças : (i) n não é par nem primo. Não é o caso que n é par ou primo. (ii) n é par e primo. Se n é par, então é primo.

34 Exercício 3. Em cada item a seguir, decida se o argumento dado é válido: (i) Se n não é par, então n não possui um fator primo. Se n não é ímpar, então n não possui um fator primo. Além disso, n é par ou n é ímpar. Logo, n possui um fator primo. (ii) Se n é par, então n não possui um fator primo. Se n é ímpar, então n não possui um fator primo. Além disso, n é par ou ímpar. Logo, n não possui um fator primo.