IME, UFF 10 de dezembro de 2013

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1 Lógica IME, UFF 10 de dezembro de 2013

2 Sumário....

3 Considere o seguinte argumento Um problema de validade (1) p q q r r s s t p t (1) é válido ou não?

4 A resposta é sim... Uma demonstração Uma demonstração da validade de (1) é a seguinte: Demonstração: P 1. p q P 2. q r P 3. r s P 4. s t 1, 2, R1 5. p r 3, 5, R1 6. p s 4, 6, R1 7. p t onde R1 ϕ ψ ψ θ ϕ θ Verifique que R1 é, de fato, uma regra de inferência correta.

5 Demonstrações diretas De maneira geral, podemos dizer que a demonstração anterior foi construída pela execução dos seguintes passos: 1. análise das, 2. aplicação de passos lógicos corretos às para a obtenção de fórmulas intermediárias, 3. aplicação de passos lógicos corretos às e às fórmulas intermediárias para a obtenção da conclusão. Por esta razão, este tipo de demonstração é chamada de demonstração direta.

6 Estratégia geral das diretas Em linhas gerais, a estratégia utilizada nas diretas é a seguinte: parta das e analisando as, através de regras de inferência corretas, chegue na conclusão.

7 Outra solução... parta das e chegue na conclusão. Ou, alternativamente...

8 Olhe para a conclusão Uma outra demonstração da validade de (1) pode ser obtida baseada na seguinte ideia: Esqueça as e note que a conclusão de (1) é uma implicação: ϕ ψ Para mostrar que uma implicação segue de um conjunto de, basta mostrar que, quando assumimos que as são V, a verdade não decresce, quando passamos de ϕ para ψ.

9 Mostrar que a verdade não decresce, quando passamos de ϕ para ψ, é mostrar que, quando assumimos que ϕ é V, temos que ψ é V. Assim, para mostrar a validade do argumento (1), basta mostrar que o seguinte argumento é válido: (2) p p q q r r s s t t A esta altura, não temos nenhuma dificuldade em construir uma demonstração direta da validade de (2).

10 Esboço de demonstração Suponhamos que p q, q r, r s e s t. Além disso, suponhamos que p. De p e p q temos q. De q e q r temos r. De r e r s temos s. De s e s t temos t. Assim, de p q, q r, r s, s t e p podemos concluir t.

11 Observe que... Queríamos demonstrar p t a partir de. Mas, na verdade, demonstramos t a partir de {p}. Para demonstrar a validade de um argumento dado, demonstramos a validade de um outro argumento inventado. O argumento inventado tem uma premissa a mais e uma conclusão mais simples.

12 Considere o argumento Outro problema de validade (3) ( p) r ( t) ( s) r s (p q) (s t) (3) é válido ou não?

13 Para demonstrar basta demonstrar Olhe para a conclusão (p q) (s t) p q s t

14 Olhe para a conclusão, novamente Quando podemos considerar que uma conjunção é consequência de um conjunto de? ϕ ψ Por exemplo, quando assumindo que todas as são V, podemos garantir que ambas ϕ e ψ são V.

15 Olhe para a conclusão, novamente Para demonstrar basta demonstrar (p q) (s t) p q s e p q t

16 Esboço de demonstração de (3) Suponhamos que ( p) r, ( t) ( s) e r s. Além disso, suponhamos que p q. Daí, temos p. De p e ( p) r temos r. De r e r s temos s. De s e ( t) ( s) temos t. Assim, de ( p) r, ( t) ( s), r s e p q, podemos concluir s e também podemos concluir t.

17 Observação Queríamos demonstrar (p q) (s t) a partir de. Na verdade, demonstramos ambas s e t a partir de {p q}. Para demonstrar a validade de um argumento dado, demonstramos a validade de dois outros argumentos inventados. Os argumentos inventados têm, cada um, uma premissa a mais e uma conclusão mais simples.

18 Ainda outro problema de validade Considere o argumento (4) t ( q) ( t) r (s q) (r ( s)) (4) é válido ou não?

19 Para demonstrar basta demonstrar Olhe para a conclusão (s q) (r ( s)) s q r ( s)

20 Olhe para a conclusão, novamente Quando podemos considerar que uma disjunção é consequência de um conjunto de? ϕ ψ Por exemplo, quando assumindo que todas as são V, podemos garantir que ϕ é V.

21 Olhe para a conclusão, novamente Para demonstrar (s q) (r ( s)) basta demonstrar s q r

22 Esboço de demonstração de (4) Suponhamos que t ( q) e ( t) r. Além disso, suponhamos que s q. Daí, temos q. De q e t ( q) temos t. De t e ( t) r temos r. Assim, de t ( q), ( t) r e s q podemos concluir r.

23 Observação Queríamos demonstrar (s q) (r ( s)) a partir de. Na verdade, demonstramos r a partir de {s q}. Para demonstrar a validade de um argumento dado, demonstramos a validade de um outro argumento inventado. O argumento inventado tem uma premissa a mais e uma conclusão mais simples.

24 Regras diretas Nos esboços de acima, aplicamos regras corretas, como: ϕ ϕ ψ ψ, ϕ ψ ϕ, ( ϕ) ( ψ) ψ ϕ que afirmam diretamente que certos argumentos são passos lógicos.

25 Aplicamos, também, estratégias aparentemente corretas, como: (i) Para demonstrar ϕ ψ, basta demonstrar ϕ ψ, (ii) Para demonstrar ϕ ψ, basta demonstrar ambos ϕ e ψ, (iii) Para demonstrar ϕ ψ, basta demonstrar ϕ, que afirmam indiretamente que certos argumentos são válidos.

26 Um passo lógico (ou uma regra de inferência correta) afirma que um certo argumento (ou argumentos que possuem a mesma forma) é válido (são válidos). Uma estratégia indireta é uma regra de outro tipo. Ela não afirma que um certo argumento (ou argumentos que possuem a mesma forma) é válido (são válidos).

27 Uma estratégia indireta afirma, sim, que a validade de certos argumentos A 1, A 2,..., A n (ou de argumentos que possuem a mesma forma) acarreta a validade de outro argumento A (ou de argumentos que possuem a mesma forma). Além disto, para que a estratégia faça sentido, A 1, A 2,..., A n devem ser mais simples (sob um determinado critério de simplicidade) que A.

28 Uma figura de inferência é uma palavra da forma P 1. P m C, onde P 1, P 2,..., P m e C são fórmulas de LS, geradas sobre o conjunto das letras gregas {ϕ, ψ, θ}. Uma estratégia indireta de demonstração é uma implicação se F 1, F 2,..., F n, então F, onde F 1, F 2,..., F n e F são figuras de inferência.

29 Seja corretas se F 1, F 2,..., F n, então F uma estratégia indireta de demonstração. Dizemos que se F 1, F 2,..., F n, então F é correta se, considerando F 1, F 2,..., F n como argumentos, temos que a validade simultânea de F 1, F 2,..., F n acarreta a validade de F.

30 Demonstrações Não vamos, neste momento, apresentar uma definição formal da noção de demonstração indireta. Escrever uma tal definição é uma tarefa razoavelmente complicada e, por esta razão, nos contentamos apenas em apresentar alguns característicos.

31 Um detalhe importante sobre a redação de é que as fórmulas que são acrescentadas como são chamadas de hipóteses e denotadas na demonstração pela letra H.

32 Exemplo 1 A demonstração indireta da validade de (1) é escrita do seguinte modo: Demonstração: P 1. p q P 2. q r P 3. r s P 4. s t H 5. p 1,5,R2 6. q 2,6,R2 7. r 3,7,R2 8. s 4,8,R2 9. t 5 9,E1 10. p t onde R2 ϕ ϕ ψ ψ.

33 Exemplo 1 Neste caso, a estratégia usada foi: E1 Se ϕ ψ, então ϕ ψ.

34 Exemplo 1 No Passo 5, escrevemos H para explicitar que p não é uma premissa. Dizemos que p foi introduzida como hipótese, ou seja, premissa adicional. No Passo 10, escrevemos p t para explicitar que após assumirmos p como hipótese, conseguimos demonstrar t.

35 Exemplo 2 A demonstração indireta da validade de (3) é escrita do seguinte modo: Demonstração: P 1. ( p) r P 2. ( t) ( s) P 3. r s H 4. p q 4,R3 5. p 1,5,R4 6. r 3,6,R2 7. s 2,7,R5 8. t 7,8,E2 9. s t 4 9,E1 10. (p q) (s t) onde R3 ϕ ψ ϕ, R4 ( ϕ) ψ ϕ ψ e R5 ( ϕ) ( ψ) ψ ϕ.

36 Exemplo 2 Neste caso, além de E1, a estratégia usada foi: E2 Se ϕ e ψ, então ϕ ψ.

37 Observações No Passo 4, escrevemos H para explicitar que p q não é uma premissa. No Passo 9, escrevemos s t para explicitar que conseguimos demonstrar s e t. No Passo 10, escrevemos (p q) (s t) para explicitar que após assumirmos p q como hipótese, conseguimos demonstrar s t.

38 Exemplo 3 A demonstração indireta da validade de (4) é escrita do seguinte modo: Demonstração: P 1. t ( q) P 2. ( t) r H 3. s q 3,R6 4. q 1,4,R7 5. t 2,5,R2 6. r 6,E3 7. r ( s) 3 7,E1 8. (s q) (r ( s)) onde R6 ϕ ψ ψ e R7 ϕ ( ψ) ψ ϕ.

39 Exemplo 3 Neste caso, além de E1, a estratégia usada foi: E3 Se ϕ, então ϕ ψ.

40 Observações No Passo 3, escrevemos H para explicitar que s q não é uma premissa. No Passo 7, escrevemos r ( s) para explicitar que conseguimos demonstrar r ( s) a partir de r. No Passo 8, escrevemos (s q) (r ( s)) para explicitar que após assumirmos p q como hipótese, conseguimos demonstrar s t.

41 Método da suposição Para demonstrar uma implicação, basta supor o antecedente e demonstrar o consequente. Se ϕ ψ, então ϕ ψ. Esta estratégia também é chamada de Introdução do.

42 Exemplo 4 a b c a b c d a d

43 Método da conjunção Para demonstrar uma conjunção, basta demonstrar cada componente. Se ϕ e ψ, então ϕ ψ. Esta estratégia também é chamada de Introdução do.

44 Exemplo 5 a b a b b c b c

45 Método da disjunção Para demonstrar uma disjunção, basta demonstrar ao menos um dos componentes. Se ϕ, então ϕ ψ. Se ψ, então ϕ ψ. Estas duas estratégias também são chamadas de Introdução do.

46 Exemplo 6 (a e) f a b c b a d c c d

47 Método da bi-implicação Para demonstrar uma bi-implicação, basta demonstrar duas implicações associadas: uma que demonstra que o primeiro componente acarreta o segundo componente e a outra que demonstra, reciprocamente, que o segundo componente acarreta o primeiro componente. Se ϕ ψ e ψ ϕ, então ϕ ψ. Esta estratégia também é chamada de Introdução do.

48 Exemplo 7 a c c d b d b ( a d) a b

49 Método de redução ao absurdo Para demonstrar uma negação, basta supor a sentença componente e demonstrar uma contradição. Se ϕ ψ ( ψ), então ϕ. Esta estratégia também é chamada de Introdução do ou Redução ao Absurdo Intuicionista.

50 Exemplo 8 a b c a b d d c c

51 Variante do Método de redução ao absurdo Para demonstrar uma fórmula qualquer, basta supor a sua negação e demonstrar uma contradição. Se ϕ ψ ( ψ), então ϕ. Esta estratégia também é chamada de redução ao absurdo clássica.

52 Exemplo 9 a (b c) c d e d a b e

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