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1 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 10 Lógica formal (continuação) Vamos a partir de agora falar de lógica formal, em particular da Lógica Proposicional e da Lógica de Predicados. Todos os argumentos envolvidos são dedutivos. Quando se disser apenas argumento deve entender-se argumento dedutivo. Por que é importante a estrutura de um argumento? Vimos que a todo o argumento corresponde uma estrutura. Por exemplo ao argumento A Lua é cúbica. Se a Lua é cúbica, então os humanos voam. Os humanos voam. corresponde a estrutura, dita Modus Ponens C Se C então H H A estrutura de um argumento é na verdade um esquema de argumentos, ou seja, representa não somente esse argumento, mas sim os infinitos argumentos que lhe correspondem. Outro argumento com a mesma estrutura do anterior é, por exemplo, Portugal é um país. Se Portugal é um país, então tem uma capital. Portugal tem uma capital. A utilidade da estrutura de um argumento é a seguinte: a validade do argumento pode ser avaliada analisando apenas a sua estrutura (ver exercícios resolvidos nas aulas). No sentido de formalizarmos a lógica, i.e., de representarmos os argumentos usando sequências de fórmulas, vamos definir de modo rigoroso o significado de expressões como Se então, Não, E, OU, etc, que usamos para construir proposições. A cada uma delas faremos corresponder um operador lógico.

2 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 11 Operadores Lógicos Operador de Negação NÃO ( ) Seja p uma proposição. A sua negação representa-se por não p. p e lê-se p p : representa a valoração lógica Falsa 1: representa a valoração lógica Verdadeira p :O sol não é uma estrela [falsa] Operador de Conjunção E () Sejam p e q duas proposições. A sua conjunção representa-se por p q e lê-se p e q. p q p q q : A lua é relvada [falsa] p q : O sol é uma estrela e a lua é relvada [falsa] Operador de Disjunção OU inclusivo ( ) Sejam p e q duas proposições. A sua disjunção representa-se por p q e lê-se p ou q.

3 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 12 p q p q q : A lua é relvada [falsa] p q :O sol é uma estrela ou a lua é relvada [verdadeira] Operador de Implicação Material ( ) Sejam p e q duas proposições. A proposição p q lê-se p implica q, ou q é consequência de p, ou Se p então q. p q p q q : A lua é relvada [falsa] p q :Se o sol é uma estrela então a lua é relvada [falsa] Operador de Equivalência Material ( ) Sejam p e q duas proposições. A proposição p q lê-se p se e somente se q (que é costume abreviar escrevendo p sse q ), ou p é equivalente a q. p q p q

4 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 13 q : A lua é relvada [falsa] p q : O sol é uma estrela sse a lua é relvada [falsa] Avaliação de proposições Proposição simples. É toda a proposição representada por uma só letra, por exemplo p. Proposição composta. É toda a proposição que envolve proposições simples (letras) e operadores lógicos, por exemplo p e q p. Quando dizemos proposição poderemos estar a referir-nos tanto a uma proposição simples como a uma proposição composta. Representamos as proposições por letras minúsculas. Sem embargo do que foi dito acima, uma só letra pode também ser usada para designar uma proposição composta. Por exemplo, podemos usar a letra p para representar a proposição r s, devendo entender-se p como uma abreviatura (i.e., designação logicamente equivalente, mas mais curta) da expressão r s. Isto não causa confusões. No discurso corrente também é comum usarmos uma só palavra para designar [i.e., dar um nome] a uma sequência de outras palavras. Por exemplo, a palavra Bíblia designa a sequência de palavras que constituem o livro que funda a religião católica. Exercício Solução Considere as seguintes frases em português. s : Os gatos têm guelras. t : A lua é cúbica. u: Os humanos são bípedes. Escreva frases em português correspondentes às proposições seguintes 1. t ~ u s 2. ~ s u t 3. t ~ u s 1. Se a lua é cúbica e os humanos não são bípedes, então os gatos têm guelras. 2. Se os gatos não tiverem guelras então os humanos são bípedes ou a lua é cúbica, e vice-versa.

5 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 14 (alternativa) Se os gatos tiverem guelras então os humanos não são bípedes e a lua não é cúbica, e vice-versa. 3. Se a lua é cúbica então os humanos são bípedes ou os gatos têm guelras. Para conhecermos o valor lógico de uma proposição composta em função dos valores lógicos das proposições simples que a compõem, podemos usar tabelas de verdade. de uma proposição, é um quadro em que se exprimem os valores lógicos dessa proposição em função dos valores lógicos das variáveis proposicionais (as letras) envolvidas, considerando para tal todos os valores lógicos possíveis destas. Vamos usar tabelas de verdade para resolver o exercício anterior. Vamos verificar que as expressões s u t e s u t têm os mesmos valores lógicos para cada terno de valores lógicos assumidos pelas variáveis s, t, u, s u t. e são ambas negações de Estas conclusões podem ser tiradas da observação das colunas 4, 6 e 7 da tabela seguinte. s t u s u t (4) (6) (7) s u t u t s u t s u t Tautologia. Proposição composta cuja coluna na tabela de verdade só contém 1s (proposição sempre verdadeira). O símbolo T designa uma tautologia. A proposição p q p é uma tautologia.

6 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 15 p q q p p q p Contradição. Proposição composta cuja coluna na tabela de verdade só contém zeros (proposição sempre falsa). O símbolo designa uma contradição. A proposição p p é uma contradição. p p p p Contingência. Proposição composta cuja coluna na tabela de verdade contém 0s e 1s. A proposição s u t é uma contingência. Equivalência Lógica. Leis da Lógica Proposições logicamente equivalentes. São proposições compostas, p e q, tais que p q é uma tautologia. Escreve-se p q. Às expressões logicamente equivalentes correspondem colunas iguais nas tabelas de verdade. [O símbolo é usado para representar equivalência lógica, enquanto é usado para representar equivalência material. A diferença é que p q só se escreve quando p q é uma tautologia, ao passo que p q se escreve independentemente dos valores lógicos de p e q.] As proposições s u t e s u t são logicamente equivalentes.

7 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 16 Exercício Verificar a equivalência lógica das proposições. a. p q p q b. p q q p c. p q p q Solução p q p p q p q q q p p q p q Leis da lógica. Cada lei da lógica representa uma equivalência lógica. As leis da lógica representam propriedades dos operadores lógicos. ALGUMAS LEIS DA LÓGICA 1. p p Lei da dupla negação 2. p q p q Leis de De Morgan p q p q 3. p q q p Leis comutativas p q q p 4. p q r p q r Leis associativas p q r p q r 5. p q r p q p r Leis distributivas p q r p q p r 6. p p p Leis de idempotência p p p 7. p T T Leis de dominação p 8. p p q p Leis de absorção p p q p 9. p p Leis de identidade p T p 10. p p T Leis de inversão p p

8 Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 17 Exercícios 1. Utilizar tabelas de verdade para verificar estas leis. 2. Negar e simplificar a proposição p q r. Solução p q r p q r p q r, usando um a lei de D e M organ p q r, usando a lei da dupla negação Implicação lógica. Avaliação de argumentos Implicação lógica. Se p e q são proposições compostas e p q é uma tautologia, então dizemos que p implica logicamente q (ou que q é consequência lógica de p). Escreve-se p q. [O símbolo é usado para representar implicação lógica, enquanto é usado para representar implicação material. A diferença é que p q só se escreve quando p q é uma tautologia, ao passo que p q se escreve independentemente dos valores lógicos de p e q] Podemos escrever argumentos válidos sob a forma de implicações lógicas. Se uma sequência de proposições p 1,p 2,, p n, representa um argumento válido com premissas verdadeiras, sendo p n a conclusão, então o argumento pode escrever-se na forma p 1 p 2 p n 1 p uma vez que se as premissas são n verdadeiras também o são as expressões p 1 p 2 p n e 1 p. n Esta notação sugere um processo para verificarmos se um argumento é válido usando tabelas de verdade. Basta escrevermos o argumento na forma p 1 p 2 p n 1 p, construirmos a tabela de verdade desta proposição e n verificarmos se é ou não uma tautologia. Se for, então estamos perante um argumento válido. Se não for, então estamos perante um argumento inválido (também designado por falácia).

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