n. 16 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA ou DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL

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1 n. 16 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA ou DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL Para demonstrar a validade de um argumento podemos utilizar outro método, conhecido como Demonstração condicional. Esta demonstração, todavia, só pode ser usada se a conclusão do argumento tem a forma condicional. Seja o argumento: P 1, P 2, P 3,, P n A B cuja conclusão é a condicional A B Sabemos que este argumento é válido se e somente se a condicional associada (P 1 P 2 P 3 P n ) (A B) é tautológica. Ora, pela Regra de Importação, esta condicional associada é equivalente a seguinte: [ (P 1 P 2 P 3 P n ) A ] B Assim sendo, o argumento P 1, P 2, P 3,, P n A B é válido se e somente se também é válido o argumento: P 1, P 2, P 3,, P n, A cujas premissas são todas aquelas do primitivo argumento, mais uma, A, e cuja conclusão é B (observa-se que A e B são respectivamente o antecedente e o consequente da conclusão do primitivo argumente). B REGRA DC DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL:

2 Para demonstrar a validade de um argumento, cuja conclusão tem a forma condicional A B, introduz-se A como premissa adicional (indicada por PA) e deduz-se B. EXEMPLO: 1. Demonstre a validade dos seguintes argumentos usando a regra DC demonstração condicional: a. p (q r), ~r q p 1. p (q r) P 1 2. ~r P 2 3. q PA 4. p (~ q r) 1: COND 5. ~r q 2, 3: CONJ 6. p ~ ( q ~r) 4: DM 7. ( q ~r) 5: COM 8. p 6, 7: SD

3 b. ~p ~q r, s (r t), ~p s, ~s q t 1. ~p (~q r) P 1 2. s (r t) P 2 3. ~p s P 3 4. ~s P 4 5. q PA 6. ~~p (~q r) 1: COND 7. p (~q r) 6: DN 8. s (~r t) 2: COND 9. ~p 3, 4: SD 10. ~r t 4, 8: SD 11. ~q r 7, 9: SD 12. r 5, 11: SD 13. t 10, 12: SD DEMONSTRAÇÃO INDIRETA ou DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO Outro método frequentemente empregado para demonstrar a validade de um dado argumento: P 1, P 2, P 3,, P n chamado de Demonstração Indireta ou Demonstração por absurdo consiste em admitir a negação da conclusão Q, isto é, supor ~Q verdadeira, e daí deduzir logicamente uma contradição qualquer C (do tipo A ~A) a partir das premissas P 1, P 2, P 3,, P n, ~Q isto é, demonstrar que é válido o argumento: Q

4 P 1, P 2, P 3,, P n, ~Q C REGRA DI DEMONSTRAÇÃO INDIRETA OU DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO Para demonstrar a validade do argumento introduz-se ~ Q como premissa adicional (indicada por PA) e deduz-se uma contradição C ( do tipo A ~A). EXEMPLO: 1. Demonstre a validade dos seguintes argumentos usando a regra DI (Demonstração Indireta). a. p ~q, r q ~(p r) Por DI: Q = ~(p r) = ~p ~r ~Q = PA = ~[ ~p ~r] = p r 1. p ~q P 1 2. r q P 2 3. p r PA 4. p 3: SIMP 5. ~q 1, 4: MP 6. ~ r 2, 5: MT 7. r 3: SIMP 8. ~r r 6, 7: CONJ Temos uma contradição ~ r r, portanto, o argumento p ~q, r q ~(p r) é válido.

5 b. ~ p q, ~q r, ~r p s Por DI: Q = p s ~Q = PA = ~(p s) = ~ p ~s 1. ~ p q P 1 2. ~q r P 2 3. ~r P 3 4. ~ p ~s PA 5. ~(~ p) q 1: COND 6. p q 5: DN 7. ~q 2, 3: SD 8. p 6, 7: SD 9. ~ p 4: SIMP 10. p ~p 8, 9: CONJ Temos uma contradição p ~p, portanto, o argumento ~ p q, ~q r, ~r p s é válido. c. ~ p q, ~q, ~r s, ~p (s ~t) t r Por DI: Q = t r ~t r ~Q = PA = ~( ~t r) = t ~r 1. ~ p q P 1 2. ~q P 2 3. ~r s P 3 4. ~p (s ~t) P 4 5. t ~r PA

6 6. t 5: SIMP 7. ~r 5: SIMP 8. s 3, 7: MP 9. ~~ r s 3: COND 10. r s 9: DN 11. r 8, 10: SD 12. ~ r r 7, 11: CONJ Temos uma contradição ~ r r, portanto, o argumento ~ p q, ~q, ~r s, ~p (s ~t) t r é válido. EXERCÍCIOS: 1. Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições são inconsistentes deduzindo uma contradição para cada um deles: a) q p, ~(p r), q r b) p ~ q, ~(q r), p r c) ~(p q), ~q r, ~r s, ~p ~s d) p s q, q ~r, t p, t r e) x = y x < 4, x 4 x < z, ~( x< z x y) f) x = 0 x + y = y, x > 1 x = 0, x + y = y x 1 g) x = y x < z, x z (x = y y < z), y < z x < z h) x < y x y, y > z z y, x = y y > z, x < y z < y

7 2. Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições são consistentes: a) p q, q r, ~r s b) p q, ~q r, p r c) ~p ~q, ~p r, ~r d) p q, r q, q ~s e) x = y x y, x, y x = y, x y x < y f) x = 2 x = 3, x 2 x 3 3. Usar a Regra DC (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: a) ~r ~s, q s r ~q b) p ~q, ~(r ~p) q ~r c) r t, t ~s, ( r ~s) q p p q d) p q, r p, s r s q e) ~p, ~r q, ~s p ~( r s) q f) p ~q, ~r q, ~s ~q p ~s r g) ~p ~s, q ~r, t s r t ~( p q) h) r s, s q, r ( s p) ~q p s i) r s, ~t ~p, r ~q p q s t j) r p, s t, t r s p q k) q p, t s, q ~s ~( p r) t l) p q r, s ~r ~t, s u p u

8 m) p q, r t, s r, p s ~q t n) p q, ~r ~q ~p ~r o) ~p ~q, p (r s) q s p) p q ~r ~s, r s p ~q q) p q, p ~r, ~s t r ~s q r) (p q) r, s t ~r, s (t u) p q s) (p q) ~(r ~s), s t u, ~u r t t) p ~q, q, r ~s, p (~s t) ~t ~r 4. Usar a Regra DI (Demonstração Indireta) ou Demonstração por Absurdo para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: a) ~(p q), p r, q ~r ~p b) p ~q, r ~p, q r ~p c) ~(p q), ~r q, ~p r r d) p q r, q ~p, s ~r ~( p s) e) p q, p ~r, q s ~r s f) p q, s ~p, ~(q r) ~s g) p ~q, q v ~r, ~(s ~r) ~p h) ~p ~q, ~p r, r ~s ~q ~s i) p q ~r, ~r ~p, ~q ~r q j) ~p ~q, r s p, q ~s, ~r ~(r s) k) p q r, ~r, s p ~s

9 l) (p q) r, s t ~r, s (t u) p q m) p q, q r s, ~s ~p n) (p q) r, r s ~ t, t ~q o) (p q) (r s), ~ q p s p) p q, q s, t ( r ~s) p t q) ~p ~q r, s (r t), p s, ~ s q t r) ~(p q) (s ~r), q s, p ~s ~r ~s s) (~p q) (r s), p t v ~s, r, ~t q t) (p q) (r s t), p q r, r, ~t ~s u) ~(p ~q) ((r s) t), p. q, ~t r s Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, BENEVIDES. Paula Francis. Raciocínio Lógico. Disponível em: < Acesso em: 06 abr