Dedução Natural para Lógica Proposicional

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1 Dedução Natural para Lógica Proposicional Matemática Discreta I Rodrigo Ribeiro Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Universidade de Federal de Ouro Preto 11 de dezembro de 2012

2 Motivação (I) Considere as seguintes sentenças: Se o Brasil vencer a Argentina então haverá festa. O Brasil venceu a Argentina. Note que... A partir das sentenças anteriores, podemos deduzir que haverá uma festa.

3 Motivação (II) Formalizando deduções As frases anteriores poderiam ser representadas como: A B A Questão: Como concluir B partir dessas fórmulas?

4 Motivação (III) Formalizando deduções Note que sempre que se A B e A forem verdadeiros, B também o é de acordo com o signicado da tabela verdade para implicação. A B A B

5 Motivação (IV) Formalizando deduções Neste caso dizemos que B é uma consequência lógica de A B e A.

6 Motivação (V) Consequência Lógica Dizemos que uma fórmula Q é consequência lógica de um conjunto de fórmulas P 1, P 2,..., P n, se sempre que as fórmulas P 1, P 2,..., P n são verdadeiras a fórmula Q é verdadeira. Representamos que Q é consequência lógica de um conjunto de fórmulas P 1, P 2,..., P n por P 1, P 2,..., P n = Q.

7 Motivação (VI) Consequência Lógica = Q. basta Para mostrar que P 1, P 2,..., P n construir tabelas verdade para cada uma destas fórmulas e se sempre que o valor lógico de cada P i, 1 i n, for igual a, temos que o valor lógico de Q também o é. Problema: o mesmo quando utilizamos tabelas verdade: considerar até 2 n casos...

8 Motivação (VII) Formalizando a dedução Mas, não estamos interessados em calcular uma tabela verdade. Queremos somente saber quando uma fórmula é dedutível a partir de outras. De preferência, sem termos que calcular uma tabela verdade...

9 Motivação (VIII) Dedução Natural Conjunto de regras de inferência que permitem deduzir uma fórmula a partir de outras. Sejam A, B e C fórmulas quaisquer. Representamos que C é dedutível a partir de A e B da seguinte maneira: A B C A e B são premissas e C a conclusão.

10 Denições (II) Sequente Q é chamada de A notação P 1, P 2,..., P n sequente e seu signicado é que Q pode ser inferido a partir de P 1, P 2,..., P n usando as regras da dedução natural.

11 Dedução Natural (I) Dedução Natural Cada conectivo da lógica possui pelo menos duas regras: Uma para introduzir o conectivo, que usam subfórmulas que serão unidas pelo conectivo introduzido. Estas subfórmulas serão as premissas da regra. Uma (ou mais...) regras para eliminar o conectivo. Neste caso a premissa é uma fórmula que possui o conectivo a ser eliminado.

12 Dedução Natural (II) Dedução Natural O conjunto de regras da dedução natural é formado por: A constante. E os conectivos, e. Mas e a constante e os conectivos e? São abreviações... = a = a a b = (a b) (b a)

13 Dedução Natural (III) Regras para o Conectivo Introdução: Eliminação: A B A B ( I ) A B A ( E E ) A B B ( E D )

14 Dedução Natural (IV) Exemplos Teorema 1. P, Q P Q Prova: P Q P Q ( I )

15 Dedução Natural (V) Exemplos Teorema 2. R S, P (R S) P Prova: R S P (R S) P ( I )

16 Dedução Natural (VI) Exemplos Teorema 3. P, Q, R (P Q) R Prova: P Q P Q ( I ) R ( I ) (P Q) R

17 Dedução Natural (VII) Exemplos Teorema 4. P, Q R Prova: P P Q Q R Q ( E E ) (P Q) ( I )

18 Dedução Natural (VIII) Exemplos Teorema 5. (P Q) R R Q Prova: (P Q) R R ( E D ) R Q (P Q) R ( E E ) P Q Q ( E D) ( I )

19 Dedução Natural (IX) Regras para o Conectivo Introdução: A B A B ( I ) Eliminação: A B B A ( E)

20 Dedução Natural (X) Regra de Introdução do Conectivo A regra para introdução de : A B A B ( I ) Esta regra diz que podemos concluir A B se obtivermos uma prova de B utilizando A como uma suposição.

21 Dedução Natural (XI) Um Primeiro Exemplo Simples... Teorema 6. (P Q) P Prova: P Q 1 ( E) P ( I )1 (P Q) P

22 Dedução Natural (XII) Exemplos Teorema 7. Q P, P Q R Prova: R (P Q) R Q P P R ( E D ) P Q Q P Q ( E E ) ( I ) ( E)

23 Dedução Natural (XIII) Exercícios 1 A B, B C A C 2 A B C (A B) C 3 (A B) C A (B C) 4 A B B A 5 P Q, R S, P R Q S

24 Dedução Natural (XIV) Regras para o Conectivo Introdução A A B ( I E ) B A B ( I D) Eliminação A B A C B C C ( E)

25 Dedução Natural (XV) Exemplos Teorema 9: P Q P Q Prova P Q ( E E ) P P Q ( I E )

26 Dedução Natural (XVI) Exemplos Teorema 10: P P Prova P 1 P ( I D) ( I )1 P P

27 Dedução Natural (XVII) Exemplos Teorema 11: (P Q) (P R) P Prova: (P Q) (P R) P Q 1 P P ( E E ) P R 1 P ( E) 1 ( E E )

28 Dedução Natural (XVIII) Exemplos Teorema 12: (A B) (A C) B C Prova (A B) (A C) A B 1 ( E D ) A C 1 ( E D ) B B C ( I E ) C B C ( I D) B C ( E) 1

29 Dedução Natural (XIX) Regra Identidade Simplesmente arma que a partir de uma fórmula A, que sabemos ser verdadeira, podemos concluir A. A A (ID)

30 Dedução Natural (XX) Exemplo Teorema 13: Prova: 1 (ID) ( I )1 Lembre-se: =!

31 Dedução Natural (XXI) Contradição Expressa a inutilidade de hipótese falsa. A (CTR)

32 Dedução Natural (XXII) Regra: Reduction ad Absurdum Regra baseada na chamada lei do terceiro excluído. Se a partir de A você deduzir, então A deve ser verdadeiro. A A (RAA)

33 Dedução Natural (XXIII) Exercícios 1 A B, A B 2 A B, B A 3 A A 4 Q ((P R) (R Q))

34 Dedução Natural (XXIV) Dedução Natural Com o conjunto de regras apresentado, podemos provar qualquer sequente envolvendo fórmulas da lógica proposicional. Agora é praticar...