Demonstrações. Terminologia Métodos
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- André Angelim Garrau
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1 Demonstrações Terminologia Métodos
2 Técnicas de Demonstração Uma demonstração é um argumento válido que estabelece a verdade de uma sentença matemática.
3 Técnicas de Demonstração Demonstrações servem para: Verificar se uma determinada implementação está correta. Estabelecer se sistemas de operações são seguros Mostrar se sistemas de especificações são consistentes
4 Técnicas de Demonstração Uma demonstração é um argumento válido que estabelece a verdade de um teorema. Teorema: é uma sentença que se pode demonstrar que é verdadeira. Corolário: é um teorema que pode ser estabelecido diretamente de um teorema que já foi demonstrado. Lema: teoremas menos importantes que nos ajuda em outras demonstrações. Conjectura: é uma sentença que inicialmente é proposta como verdadeira, usualmente com base em alguma evidência parcial.
5 Técnicas de Demonstração Um teorema é uma proposição do tipo: p q a qual, prova-se, é verdadeira sempre que: p q Se x>y, em que x e y são números reais positivos, então x 2 > y 2 Para todos os números reais positivos x e y, se x>y então x 2 > y 2
6 Técnicas de Demonstração A (B U C) = (A B) U (A C) Hipótese Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então A (B U C) = (A B) U (A C) Tese
7 Técnicas de Demonstração Para teoremas do tipo p q Prova Direta Prova por Contraposição Prova por Redução ao Absurdo ou simplesmente Prova por Absurdo Prova por Indução
8 Prova Direta Pressupõe verdadeira a hipótese e, a partir desta, prova ser verdadeira a tese. Hipótese verdadeira e tese falsa nunca deve ocorrer
9 Prova Direta 1. Assumir que a hipótese é verdadeira. 2. Mostrar que a tese também é verdadeiro usando: 1. Lemas, definições e teoremas 2. Regras de inferência Exemplo: Se A, B e C são conjuntos quaisquer então A (B U C) = (A B) U (A C)
10 Prova Direta Lembrando: Por definição X = Y se e somente se X Y e Y X Por definição, X Y se e somente se todos os elementos de X também são elementos de Y
11 Prova Direta Teorema: Se A, B e C são conjuntos quaisquer então A (B U C) = (A B) U (A C) Temos que provar que A (B U C) (A B) U (A C) (A B) U (A C) A (B U C) Por definição X = Y se e somente se X Y e Y X
12 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) Como provar? Por definição, X Y se e somente se todos os elementos de X também são elementos de Y
13 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) Suponha x A (B U C). x A (B U C) definição de intersecção x A e x (B U C) => definição de união x A e ( x B ou x C) => distributividade sobre e/ou (x A e x B) ou (x A e x B) => definição intersecção x (A B) ou x (A C)=> definição de união x (A B) U (A C)
14 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) x A (B U C) definição de intersecção x A e x (B U C) definição de união x A e ( x B ou x C) => distributividade sobre e/ou (x A e x B) ou (x A e x B) => definição intersecção x (A B) ou x (A C)=> definição de união x (A B) U (A C)
15 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) x A (B U C) definição de intersecção x A e x (B U C) definição de união x A e ( x B ou x C) distributividade sobre e/ou (x A e x B) ou (x A e x B) => definição intersecção x (A B) ou x (A C)=> definição de união x (A B) U (A C)
16 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) x A (B U C) definição de intersecção x A e x (B U C) definição de união x A e ( x B ou x C) distributividade sobre e/ou (x A e x B) ou (x A e x C) definição intersecção x (A B) ou x (A C)=> definição de união x (A B) U (A C)
17 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) x A (B U C) definição de intersecção x A e x (B U C) definição de união x A e ( x B ou x C) distributividade sobre e/ou (x A e x B) ou (x A e x C) definição intersecção x (A B) ou x (A C) definição de união x (A B) U (A C)
18 Prova Direta A (B U C) (A B) U (A C) x A (B U C) definição de intersecção x A e x (B U C) definição de união x A e ( x B ou x C) distributividade sobre e/ou (x A e x B) ou (x A e x C) definição intersecção x (A B) ou x (A C) definição de união x (A B) U (A C) CQD
19 Relembrando o teorema Teorema: Se A, B e C são conjuntos quaisquer então A (B U C) = (A B) U (A C) Temos que provar que A (B U C) (A B) U (A C) (A B) U (A C) A (B U C) OK Por definição X = Y se e somente se X Y e Y X
20 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) Suponha x (A B) U (A C)
21 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) x (A B) U (A C) definição de união x (A B) ou x (A C) definição de intersecção ( x A e x B) ou ( x A e x C) distributividade sobre e/ou x A e (x B ou x C) definição união x A e x (B U C) definição de intersecção x A (B U C)
22 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) x (A B) U (A C) definição de união x (A B) ou x (A C) definição de intersecção ( x A e x B) ou ( x A e x C) distributividade sobre e/ou x A e (x B ou x C) definição união x A e x (B U C) definição de intersecção x A (B U C)
23 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) x (A B) U (A C) definição de união x (A B) ou x (A C) definição de intersecção ( x A e x B) ou ( x A e x C) distributividade sobre e/ou x A e (x B ou x C) definição união x A e x (B U C) definição de intersecção x A (B U C)
24 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) x (A B) U (A C) definição de união x (A B) ou x (A C) definição de intersecção ( x A e x B) ou ( x A e x C) distributividade sobre e/ou x A e (x B ou x C) definição união x A e x (B U C) definição de intersecção x A (B U C)
25 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) x (A B) U (A C) definição de união x (A B) ou x (A C) definição de intersecção ( x A e x B) ou ( x A e x C) distributividade sobre e/ou x A e (x B ou x C) definição união x A e x (B U C) definição de intersecção x A (B U C)
26 Prova Direta (A B) U (A C) A (B U C) x (A B) U (A C) definição de união x (A B) ou x (A C) definição de intersecção ( x A e x B) ou ( x A e x C) distributividade sobre e/ou x A e (x B ou x C) definição união x A e x (B U C) definição de intersecção x A (B U C)
27 Prova por Contraposição p q ~q ~p Exemplo: Para todos os números Naturais n, se n! > (n+1) então n>2
28 Prova por Contraposição p q ~q ~p Exemplo: Para todos os números Naturais n, se n! > (n+1) então n>2 Demonstrar o equivalente: n! > (n+1) n>2 n 2 n! n+1
29 Prova por Contraposição p q ~q ~p Exemplo: Para todos os números Naturais n, se n! > (n+1) então n>2 Demonstrar o equivalente: n! > (n+1) n>2 n 2 n! n+1 Basta testar os caso n=0, n=1 e n=2
30 Prova por Redução ao Absurdo Quando p q consiste em supor a hipótese p, supor a negação da tese ~q e concluir por contradição. Prova por contra exemplo ou por contradição
31 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 3n+2 é impar n é impar p q
32 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 3n+2 é impar n é impar 1. Assumir que p e ~q são verdadeiras 3n+2 é impar n é par
33 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par (p~q) Por definição, se n é par então existe um inteiro k tal que n=2k.
34 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par Por definição, se n é par então existe um inteiro k tal que n=2k. Isso implica que!!!!
35 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par Por definição, se n é par então existe um inteiro k tal que n=2k. 3n+2 = 3(2k)+2
36 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k + 2 = 2 (3k+1) = 2 t onde t=(3k+1) logo 3n+2 é par
37 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k + 2 = 2 (3k+1) = 2 t onde t=(3k+1) logo 3n+2 é par 2. Encontramos que ~p é verdadeiro
38 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k + 2 = 2 (3k+1) = 2 t onde t=(3k+1) logo 3n+2 é par 2. Encontramos que ~p é verdadeiro 3. Em 1. assumi que p é verdadeiro, contradição p ^ ~p
39 Prova por Absurdo Se 3n+2 é impar, então n é impar. 1. 3n+2 é impar e n é par 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k + 2 = 2 (3k+1) = 2 t onde t=(3k+1) logo 3n+2 é par 2. Encontramos que ~p é verdadeiro 3. Contradição p ^ ~p. Logo ~q é falso e n é impar.
40 Indução O princípio da indução matemática é um técnica para lidar com tipos de dados que têm uma relação de boa ordem, isto é, uma relação onde todo subconjunto não vazio do tipo de dado tem um elemento mínimo segundo essa relação de ordem.
41 Indução Base da indução: a proposição p(m) Hipótese de indução: a proposição p(k) Passo de indução: a implicação p(k) => p(k+1)
42 Prova Indutiva Teorema: Para qualquer n N, vale que n! = (n 2 +n)/2
43 Prova Indutiva Teorema: Para qualquer n N, vale que Σi, 0 i n = (n 2 +n)/2 Prova Base de Indução Seja k = 0. 0 = (0 2 +0)/2 0 = 0/2 Portanto, p(0) é verdadeira.
44 Prova Indutiva Hipótese de Indução: Suponha que, para algum k N, Σi, 0 i k = (k 2 +k)/2 é verdadeira.
45 Prova Indutiva Passo da Indução: Provar para p(k+1) ou seja Σi, 0 i k+1) = ((k+1) 2 +(k+1))/ k+ (k+1) = ((k+1) 2 +k+1)/2
46 Prova Indutiva Σi, 0 i k+1) = = k+(k+1) = ( k)+(k+1) pela hipótese indutiva = (k 2 +k)/2+(k+1) = (k 2 +k)/2+(2k+2)/2 = (k 2 +k+2k+2)/2 = ((k 2 +2k+1)+(k+1))/2 = ((k+1) 2 +(k+1))/2 Logo: p(k+1):(k+1)! = ((k+1) 2 +k+1)/2 é verdadeira.
47 Erros nas Demonstrações Os erros mais comuns são erros em aritmética e álgebra básica.
48 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado Multiplicar ambos os membros por a
49 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a Subtrair b 2 de ambos os lados
50 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 Fatorar ambos os lados
51 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 4. (a-b)(a+b) = b(a-b) fatorar dividir ambos os lados por (a-b)
52 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 4. (a-b)(a+b) = b(a-b) fatorar 5. a+b = b /(a-b) Substituir a por b
53 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 4. (a-b)(a+b) = b(a-b) fatorar 5. a+b = b /(a-b) 6. 2b = b a=b Dividir por b
54 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 4. (a-b)(a+b) = b(a-b) fatorar 5. a+b = b /(a-b) 6. 2b = b a=b 7. 2 = 1 /b
55 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 4. (a-b)(a+b) = b(a-b) fatorar 5. a+b = b /(a-b) 6. 2b = b a=b 7. 2 = 1 /b
56 1 = 2 Seja a,b dois inteiros positivos Passo Razão 1. a=b dado 2. a 2 = ab x a 3. a 2 - b 2 = ab - b 2 - b 2 4. (a-b)(a+b) = b(a-b) fatorar 5. a+b = b /(a-b) 6. 2b = b a=b 7. 2 = 1 /b (a-b)=0 sendo assim não podemos fazer a divisão
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