2013/1S EP33D Matemática Discreta Avaliação 01

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1 013/1S EP33D Matemática Discreta Avaliação 01 Data: 10/07/013 Início: 13h00min Duração: 03 aulas h30min) OBSERVAÇÕES: i) a prova é individual; ii) qualquer forma de consulta não autorizada acarretará no recolhimento imediato da prova e atribuição de nota zero; iii) questões incompletas serão desconsideradas; iv) a interpretação das questões, o respeito à notação matemática/rigor científico e a claridade/organização na exposição fazem parte da avaliação; v) formulários, quando permitidos, serão anexados à prova e avaliados; Nome: GABARITO Nota: Problema 01 [0,50] Qual é a negação das seguintes proposições? Existe um político honesto. Todos os brasileiros comem churrasco. As negações aqui referem-se às negações das proposições xpx) e xpx). Assim, se P: Existe um político honesto., P pode ser dada por Não existe um político honesto., ou Todos os políticos não são honestos. ou, ainda, Todos os políticos são desonestos.. Note que Existe um político desonesto. não é a negação complementar lógica) de P. Agora, se Q: Todos os brasileiros comem churrasco., Q é dada por Existe um brasileiro que não come churrasco. ou Nem todos os brasileiros comem churrasco.. Note que Brasileiros não comem churrasco. não é a negação de Q. Problema 0 [0,75] Demonstre a equivalência lógica que representa a propriedade distributiva da disjunção sobre a conjunção: p q r) p q) p r). A demonstração da equivalência lôgica pode ser feita pela construção da tabela-verdade das duas proposições: p q r q r p q r) p q p r p q) p r) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F Como as duas proposições, P: p q r) e Q: p q) p r) assumem valores lógicos idênticos para todas as configurações das variáveis lógicas p, q e r isto é, as duas colunas são iguais), P Q. Problema 03 [0,75] Mostre que a demonstração por contraposição é um argumento válido: p q) q p). A verificação de que um argumento é válido pode ser dada pela tabela-verdade: p q P:p q q p Q: q p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Vemos que toda vez que a premissa P assume o valor lógico V, a conclusão Q é também verdadeira. Assim, P Q é um argumento válido. 1

2 Problema 0 [1,00] Demonstre que há um par de números inteiros consecutivos, tal que um desses números inteiros é um quadrado perfeito e o outro, um cubo perfeito. Esta é uma demonstração de existência construtiva, pois encontraremos um exemplo de dois inteiros consecutivos tal que um deles seja um quadrado perfeito e o outro, um cubo perfeito. Os primeiros quadrados perfeitos são 1 1, e 93, enquanto que os primeiros cubos perfeitos são 11 3,8 3, Assim, verificamos diretamente que 8 e 9 são dois números inteiros consecutivos, sendo 8 um cubo perfeito e 9 um quadrado perfeito. Problema 05 [1,00] Demonstre, por contradição, que se 3n+ é ímpar, então n é ímpar.. Uma demonstração por contradição consiste em verificar que a negação da proposição resulta em uma contradição um absurdo). Assuma, portanto, que se 3n+ é ímpar, então n é par. Pela definição, se um número k é ímpar, então existe um inteiro m tal que km+1. Assim, se 3n+ é ímpar, existe um m inteiro tal que 3n+m+1 3nm 1m 1)+1 3nl+1 em que lm 1 é um inteiro. Assim, se 3n+ é ímpar, 3n é ímpar. Mas note que 3+1 é ímpar e o produto de um número ímpar ja+1 por um par tb é sempre par j.ta+1)b)ab+bab+)s. sab+) Assim, se n for par, 3n deve ser par, o que contraria a hipótese de 3n + ser ímpar. Portanto, dado que 3n + é ímpar, n deve ser ímpar. Problema 06 [1,50] Demonstre que as seguintes sentenças sobre o número inteiro n são equivalentes: n é par, n é par e n+1 é ímpar. A equivalência entre três proposições p 1, p e p 3 pode ser demonstrada verificando-se p 1 p, p p 3 e p 3 p 1. Nesse caso, fazemos p 1 : n é par ou, equivalentemente, k Z,nk; p : n é par ou, equivalentemente, j Z,n j; p 3 : n+1 é ímpar ou, equivalentemente, i Z,n+1i+1. Demonstremos agora, por demonstração direta, as condicionais que definem a equivalência lógica entre as proposições: p 1 p : Se nk, então n k) k k ). Como k j é um inteiro, está demonstrado que p 1 p. p p 3 : Seja n j. Como n não pode ser ±1 pois ±1) 1 é ímpar), considere a fatoração n+1)n 1)n 1j 1j 1)+1s+1 em que sj 1 é um inteiro. Vemos que n+1)n 1) é um número ímpar. Uma vez que o produto de dois números pares é par, assim como o produto de um ímpar por um par, é necessário que ambos n + 1 e n 1 sejam ímpares. Assim, n+1 é ímpar e p p 3. p 3 p 1 : Se n+1i+1 é direto que ni, isto é, n é par e, portanto, p 3 p 1. Assim, como p 1 p p 3 p 1, todas as proposições são equivalentes.

3 ) nn+1) Problema 07 [1,50] Considere Pn) como a proposição de que n 3 para qualquer número inteiro positivo n. Demonstre, por indução, npn). a) Mostre que P1) é verdadeira, completando o passo base da demonstração. b) Enuncie a hipótese indutiva e complete o passo indutivo da demonstração. c) Explique por que esses passos mostram que a fórmula é verdadeira sempre que n for um inteiro positivo. a) O passo base consiste em verificar a veracidade de P1). Como verdadeira. 11+1) ) 1 1, vemos que P1) é b) A hipótese indutiva é a seguinte: Pn) é verdadeira, ou seja, a soma dos cubos dos primeiros n inteiros positivos é dada por nn+1)/). O passo indutivo consiste em verificar que Pn) Pn+1). Para isso, considersmos Pn): nn+1) n 3 e somamos em ambos os lados da igualdade o termo n+1) 3. Assim, manipulando o termo da direita, encontramos: n 3 +n+1) 3 ) ) nn+1) +n+1) 3 n n+1) n +n+)n+1) n+) n+1) + n+1)n+1) n+1)n+) que é exatamente a expressão Pn+1). Logo, Pn) Pn+1) e o passo indutivo está completado. c) O passo indutivo demonstra que Pn) Pn+1), ou seja, que se a proposição é válida para o número inteiro n, então será válida para o próximo número inteiro n+1. Como a demonstração é independente do valor de n, temos agora se a proposição é válida para n+1, também será para n+1)+1n+, e assim por diante. Uma vez que fomos capazes de verificá-la diretamente para n1, sabemos será válida para n e, então, para n3 e, então, para n... Ou seja, para todos os números inteiros positivos n. ) Problema 08 [,00] Seja f n f n 1 +f n o n-ésimo número de Fibonacci para n, com f 0 0 e f 1 1. a) Mostre que f n+1 f n 1 f n 1) n quando n é um número inteiro positivo. [ ] [ 1 1 b) Mostre que se A, então A 1 0 n fn+1 f n f n f n 1 Primeiramente, observemos que f f 1 +f 0 1. a) A relação pode ser facilmente verificada para n1 passo base): ] quando n for um número inteiro positivo. f f 0 f ) 1. Podemos agora assumir que a relação é válida para n e dela derivar a relação para n+1. Ou seja, suponha f n+1 f n 1 f n 1) n. 3

4 Agora, manipulemos o termo da esquerda comn n+1, utilizando a definição dos números de Fibonacci para observar que f n+ f n+1 +f n e que f n+1 f n +f n 1. Assim, temos f n+ f n f n+1 f n+1 +f n )f n f n+1 f n +f n 1 ) f n+1 f n +f n f n+1 f n f n+1 f n 1 f n f n+1 f n 1 f n+1 f n 1 f n ) 1) n 1) n+1. Assim, se a relação é válida para n, é válida pra n+1. Como verificamos no passo base que a relação é verdadeira para n1, então a mesma é verdadeira para todo número inteiro positivo. b) Utilizaremos a construção recursiva de A n por A n+1 A.A n em que AA 1 é a matriz dada. Note que [ ] [ ] A 1 f f f 1 f Assim, basta demonstrarmos que, para todo n 1, A n+1 A.A n. Fazendo o produto e rearranjando os termos, verificamos facilmente esse resultado: [ ][ ] [ ] [ ] [ 1 1 A.A n fn+1 f n fn+1 +f n f n +f n 1 fn+ f n f n f n 1 f n+1 f n f n+1 f n em que, pela definição dos números de Fibonacci, f n+1)+1 f n+1) f n+1) f n+1) 1 ] A n+1 foram utilizados. f n+ f n+1 +f n e f n+1 f n +f n 1 Problema 09 [0,5] Decida se cada um dos inteiros abaixo é congruente a 5 módulo 17. a) 80 b) 103 c) 9 d) 1 Dizemos que a é congruente a b módulo m se m divide a b) ou, analogamente, se a modmbmodm, isto é, se o resto das divisões de a e b por m forem iguais. Observe que 5 mod 175.Assim: a) Como e 17 75, pois não existe inteiro m tal que 17.m75, vemos que 80 5mod 17). Analogamente, temos 80 mod b) Como e 17 98, pois não existe inteiro m tal que 17.m98, vemos que 103 5mod 17). Analogamente, temos 103 mod c) Como e 17 3, pois 317. ), vemos que 9 5mod 17). Analogamente, 9 mod 175, pois 917. )+5. d) Como e 17 17, pois não existe inteiro m tal que 17.m 17, vemos que 1 5mod 17). Analogamente, 1 mod pois )+1).

5 Problema 10 [0,5] Decodifique a seguinte mensagem, codificada pelo algoritmo de Júlio César, em que A 1, B,,Z0 e fp)p+3) mod 6: P H L R S R Q W R J D Q K R! A função decodificadora inversa) de f é f 1 p)p 3) mod 6. Assim, podemos construir a seguinte tabela: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z pf 1 w) w fp) D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Logo, a mensagem é: P H L R S R Q W R J D Q K R! w f 1 w) M E I O P O N T O G A N H O! 5