Apresentação do curso

Transcrição

1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo do curso Lógica e Linguagem Matemática: implicações, exemplo, contraexemplo, demonstração direta, demonstração indireta (por absurdo), equivalência, relação com teoria de conjuntos, conectivos, quantificadores, negação, argumentos. Função modular. Função potência. Função quadrática (incluindo completamento de quadrados). Função da forma f (x) = a 2 x 2. Bibliografia Iaci Malta; Sinésio Pesco; Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. Coleção MatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, Parte 1 Matemática Básica 3 Parte 1 Matemática Básica 4

2 Bibliografia Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Bibliografia Elon Lages Lima. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, Parte 1 Matemática Básica 5 Parte 1 Matemática Básica 6 Bibliografia Bibliografia James Stewart. Cálculo, volume 1, Quarta edição, Editora Pioneira, Marlene Dieguez Fernandez. Matemática Básica. Notas de Aula, Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Federal Fluminense, Sebastião Marcos Antunes Firmo. Lições de Matemática Básica. Departamento de Matemática Aplicada, Universidade Federal Fluminense, Parte 1 Matemática Básica 7 Parte 1 Matemática Básica 8

3 Outras informações Datas das provas Página WEB do curso: Clique no link DISCIPLINAS no menu à esquerda. Conteúdo: cronograma dia a dia, lista de execícios, material extra, notas das provas. Não deixe de consultar os horários de monitoria no GMA. 1 a VE 31/10/2016 (peso 2) 2 a VE 09/01/2017 (peso 3) VR 11/01/2017 VS 18/01/2017 Vamos definir agora um horário de atendimento para esta turma. Frequência mínima: 75%. Parte 1 Matemática Básica 9 Parte 1 Matemática Básica 10 Como estudar? Tenha uma cópia impressa destes slides sempre consigo! Após cada aula, estude o material apresentado (estes slides): marque o que é importante, refaça os exemplos e as demonstrações apresentadas por conta própria, anote dúvidas, etc. Faça uma lista com as definições e teoremas principais! Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas Tem uma dúvida? Converse com seus colegas, com os monitores e com os professores. Não fique acanhado em perguntar em sala de aula. Não deixe para estudar na última hora: estude todo dia! Parte 1 Matemática Básica 11 Parte 1 Matemática Básica 12

4 O significado das palavras Exemplo João disse que: Se linguagem do cotidiano linguagem matemática eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina ou eu visitarei o estado do Rio Grande do Sul ou eu visitarei o estado da Bahia. A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Parte 1 Matemática Básica 13 Parte 1 Matemática Básica 14 Exemplo Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se x (x 2 2 x + 1) =0, então x = 0oux = 1oux = 2. Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é verdadeira! Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é falsa! Parte 1 Matemática Básica 15 Parte 1 Matemática Básica 16

5 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Se A, então B: hipótese e tese Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Parte 1 Matemática Básica 17 Parte 1 Matemática Básica 18 Se A, então B: hipótese e tese Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Parte 1 Matemática Básica 19 Parte 1 Matemática Básica 20

6 Se A, então B: hipótese e tese Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 k Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n 2 + n + 41 é um número primo. Parte 1 Matemática Básica 21 Parte 1 Matemática Básica 22 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se A, então B: exemplo e contraexemplo Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Parte 1 Matemática Básica 23 Parte 1 Matemática Básica 24

7 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 =(1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 =(40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Parte 1 Matemática Básica 25 Parte 1 Matemática Básica 26 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Se A, então B: verdadeira ou falsa? m = 2en = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2en = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n =(2) (2) =4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Logo, existem inteiros r e s tais que m = 2 r e n = 2 s. Logo, m n = 2 (2 r s) é inteiro par e satisfaz a tese. Parte 1 Matemática Básica 27 Parte 1 Matemática Básica 28

8 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Com relação a uma sentença da forma Se A, então B. : (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Parte 1 Matemática Básica 29 Parte 1 Matemática Básica 30 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 =(40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Logo a sentença (proposição) é falsa! Parte 1 Matemática Básica 31 Parte 1 Matemática Básica 32

9 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Logo, existem inteiros r e s tais que m = 2 r e n = 2 s. Logo, m n = 2 (2 r s) é inteiro par e satisfaz a tese. A recíproca de Se A, então B. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Parte 1 Matemática Básica 33 Parte 1 Matemática Básica 34 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 k 2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Parte 1 Matemática Básica 35 Parte 1 Matemática Básica 36

10 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Parte 1 Matemática Básica 37

11 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Se A, então B: notações Parte 2 Parte 2 Matemática Básica 1 Parte 2 Matemática Básica 2 Se A, então B: notações Notação Exemplo Se A, então B. Se 0 < a < b, então a 2 < b 2. A B. 0 < a < b a 2 < b 2. A implica B. 0 < a < b implica a 2 < b 2. Demonstrações: direta e por absurdo A é condição suficiente para B. 0 < a < b é condição suficiente para a 2 < b 2. B é condição necessária para A. a 2 < b 2 é condição necessária para 0 < a < b. Parte 2 Matemática Básica 3 Parte 2 Matemática Básica 4

12 Demonstração direta Demonstração direta: exercício resolvido Mostre que a sentença abaixo é verdadeira! Demonstração direta Mostra-se que todas as situações que satisfazem a hipótese A também satisfazem a tese B. Feito isto, segue-se que a sentença se A, então B é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos. Se m é um inteiro par, então m 2 é um inteiro par. Demonstração: se m é um inteiro par, então m é divisível por 2, isto é, m = 2 k para algum inteiro k. Então, m 2 =(2 k) 2 = 4 k 2 = 2 (2 k 2 ). Segue-se que m 2 é divisível por 2. Logo, m 2 é um número par. Parte 2 Matemática Básica 5 Parte 2 Matemática Básica 6 Demonstração por absurdo Demonstração por absurdo: exercício resolvido Mostre que a sentença abaixo é verdadeira! Demonstração por absurdo Nesta técnica, para demonstrar que a sentença se A, então B éverdadeira, supomos inicialmente que ela seja falsa. A seguir, a partir desse pressuposto, usando argumentos válidos, deve-se chegar a dois fatos contraditórios (por exemplo, que um número inteiro é par e ímpar ao mesmo tempo ou que uma sentença é verdadeira ou falsa ao mesmo tempo). Feito isto, como em uma teoria consistente não podem existir contradições, concluímos que nosso pressuposto da sentença se A, então B ser falsa está errado e, assim, a sentença se A, então B deve ser verdadeira. Se m é um inteiro e m 2 é par, então m é par. Demonstração: suponha, por absurdo, que a sentença seja falsa. Então ela possui um contraexemplo! Portanto, existe um m que satisfaz a hipótese, mas não satisfaz a tese, isto é, existe um m tal que m inteiro e m 2 é par, mas m é ímpar. Mas, se m é ímpar, existe inteiro k tal que m = 2 k + 1. Então m 2 =(2 k + 1) 2 = 4 k k + 1 = 2 (2 k k)+1. Segue-se que m 2 é ímpar. Um número inteiro não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo. Temos então uma contradição. Assim, a premissa de que a sentença inicial é falsa está errada, o que nos leva a concluir que a sentença inicial é verdadeira! Parte 2 Matemática Básica 7 Parte 2 Matemática Básica 8

13 A se, e somente se, B A se, e somente se, B Dizemos que uma sentença A se, e somente se, B é verdadeira quando as sentenças se A, então B e se B, então A são simultaneamente verdadeiras. Parte 2 Matemática Básica 9 Parte 2 Matemática Básica 10 A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa? A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa? m é um inteiro e m 2 é par se, e somente se, m é um inteiro par. m e n são inteiros pares se, e somente se, o produto m n é um inteiro par. A sentença é verdadeira, pois as duas sentenças e se m é um inteiro e m 2 é par, então m é um inteiro par A sentença é falsa, pois a sentença se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente). m é um inteiro par, então m é um inteiro e m 2 é par são simultaneamente verdadeiras (justificativas já foram apresentadas anteriormente). Parte 2 Matemática Básica 11 Parte 2 Matemática Básica 12

14 A se, e somente se, B: verdadeira ou falsa? A se, e somente se, B: notações m é um inteiro múltiplo de 3 se, e somente se, m é um inteiro múltiplo de 9. A sentença é falsa, pois a sentença se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9 Notação A se, e somente se, B. A B. A se,esóse,b. Exemplo m é um inteiro e m 2 é par se, e somente se, m é par. m é um inteiro e m 2 é par m é par. m é um inteiro e m 2 éparse,esóse,m é par. é falsa (justificativas já foram apresentadas anteriormente). Outra notação: A é condição necessária e suficiente para B. m ser um número inteiro e m 2 ser um número par é condição necessária e suficiente para que m seja par. Parte 2 Matemática Básica 13 Parte 2 Matemática Básica 14 Observação 1 O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Quatro observações Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. João não foi aprovado no vestibular. Podemos então garantir que João não vai ganhar um carro novo de seu pai? Resposta: não! O pai de João disse que se João passar no vestibular, então João vai ganhar um carro novo. O pai de João não fez nenhuma promessa (nada afirmou) caso João não fosse aprovado no vestibular. João pode ganhar ou não um carro novo de seu pai. Nada podemos afirmar. Parte 2 Matemática Básica 15 Parte 2 Matemática Básica 16

15 Observação 2 Observação 3 A sentença abaixo é verdadeira ou falsa? Se x R e x 2 < 0, então x = 1/7. A sentença abaixo é verdadeira ou falsa? Se x R e x 2 5 x + 6 = 0, então x = 2oux = 3oux = 5. Resposta: a sentença é verdadeira, pois ela não possui contraexemplos uma vez que não existe nenhum x que satisfaça a hipótese. Neste caso, dizemos que a sentença é verdadeira por vacuidade. Resposta: a sentença é verdadeira, pois todas as situações que satisfazem a hipótese (no caso, os números x = 2ex = 3) também satisfazem a tese. Parte 2 Matemática Básica 17 Parte 2 Matemática Básica 18 Observação 4 Proposição é sinônimo de sentença. Um teorema é uma proposição que merece destaque e tem importância central no desenvolvimento de uma determinada teoria. Um lema é uma proposição auxiliar usada na demonstração de uma outra proposição. Uma demonstração por absurdo famosa Um corolário é uma proposição que é consequência imediata de uma outra proposição. Parte 2 Matemática Básica 19 Parte 2 Matemática Básica 20

16 Demonstração por absurdo: exercício resolvido Se x R, x > 0ex 2 = 2, então x não é um número racional Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista x R tal que x > 0, x 2 = 2ex = m/n, com m, n N. Sem perda de generalidade, podemos supor que x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x 2 = 2, então (m/n) 2 = 2 e, por conseguinte, m 2 = 2 n 2. Então, m 2 é um número par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos que m deve ser par: m = 2 k para algum inteiro k. Desta maneira, 2 n 2 = m 2 =(2 k) 2 = 4 k 2. Daí, segue-se que n 2 = 2 k 2. Logo, n 2 é par. Por um exercício resolvido anteriormente, concluímos que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2), uma contradição. Seção de Exercícios Parte 2 Matemática Básica 21 Parte 2 Matemática Básica 22 Exemplo Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! x x = x x = 1 (aqui x representa um número real) Implicações e Teoria dos Conjuntos Resposta: a sentença é falsa, pois x = 0 é um contraexemplo! De fato: x = 0 satisfaz a hipótese (pois 0 2 = 0), mas x não satisfaz a tese (pois 0 1). H = {x x satisfaz a hipótese} = {0, 1} T = {x x satisfaz a tese } = {1} Note que H T! Parte 2 Matemática Básica 23 Parte 2 Matemática Básica 24

17 Exemplo Exemplo Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! x = 1 x x = x (aqui x representa um número real) x 2 = 4 x = 2 (aqui x representa um número real) Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 1 satisfaz a hipótese), também satisfaz a tese (pois 1 1 = 1). H = {x x satisfaz a hipótese} = {1} T = {x x satisfaz a tese } = {0, 1} Note que H T! Resposta: a sentença é falsa, pois x = 2 é um contraexemplo! De fato: x = 2 satisfaz a hipótese (pois ( 2) 2 = 4), mas x não satisfaz a tese (pois 2 2). H = {x x satisfaz a hipótese} = { 2, 2} T = {x x satisfaz a tese } = {2} Note que H T! Parte 2 Matemática Básica 25 Parte 2 Matemática Básica 26 Exemplo Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! x = 2 x 2 = 4 (aqui x representa um número real) Exemplo Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! 1 > 1/x x > 1 (aqui x representa um número real) Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 2 satisfaz a hipótese), também satisfaz a tese (pois (2) 2 = 4). H = {x x satisfaz a hipótese} = {2} T = {x x satisfaz a tese } = { 2, 2} Note que H T! Resposta: a sentença é falsa, pois x = 1 é um contraexemplo! De fato: x = 1 satisfaz a hipótese (pois 1 > 1 = 1/( 1)), mas x não satisfaz a tese (pois 1 < 1). H = {x x satisfaz a hipótese} = ], 0[ ]1, + [ T = {x x satisfaz a tese } = ]1, + [ Note que H T! Parte 2 Matemática Básica 27 Parte 2 Matemática Básica 28

18 Exemplo Moral Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! Verdadeira ou falsa? x (x 2 2 x + 1) =0 x = 0oux = 1oux = 2 (aqui x representa um número real) Se A, então B. Sejam: Resposta: a sentença é verdadeira, pois não existem contraexemplos! De fato: todo x que satisfaz a hipótese (no caso, apenas x = 0ex = 1 satisfazem a hipótese), também satisfaz a tese. H = {x x satisfaz a hipótese A}, T = {x x satisfaz a tese B}. H = {x x satisfaz a hipótese} = {0, 1} T = {x x satisfaz a tese } = {0, 1, 2} Note que H T! Relação entre Implicações e Teoria dos Conjuntos: A sentença se A, então B é verdadeira se, e somente se, H T. Parte 2 Matemática Básica 29 Parte 2 Matemática Básica 30 Exemplo Verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta! x R e x 2 < 0 x = 1/7 H = {x x satisfaz a hipótese} = T = {x x satisfaz a tese } = {1/7} Conectivos Lógicos Como o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto, segue-se que H T e, portanto, a sentença é verdadeira! Por que o conjunto vazio está contido em qualquer outro conjunto? Alguém sabe demonstrar esse fato? Parte 2 Matemática Básica 31 Parte 2 Matemática Básica 32

19 Conectivo ou ( ) Conectivo ou ( ) Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p ou q (a disjunção entre p e q) sex satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação para o conectivo ou :. Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p ou q (a disjunção entre p e q) sex satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação para o conectivo ou :. Quais são todos os valores de x R que satisfazem o predicado abaixo? x + 1 = 2 ou x 2 = 4. Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = 2 (satisfaz q) ex = 2 (satisfaz q). Relação com a Teoria dos Conjuntos: se A = {x x satisfaz p} e B = {x x satisfaz q}, então {x x satisfaz p q} = A B. Parte 2 Matemática Básica 33 Parte 2 Matemática Básica 34 Conectivo e ( ) Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p e q (a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois predicados p e q. Notação para o conectivo e :. Conectivo e ( ) Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p e q (a conjunção entre p e q) se x satisfaz simultaneamente os dois predicados p e q. Notação para o conectivo e :. Quais são todos os valores de x R que satisfazem o predicado abaixo? x + 1 = 2 e x 2 = 1. Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = 1 satisfaz q mas não satisfaz p. Relação com a Teoria dos Conjuntos: se A = {x x satisfaz p} e B = {x x satisfaz q}, então {x x satisfaz p q} = A B. Parte 2 Matemática Básica 35 Parte 2 Matemática Básica 36

20 Conectivos e o uso de parêntesis Quais são todos os valores de x R que satisfazem o predicado abaixo? Conectivos e o uso de parêntesis Quais são todos os valores de x R que satisfazem o predicado abaixo? (x > 0 ou x < 2) e x > 1. (x = 0 }{{} p ou x }{{ = 1} ) e 2 }{{ = 3 }. q r Resposta: x > 1. Resposta: não existe valores de x R tais que (x = 0oux = 1) e2= 3. Quais são todos os valores de x R que satisfazem o predicado abaixo? Quais são todos os valores de x R que satisfazem o predicado abaixo? x > 0 }{{} p ou (x < 2 }{{} q e x }{{ > 1 } ). r x = 0 }{{} p ou (x = 1 }{{} q e } 2 {{ = 3 } ). r Resposta: x > 0. Resposta: x = 0. Moral: os parêntesis são importantes! Moral: os parêntesis são importantes! Parte 2 Matemática Básica 37 Parte 2 Matemática Básica 38

21 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Negação Parte 3 Parte 3 Matemática Básica 1 Parte 3 Matemática Básica 2 Negação Negação Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p (a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p. Notações para a negação do predicado p: p ou p. Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p (a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p. Notações para a negação do predicado p: p ou p. Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representa um número real)? Resposta: x 1. x < 1. Relação com a Teoria dos Conjuntos: se então A = {x x satisfaz p}, {x x satisfaz p} = A C = }{{} U A. conjunto universo Parte 3 Matemática Básica 3 Parte 3 Matemática Básica 4

22 Negação Negação Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p (a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p. Notações para a negação do predicado p: p ou p. Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p (a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p. Notações para a negação do predicado p: p ou p. Fato: (p q) =( p) ( q). a negação de x < δ ou x >δ é x δ e x δ que pode ser escrita da seguinte forma compacta: δ x δ. Fato: (p q) =( p) ( q). a negação de δ <x <δ (isto é, δ <x e x <δ) é x δ ou x δ. Parte 3 Matemática Básica 5 Parte 3 Matemática Básica 6 Negação Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado p (a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p. Notações para a negação do predicado p: p ou p. Contrapositiva Fato: ( p) =p. Parte 3 Matemática Básica 7 Parte 3 Matemática Básica 8

23 Contrapositiva Teorema A B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva B A é verdadeira. Demonstração. Dada uma sentença A B, sua contrapositiva é a sentença B A. a contrapositiva da sentença (assumindo que m representa um número natural) ( ) Suponha, por absurdo, que A B seja verdadeira, mas que B A seja falsa. Então, B A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x que satisfaz B, mas não satisfaz A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto, x é um contraexemplo para a sentença A B. Logo, a sentença A B é falsa, uma contradição. ( ) Basta usar ( ), trocando A B por B A e observando que ( A) =A e ( B) =B. se m 2 é um número par, então m é um número par é a sentença se m é um número ímpar, então m 2 é um número ímpar. Corolário: A B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva B A é falsa. Parte 3 Matemática Básica 9 Parte 3 Matemática Básica 10 Contrapositiva: exercício resolvido Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira! Se m 2 é par, então m é par. Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é, basta demonstrar que se m é ímpar, então m 2 é ímpar. Para isso, faremos uma demonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k Z tal que m = 2 k + 1. Portanto, m 2 =(2k + 1) 2 = 4 k k + 1 = 2 (2 k k)+1 é um número ímpar. Quantificadores Parte 3 Matemática Básica 11 Parte 3 Matemática Básica 12

24 Quantificador universal ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X, q(x) (lê-se para todo x pertencente a X, q(x) ) é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) é verdadeira. Note que x X, q(x) é falsa se existe pelo menos um x X que não satisfaz o predicado q(x). Quantificador universal ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X, q(x) (lê-se para todo x pertencente a X, q(x) ) é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) é verdadeira. Note que x X, q(x) é falsa se existe pelo menos um x X que não satisfaz o predicado q(x). x [1, [, x 2 x x R, x 2 x A sentença é verdadeira. Justificativa: se x [1, [, então x 1e x > 0. Portanto, x x 1 x, isto é, x 2 x. A sentença é falsa. Justificativa: existe x R tal que x 2 < x. De fato: se x = 1/2, então x R e x 2 = 1/4 < 1/2 = x. Parte 3 Matemática Básica 13 Parte 3 Matemática Básica 14 Quantificador universal ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X, q(x) (lê-se para todo x pertencente a X, q(x) ) é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) é verdadeira. Note que x X, q(x) é falsa se existe pelo menos um x X que não satisfaz o predicado q(x). Quantificador existencial ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) possui pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo elemento x X não satisfaz o predicado q(x). a, b R, (a + b) 2 = a ab + b 2 x R x 2 x 1 = 0 A sentença é verdadeira. Justificativa: se a, b R, então (a + b) 2 = (a + b)(a + b) =a 2 + ab + ba + b 2 = a ab + b 2. A sentença é verdadeira. Justificativa: se x =(1+ 5)/2, então x R e x 2 x 1 = 0. Parte 3 Matemática Básica 15 Parte 3 Matemática Básica 16

25 Quantificador existencial ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) possui pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo elemento x X não satisfaz o predicado q(x). Quantificador existencial ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) possui pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo elemento x X não satisfaz o predicado q(x). x R x 2 x + 1 = 0 a, b, c N a 2 = b 2 + c 2 A sentença é falsa. Justificativa: para todo x R, x 2 x + 1 = (x 1/2) 2 + 3/4 > 0. A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3ec = 4, então a 2 = 25 = = b 2 + c 2. Parte 3 Matemática Básica 17 Parte 3 Matemática Básica 18 Quantificador existencial ( ) Dizemos que a expressão quantificada x X q(x) (lê-se existe x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X que satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) possui pelo menos um exemplo. Note que x X q(x) é falsa se todo elemento x X não satisfaz o predicado q(x). n, a, b, c N n > 2ea n = b n + c n Quantificador existencial de unicidade (!) Dizemos que a expressão quantificada!x X q(x) (lê-se existe um único x pertencente a X tal que q(x) ) é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X que satisfaz o predicado q(x), isto é, se a sentença x X q(x) possui um único exemplo. Note que!x X q(x) é falsa se existe mais de um elemento x X que satisfaz o predicado q(x) ou se todo elemento x X não satisfaz o predicado q(x). A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do Último Teorema de Fermat). Parte 3 Matemática Básica 19 Parte 3 Matemática Básica 20

26 Quantificador existencial de unicidade (!) Quantificador existencial de unicidade (!)!x R 2 x 4 = 0!x ]0, [ x 2 = 4 A sentença é verdadeira. Justificativa: (Existência) Se x = 2, então x R e2x 4 = 2 (2) 4 = 4 4 = 0. (Unicidade) Sejam x 1, x 2 R tais que 2 x 1 4 = 0e2x 2 4 = 0. Logo 2 x 1 4 = 2 x 2 4. Portanto, 2 x 1 = 2 x 2. Assim, x 1 = x 2. A sentença é verdadeira. Justificativa: (Existência) Se x = 2, então x ]0, + [ e x 2 =(2) 2 = 4. (Unicidade) Sejam x 1, x 2 ]0, + [ tais que x1 2 = 4ex 2 2 = 4. Logo x1 2 = x 2 2 e x 1 + x 2 0. Portanto, x1 2 x 2 2 = 0ex 1 + x 2 0. Assim, (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 )=0ex 1 + x 2 0. Desta maneira, x 1 x 2 = 0, isto é, x 1 = x 2. Parte 3 Matemática Básica 21 Parte 3 Matemática Básica 22 Quantificador existencial de unicidade (!) Quantificador existencial de unicidade (!)!x R x 2 = 4!x ]0, [ x 2 = 2 A sentença é falsa. Justificativa: se x 1 = 2 ex 2 = 2, então x 1 R, x 2 R, x 2 1 = 4, x 2 2 = 4ex 1 x 2. A sentença é verdadeira. Justificativa: (Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudar primeiro o conceito de continuidade de funções reais. (Unicidade) Sejam x 1, x 2 ]0, + [ tais que x1 2 = 2ex 2 2 = 2. Logo x1 2 = x 2 2 e x 1 + x 2 0. Portanto, x1 2 x 2 2 = 0ex 1 + x 2 0. Assim, (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 )=0ex 1 + x 2 0. Desta maneira, x 1 x 2 = 0, isto é, x 1 = x 2. Parte 3 Matemática Básica 23 Parte 3 Matemática Básica 24

27 Cuidado: ordem dos quantificadores Negação dos quantificadores Negação dos Quantificadores ( x X, p(x)) = ( x X p(x)) a R, b R b > a (Verdadeira) b R a R, b > a (Falsa) Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores! ( x X p(x)) = ( x X p(x)) = ( x X, p(x)) (!x X p(x)) = ( x X, p(x)) ( x X (p(x) ( y X p(y) (x y)))) Exemplos: ( x R, x 2 x) = x R x 2 < x ( x R x 2 x + 1 = 0) = x R, x 2 x ( b R a R, b > a) = b R, a R b a Parte 3 Matemática Básica 25 Parte 3 Matemática Básica 26 Negação de uma implicação Negação de uma implicação Negação de Uma Implicação Supondo que p e q são dois predicados que dependem de x X: (p(x) q(x)) = x X (p(x) q(x)) Exemplos (supondo que x R): (1/x < 1 x > 1) = x R (1/x < 1 x 1) (4 x x 3) = x R [4 x 2 9 (x < 2 x > 3)] CUIDADO! A negação de uma implicação não é outra implicação! Erro comum: achar que a negação de p(x) q(x) é p(x) q(x)! Parte 3 Matemática Básica 27 Parte 3 Matemática Básica 28

28 Saiba diferenciar! Vamos praticar? A B recíproca contrapositiva negação B A B A x A B Sentença: para todo x real, x 2 x. Negação: existe x real tal que x 2 < x. Parte 3 Matemática Básica 29 Parte 3 Matemática Básica 30 Vamos praticar? Vamos praticar? Sentença: para todo n natural positivo, n 2 + n + 41 é um número primo. Sentença: existe x real tal que x 2 x + 1 = 0. Negação: existe n natural positivo tal que n 2 + n + 41 não é um número primo. Negação: para todo x real, x 2 x Parte 3 Matemática Básica 31 Parte 3 Matemática Básica 32

29 Vamos praticar? Vamos praticar? Sentença: existem n, a, b, c naturais tais que n > 2ea n = b n + c n. Sentença: existe b real tal que para todo a real, b > a. Negação: para todo n, a, b, c naturais, n 2oua n b n + c n. Negação: para todo b real, existe a real tal que b a. Parte 3 Matemática Básica 33 Parte 3 Matemática Básica 34 Vamos praticar? Vamos praticar? Sentença: se n é primo, então 2 n 1 é primo. Sentença: se a 2 > 1, então a > 1. Negação: existe n natural tal que n éprimoe2 n 1 não é primo. Negação: existe a real tal que a 2 > 1ea 1. Parte 3 Matemática Básica 35 Parte 3 Matemática Básica 36