Fundamentos de Matemática

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1 Fundamentos de Matemática Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 1 7 de janeiro de 2013 Aula 1 Fundamentos de Matemática 1

2 Apresentação Aula 1 Fundamentos de Matemática 2

3 Ementa e Bibliografia Básica Ementa Elementos de linguagem e lógica matemática: lógica proposicional (exemplos, contraexemplos, recíproca, contrapositiva); predicados, conectivos lógicos, negação e quantificadores; demonstrações. Números naturais: os axiomas de Peano, o princípio da boa ordenação, o princípio da indução, o segundo princípio da indução. Recursão, iteração e indução: indução e algoritmos recursivos, indução e algoritmos iterativos. Bibliografia Básica Lehman, E.; Leighton, T. Mathematics for Computer Science. Lecture Notes. MIT, Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. International Edition, Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, McGraw-Hill Volume I. Uma Aula 1 Fundamentos de Matemática 3

4 Ementa e Bibliografia Básica Ementa Elementos de linguagem e lógica matemática: lógica proposicional (exemplos, contraexemplos, recíproca, contrapositiva); predicados, conectivos lógicos, negação e quantificadores; demonstrações. Números naturais: os axiomas de Peano, o princípio da boa ordenação, o princípio da indução, o segundo princípio da indução. Recursão, iteração e indução: indução e algoritmos recursivos, indução e algoritmos iterativos. Bibliografia Básica Lehman, E.; Leighton, T. Mathematics for Computer Science. Lecture Notes. MIT, Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. International Edition, Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, McGraw-Hill Volume I. Uma Aula 1 Fundamentos de Matemática 4

5 Programação e Avaliação Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor às segundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quinta serão realizadas com o monitor e consistirão de resolução e discussão das listas de exercícios. Avaliação: Baseada em duas provas, listas de exercícios, desempenho nas aulas e sessões de discussão. Datas das provas: 18/01/2013 (sexta-feira) e 01/02/2013 (sexta-feira). Página WEB: Aula 1 Fundamentos de Matemática 5

6 Programação e Avaliação Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor às segundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quinta serão realizadas com o monitor e consistirão de resolução e discussão das listas de exercícios. Avaliação: Baseada em duas provas, listas de exercícios, desempenho nas aulas e sessões de discussão. Datas das provas: 18/01/2013 (sexta-feira) e 01/02/2013 (sexta-feira). Página WEB: Aula 1 Fundamentos de Matemática 6

7 Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas Aula 1 Fundamentos de Matemática 7

8 O significado das palavras linguagem do cotidiano linguagem matemática Aula 1 Fundamentos de Matemática 8

9 O significado das palavras linguagem do cotidiano linguagem matemática Aula 1 Fundamentos de Matemática 9

10 Exemplo João disse que:, A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 10

11 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 11

12 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 12

13 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 13

14 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 14

15 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina ou eu visitarei o estado do Rio Grande do Sul A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 15

16 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina ou eu visitarei o estado do Rio Grande do Sul ou eu visitarei o estado da Bahia. A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 16

17 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina ou eu visitarei o estado do Rio Grande do Sul ou eu visitarei o estado da Bahia. A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 17

18 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina ou eu visitarei o estado do Rio Grande do Sul ou eu visitarei o estado da Bahia. A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 18

19 Exemplo João disse que: Se eu viajar para a região Sul do Brasil, então eu visitarei o estado do Paraná ou eu visitarei o estado de Santa Catarina ou eu visitarei o estado do Rio Grande do Sul ou eu visitarei o estado da Bahia. A afirmativa de João é verdadeira ou falsa? Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, a afirmativa de João é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 19

20 Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se x (x 2 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 20

21 Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se x (x 2 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 21

22 Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se x (x 2 2 x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 22

23 Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 23

24 Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 24

25 Exemplo A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa? Se n é ímpar ou m é ímpar, então m + n é ímpar. Quais são as regras do jogo? Veremos que pelas regras da linguagem matemática, esta afirmativa é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 25

26 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 26

27 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 27

28 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 28

29 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 29

30 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 30

31 Se A, então B: hipótese e tese Aula 1 Fundamentos de Matemática 31

32 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 32

33 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 33

34 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 34

35 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 35

36 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 36

37 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 37

38 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 38

39 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 39

40 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 40

41 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 41

42 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 k Aula 1 Fundamentos de Matemática 42

43 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 k Aula 1 Fundamentos de Matemática 43

44 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 k Aula 1 Fundamentos de Matemática 44

45 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 k Aula 1 Fundamentos de Matemática 45

46 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n 2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 46

47 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n 2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 47

48 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n 2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 48

49 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n 2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 49

50 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Aula 1 Fundamentos de Matemática 50

51 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 51

52 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 52

53 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 53

54 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 54

55 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 55

56 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 56

57 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 57

58 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 58

59 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 59

60 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 60

61 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 61

62 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 62

63 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 63

64 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 64

65 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 k = 2 (0) = 1 = m. Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 65

66 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 66

67 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 67

68 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 68

69 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 69

70 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 70

71 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (1) = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 71

72 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 72

73 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 73

74 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 74

75 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 75

76 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 76

77 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 77

78 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 78

79 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 79

80 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença Se A, então B. é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m n = (2) (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 80

81 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Aula 1 Fundamentos de Matemática 81

82 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Regras do Jogo Com relação a uma sentença da forma Se A, então B. : (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 82

83 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Regras do Jogo Com relação a uma sentença da forma Se A, então B. : (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 83

84 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Regras do Jogo Com relação a uma sentença da forma Se A, então B. : (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 84

85 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 85

86 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 86

87 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 87

88 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 88

89 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 89

90 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Contraexemplo: m = 3. Satisfaz a hipótese: m = 3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 k = m, pois 2 k > 0 para todo inteiro k e m = 3 < 0. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 90

91 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 91

92 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 92

93 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se n é um inteiro positivo, então n 2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n 2 + n + 41 = (40) = 1681 = 41 2 = não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 93

94 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 94

95 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 95

96 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m n é inteiro par e satisfaz a tese. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 96

97 A recíproca de Se A, então B. Aula 1 Fundamentos de Matemática 97

98 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 98

99 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 99

100 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 100

101 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 101

102 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 102

103 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 103

104 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 k 2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 104

105 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 k 2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 105

106 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 k 2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 106

107 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 k Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 k 2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 107

108 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 108

109 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 109

110 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 110

111 A recíproca de Se A, então B. A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 111

112 Seção de Exercícios Aula 1 Fundamentos de Matemática 112