Gestão Empresarial Prof. Ânderson Vieira

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1 NOÇÕES DE LÓGICA Gestão Empresarial Prof. Ânderson ieira A maioria do texto apresentado neste arquivo é do livro Fundamentos de Matemática Elementar, ol. 1, Gelson Iezzi e Carlos Murakami (eja [1]). Algumas das adaptações são do livro Introdução à lógica Matemática (eja [2]). 1 Proposição Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou em falsa. Observamos que toda proposição apresenta três características obrigatórias: (1 a ) sendo oração, tem sujeito e predicado; (2 a ) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa); (3 a ) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira () ou é falsa (F). Exemplo 1.1. São proposições: a) Nove é diferente de cinco. (9 5) b) Sete é maior que três. (7 > 3) c) Dois é um número inteiro. (2 Z) d) Três é divisor de onze. (3 11) e) Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4 5 = 20) Dessas proposições, todas são verdadeiras, exceto d). Exemplo 1.2. Não são consideradas proposições as frases: f) Três vezes cinco mais um. (3 5+1) g) A raiz quadrada de dois é número racional? ( 2 Q) h) O triplo de um número menos um é igual a onze. (3x 1 = 11) A frase f) não tem predicado, a frase g) é interrogativa e a frase h) não pode ser classificada em verdadeira ou falsa. As proposições podem ser representadas por letras do alfabeto: P, Q, R,p, q, r,... 1

2 2 Negação A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir uma outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo p. Exemplo 2.1. Retornemos ao Exemplo 1.1. (a) p: Nove é diferente de cinco. (9 5) p: Nove é igual a cinco. (9 = 5) (b) p: Sete é maior que três. (7 > 3) p: Sete é menor ou igual a três. (7 3) (c) p: Dois é um número inteiro. (2 Z) p: Dois não é um número inteiro. (2 / Z) (d) p: Três é divisor de onze. (3 11) p: Três não é divisor de onze. (3 11) (e) p: Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4 5 = 20) p: Quatro vezes cinco é diferente de vinte. (4 5 20) Para que p seja realmente uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira () ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição p tem sempre o valor oposto de p; isto é, p é verdade quando p é falsa e p é falsa quando p é verdadeira. Esse critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição p. p p F Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que p é verdadeira no exemplo d) e p é falsa nos demais. Exercício 2.1. Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras? F (a) 5 4 = 20 (b) 5 4 = 3 (c) = (d) 5(3+1) = (e) (f) ( 2) 5 ( 2) 3 (g) 3+4 > 0 (h)

3 Exercício 2.2. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras? (a) 3 7 = 21 (b) 3 (11 7) 5 (c) > 4 (d) (e) ( ) 2 1 < 2 (f) 2 < 1 (g) ( 4) 7 (h) 3 7 ( ) Proposição composta - Conectivos A partir de proposições dadas, podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: o conectivo (lê-se: e) e o conectivo (lê-se: ou). 3.1 Conectivo Colocando o conectivo entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q, denominada conjunção das sentenças p e q. Exemplo 3.1. Considere as composições: (a) p: 2 > 0 q: 2 1 p q : 2 > 0 e 2 1 (b) p: 2 < 1 q: ( 2) 2 < ( 1) 2 p q : 2 < 1 e ( 2) 2 < ( 1) 2 (c) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a q: um quadrado de lado a tem área a 2 p q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a 2 (d) p: 2 5 (2 é divisor de 5) q: 3 5 (3 é divisor de 5) p q: 2 5 e 3 5 (2 e 3 são divisores de 5) amos postular um critério para estabelecer o valor lógico ( ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A proposição p q é verdadeira, se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p q é falsa. 3

4 Esse critério está resumido na tabela abaixo, em que são examinadas todas as possibilidades para p e q. Essa tabela é denominada tabela-verdade da proposição p q. Exemplo 3.2. Considere o Exemplo 3.1. (a) p: 2 > 0 q: 2 1 p q : 2 > 0 e 2 1 (b) p: 2 < 1 q: ( 2) 2 < ( 1) 2 p q : 2 < 1 e ( 2) 2 < ( 1) 2 (c) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a q: um quadrado de lado a tem área a 2 p q p q F F F F F F F p q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a 2 (d) p: 2 5 (2 é divisor de 5) q: 3 5 (3 é divisor de 5) p q: 2 5 e 3 5 (2 e 3 são divisores de 5) 3.2 Conectivo Colocando o conectivo entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q, denominada disjunção das sentenças p e q. Exemplo 3.3. Considere as proposições: (a) p: 5 > 0 (cinco é maior que zero) q: 5 > 1 (cinco é maior que um) p q : 5 > 0 ou 5 > 1 (cinco é maior que zero ou maior que um) (b) p: 3 = 3 (três é igual a três) q: 3 < 3 (três é menor que três) p q : 3 3 (três é menor ou igual que três) (c) p: 10 é um número primo q: 10 é um número composto p q: 10 é um número primo ou número composto (d) p: 3 4 < 2 6 q: 2 2 < ( 3) 5 p q: 3 4 < 2 6 ou 3 2 < ( 3) 5 4

5 amos postular um critério para estabelecer o valor lógico ( ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: Aproposiçãop qéverdadeira, seaomenosumadasproposiçõespeqdelasforverdadeira; se p e q são ambas falsa, então p q é falsa. Esse critério está resumido na tabela abaixo, denominada tabela-verdade da proposição p q. Exemplo 3.4. Considere o Exemplo 3.3. (a) p: 5 > 0 (cinco é maior que zero) q: 5 > 1 (cinco é maior que um) p q p q F F F F p q : 5 > 0 ou 5 > 1 (cinco é maior que zero ou maior que um) (b) p: 3 = 3 (três é igual a três) q: 3 < 3 (três é menor que três) p q : 3 3 (três é menor ou igual que três) (c) p: 10 é um número primo q: 10 é um número composto p q: 10 é um número primo ou número composto (d) p: 3 4 < 2 6 q: 2 2 < ( 3) 5 p q: 3 4 < 2 6 ou 3 2 < ( 3) 5 Exercício 3.1. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: F (a) 3 > 1 e 4 > 2 (b) 3 > 1 ou 3 = 1 (c) 2 4 ou 2 (4+1) (d) 3(5+2) = e 3 7 (e) 1 2 < 3 ou (f) ( 1) 6 = 1 e 2 5 < ( 2) 7 (g) 16 = 6 ou mdc(4,7) = 2 4 Condicionais Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais, a saber, o condicional se... então... (símbolo: );... se, e somente se,... (símbolo: ). 5

6 4.1 Condicional Colocando o condicional entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q, que se lê: se p, então q, p é condição suficiente para q, q é condição necessária para p. Nocondicional p q, aproposiçãopéchamada antecedenteeqéchamadaconsequente. Exemplo 4.1. Considere as proposições: (a) p: dois é divisor de quatro (2 4) q: quatro é divisor de vinte (4 20) p q: se dois é divisor de quatro, então quatro é divisor de vinte ( ) (b) p: dois vezes cinco é igual a dez (2 5 = 10) q: três é divisor de dez (3 10) p q: se dois vezes cinco é igual a dez, então três é divisor de dez (2 5 = ) (c) p: cinco é menor que dois (5 2) q: dois é número inteiro (2 Z) p q: se cinco é menor que dois, então dois é número inteiro (d) p: um meio é menor que um terço q: três é igual a cinco (3 = 5) (5 2 2 Z) ( 1 2 < 1 ) 3 p q: se um meio é menor que um terço, então três é igual a cinco ( 1 2 < 1 ) 3 3 = 5 amos postular um critério de classificação para a proposição p q baseado nos valores lógicos de p e q: O condicional p q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p q é verdadeiro. 6

7 Esse critério está resumido na tabela abaixo, denominada tabela-verdade da proposição p q. Exemplo 4.2. Considere o Exemplo 4.1. (a) p é e q é, então p q é. (b) p é e q é F, então p q é F. (c) p é F e q é, então p q é. (d) p é F e q é F, então p q é. 4.2 Condicional p q p q F F F F Colocando o condicional entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p q, que se lê: p se, e somente se, q, p é condição necessária e suficiente para q, q é condição necessária e suficiente para p ou se p, então q e reciprocamente. Exemplo 4.3. Considere as proposições: (a) p: 2 12 q: p q: F (b) p: 3 2 = 6 4 q: p q: 3 2 = (c) p: 6 = 12 : 3 q: 3 6 = 18 p q: 6 = 12 : = 18 (d) p: 4 3 q: p q: amos postular para o condicional p q o seguinte critério de classificação: O condicional p q é verdadeiro somente quando p e q são ambos verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer, o condicional p q é falso. 7

8 Esse critério está resumido na tabela abaixo, denominada tabela-verdade da proposição p q. p q F F F F p q F F Exemplo 4.4. Considere o Exemplo 4.3. (a) p é e q é, então p q é. (b) p é e q é F, então p q é F. (c) p é F e q é, então p q é F. (d) p é F e q é F, então p q é. Exercício 4.1. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo. (a) 2 1 = = 3 4 (b) 2 2 = 4 ( 2) 2 = 4 (c) = = 9 (d) mdc(3,6) = 1 4é número primo (e) 2 8 mmc(2,8) = 14 (f) (g) 3 5 < = Exercício 4.2. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor ( ou F) de cada proposição abaixo. (a) p r (b) p q (c) r p (d) (p r) q (e) p (q r) (f) p (q r) (g) p q (h) p r Exercício 4.3. Sendo a proposição p (r s) falsa e a proposição (q s) p verdadeira, classifique em verdadeira ou falsa as afirmações p, q, r e s. 5 Tautologias Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r,... ) mediante o emprego de conectivos ( ou ) ou de modificador ( ) ou de condicionais ( ou ). Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só na coluna de v. Exemplo 5.1. Considere as proposições: (a) (p p) (q p) é uma tautologia, pois: 8

9 p q p p p q p (p p) (q p) F F F F (b) (p q) ( p q) é uma tautologia, pois: p q p q (p q) p q p q (p q) ( p q) F F F F 6 Proposições logicamente falsas Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r,... ) mediante o emprego de conectivos ( ou ) ou de modificador ( ) ou de condicionais ( ou ). Dizemos que f é uma contradição ou proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresenta só F na coluna de f. Exemplo 6.1. Considere as proposições: (a) p p é uma proposição logicamente falsa, pois: p p (p p) F (b) (p q) ( p q) p q p q p q p q (p q) ( p q) F F F F 7 Relação de implicação Dadas as proposições p e q, dizemos que p implica q quando na tabela de p e q não ocorre F em nenhuma linha; isto é, quando não temos, simultaneamente, p verdadeira e q falsa; ou então, que p q é uma tautologia. Quando p implica q, indicamos p q. Observações: 1 a Notemos que p implica q quando o condicional p q é verdadeiro. 2 a Todo teorema é uma implicação da forma 9

10 hipótese tese Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que não ocorre o caso de a hipótese ser verdadeira e a tese ser falsa. Exemplo 7.1. Considere as implicações: (a) significa dizer que o condicional se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de 4 5 é verdadeiro. (b) p é positivo e primo mdc(p,p 2 ) = p quer dizer que o condicional se p é número primo e positivo, então o máximo divisor comum de p e p 2 é p é verdadeiro. 8 Relação de equivalência Dadas as proposições p e q, dizemos que p éequivalente a q quando p e q têm tabelas-verdades iguais; isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. Quando p é equivalente a q, indicamos: p q. Observações: 1 a Notemos que p equivale a q quando o condicional p q é verdadeiro. 2 a Todo teorema cujo recíproco também é verdadeiro é uma equivalência. Exemplo 8.1. Considere as equivalências: (a) (p q) ( q p) hipótese tese p q p q p q q p (p q) ( q p) F F F F (b) 2 8 mdc(2,8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bicondicional 2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 8 é 2. Exercício 8.1. erifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo. (a) da conjunção p q q p (p q) r p (q r) p p p p v p p f f (b) da disjunção p q q p (p q) r p (q r) p p p p v v p f p 10

11 (c) da conjunção relativamente à disjunção p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p (p q) p p (p q) p (d) da conjunção relativamente à disjunção ( p) p (p q) p q (p q) p q em que p, q e r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição logicamente falsa. 9 Sentenças abertas, quantificadores Há expressões como: (a) x+1 = 7 (b) x > 2 (c) x 3 = 2x 2 que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuído à variável. Nos exemplos citados, temos: (a) x+1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x; (b) x > 2 é falsa, por exemplo, para x = 0; (c) x 3 = 2x 2 é verdadeira se trocarmos x por 0 (0 3 = ) ou 2 (2 3 = ) e é falsa para qualquer outro valor dado a x. Orações que contêm variáveis são chamadas funções proporcionais ou sentenças abertas. Tais orações não são proposições, pois seu valor lógico ( ou F) é discutível, depende do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: (a) atribuir valor às variáveis; (b) utilizar quantificadores. 9.1 O quantificador universal O quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo, que se lê: qualquer que seja, para todo, para cada. Exemplo 9.1. Considere as proposições; (a) ( x)(x+1 = 7), que se lê: qualquer que seja o número x, temos x + 1 = 7. (F) (b) ( x)(x 3 = 2x 2 ), que se lê: para todo número x, temos x 3 = 2x 2. (F) 11

12 (c) ( a)((a+1) 2 = a 2 +2a+1), que se lê: qualquer que seja o número a, temos (a+1) 2 = a 2 +2a+1. () (d) ( y)(y 2 +1 > 0), que se lê: para todo número y, temos y 2 +1 positivo. () 9.2 O quantificador existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo, que se lê: existe, existe pelo menos um ou existe um. Exemplo 9.2. Considere as proposições: (a) ( x)(x+1 = 7), que se lê: existe um número x, temos x + 1 = 7. () (b) ( x)(x 3 = 2x 2 ), que se lê: existe um número x, temos x 3 = 2x 2. () (c) ( a)(a ), que se lê: existe um número a tal que temos a 2 +1 é não positivo. (F) (d) ( m)(m(m+1) m 2 +m), que se lê: existe pelo menos um número m tal que m(m+1) m 2 +m. (F) Algumas vezes utilizamos também outro quantificador:!, que se lê: existe um único, existe um e um só ou existe só um. Exemplo 9.3. Considere as proposições: 1. (!x)(x+1 = 7), que se lê: existe um só número x tal que x + 1 = 7. () 2. (!x)(x 3 = 2x 2 ), que se lê: existe um só número x tal que x 3 = 2x 2. (F) 3. (!x)(x+2 > 3), que se lê: existe um único número x tal que x+2 > 3. (F) Exercício 9.1. Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores: (a) x 2 5x+4 = 0 (b) (a+1)(a 1) = a 2 1 (c) y 3 + y 4 y 7 (d) m 2 +9 m+3 (e) ( x) = x (f) 5a+4 11 (g) x 2 = x (h) a2 a a = a 1 12

13 10 Como negar proposições Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, na seção 2 deste material. amos destacar aqui resultados obtidos no exercício 8.1, os quais constituem processos para negar proposições compostas e condicionais Negação de uma conjunção Tendo em vista que (p q) p q, podemos estabelecer que a negação de p q é a proposição p q. Exemplo Considere as proposições: (a) p: a 0 q: b 0 p q: a 0 e b 0 (p q): a = 0 ou b = 0 (b) p: 2 4 q: 3 9 p q: 2 4 e 3 9 (p q): 2 4 ou Negação de uma disjunção Tendo em vista que (p q) p q, podemos estabelecer que a negação de p q é a proposição p q. Exemplo Considere as proposições: (a) p: o triângulo ABC é isósceles q: o triângulo ABC é equilátero p q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero (p q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero (b) p: a = 0 q: b = 0 p q: a 0 ou b 0 (p q): a 0 e b Negação de um condicional simples Já que (p q) p q, podemos estabelecer que a negação de p q é a proposição p q. Exemplo Considere as proposições: 13

14 1. p: 2 Z q: 2 Q p q:2 Z 2 Q (p q): 2 Z e 2 / Q 2. p: 5 2 = ( 5) 2 q: 5 = 5 p q: 5 2 = ( 5) 2 5 = 5 (p q): 5 2 = ( 5) 2 e Negação de proposições quantificadas (I) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo ( x)(p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x), obtendo: ( x)( p(x)). Exemplo Considere as proposições: (a) sentença: ( x)(x+3 = 5) negação: ( x)(x+3 5) (b) sentença: ( x)(x(x+1) = x 2 +x) negação: ( x)(x(x+1) x 2 +x) (c) sentença: ( x)( x 2 +1 = x+1) negação: ( x)( x 2 +1 x+1) (d) sentença: Todo losango é um quadrado. negação: Existe um losango que não é quadrado. (II) Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo ( x)(p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se p(x), obtendo: ( x)( p(x)). Exemplo Considere as proposições: (a) sentença: ( x)(x = y) negação: ( x)(x x) ( (b) sentença: ( a) a ) 3 ( negação: ( a) a+ 1 2 < 1 ) 3 ( ) 1 (c) sentença: ( a) a R ( ) 1 negação: ( a) a / R Exercício Diga qual é a negação de cada proposição abaixo. (a) mdc(2,3) = 1 ou mmc(2,3) 6 (b) 3 5 = 6 10 ou

15 (c) 3 1 e (d) 2 2 = 4 4 = 2 (e) ( 3) 2 = (f) (g) ( x)(x > 2 3 x > 3 2 ) (h) ( x)( x < 0) (i) Todo número inteiro primo é ímpar. (j) Todo triângulo isósceles é equilátero. (k) Existe um losango que não é quadrado. (l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero. (m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes tem três lados congruentes. Exercício Classifique em ou F as negações construídas no exercício anterior. 15

16 11 Exercícios Propostos 1. Considerando as proposições simples: P: Paulo é aprovado no exame. Q: Paulo conclui a sua tese. R: Paulo recebe o título de doutor. S: Paulo lecionará na faculdade. T: Paulo ensinará no colégio. Traduza as proposições abaixo. (a) (P Q) R (b) P Q) S (c) (P Q R) T (d) R (S T) (e) R (P Q) (f) P ( R S) (g) S (P Q R) (h) T R 2. Considerando as proposições simples: P: Paulo diminui os erros cometidos. Q: Há motivação para o estudo. R: Paulo aprendeu a matéria. S: O professor é bom. Simbolizar (a) Se o professor é bom, Paulo aprende a matéria. (b) Se o professor não é bom, não há motivação para ao estudar. (c) O professor é bom, há motivação para estudar e, além disso, Paulo aprende a matéria. (d) Paulo não aprendeu a matéria, ele não diminuiu os erros cometidos. (e) Se Paulo não diminuiu os erros cometidos, o professor não era bom ou não havia motivação para estudar. (f) Paulo aprende a matéria ou diminui os erros cometidos. 3. Sejam as proposições p: π é um número irracional e q: 2 não é um número primo. Escreva utilizando a linguagem corrente, as proposições compostas dadas simbolicamente por: (a) p ( q) (b) (p q) ( q p) (c) q p 4. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Construa uma sentença simples que descreva cada uma das seguintes proposições: 16

17 (a) p (c) p q (e) p q (g) p q (i) ( p) (b) p q (d) p q (f) p q (h) p q (j) p q 5. Encontre a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo. (a) (p q) ( p) ( q) (b) p (q r) (c) q (p q) (d) (p q) (q r) (r p) (e) ( p p) p (f) (p q) p (g) (p q r) p q r (h) (p q) r (i) (p q) q (j) (p q) (q p) (k) (p q) r (l) (p p) p (m) ( p) [p ( q)] (n) (p p) p (o) ( p) q (p) ( q) ( p) (q) p ( p) (r) p (q r) (s) (p q) r (t) (p q) [p (q r) p (p r) (u) (p q) (p r) (v) p q) [(p q) (q r)] (w) (p q) (p r) (x) p (q r) (y) (p q r) ( p q r) ( p q r) (z) (p q) [p (q r) p (q r)] 6. Transforme a proposição algébrica A equação x 2 3x+2 = 0 tem solução em uma linguagem usando quantificador. Qual é o universo aqui? 7. Encontre as negações de cada uma das seguintes proposições: (a) Todas as cobras são répteis. (b) Alguns matemáticos não são sociáveis. (c) Alguns cavalos são dóceis. 8. (MPOG/2001) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: (a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. (b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. (c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. (d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. (e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 9. (AFC / ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: (a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. (b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 17

18 (c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. (d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. (e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 18

19 Respostas 1. (a) Paulo é aprovado no exame e concluiu sua tese ou Paulo não recebeu o título de doutro. (b) Se Paulo não é aprovado no exame e não concluiu a sua tese, então Paulo não lecionará na faculdade. (c) Paulo é aprovado no exame, concluiu a sua tese e recebeu o título de doutor, então Paulo ensinará no colégio. (d) Se Paulo recebe o título de doutor, então lecionará na faculdade ou não ensinará no colégio. (e) Se Paulo recebe o título de doutor, então se é aprovado no exame, conclui a sua tese. (f) Se Paulo não é aprovado no exame, então se não recebe o título de doutor e lecionará na faculdade. (g) Paulo lecionará na faculdade se, e somente se, é aprovado no exame, conclui a sua tese e recebe o título de doutor. (h) Paulo ensinará no colégio se, e somente se, não recebe o título de doutor. 2. (a) S R (b) S Q (c) (S R) R (d) R P (e) P ( S Q) (f) R P 3. (a) π é um número irracional ou 2 é um número primo (b) π é um número irracional, então 2 não é um número primo se, e somente, se 2 é um número primo, então π é um número irracional. (c) Se 2 não é um número primo, então π é um número irracional. 4. (a) Não está frio. (b) Está frio e está chovendo. (c) Está frio ou está chovendo. (d) Está frio se, e somente se, está chovendo. (e) Se está frio, então não está chovendo. (f) Está frio ou não está chovendo. (g) Não está frio e não está chovendo. (h) Está frio se, e somente se, não está chovendo. (i) Está frio. (j) Se não está frio, então está chovendo. 5. Use Calculadora Online - Tabela erdade 1 6. ( x)(x 2 3x+2 = 0) U = {1,2} 7. (a) Existem cobras que não são répteis. 8. (d) 9. (a) (b) Todos os matemáticos são sociáveis. (c) Todos os cavalos não são dóceis

20 Referências [1] IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. 9a. ed. São Paulo: Atual Editora. v [2] BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; FILHO, O. M. S. Introdução à lógica matemática. São Paulo: CENGAGE LEARNING,

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