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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 1 - Seção 1.3 do livro texto da disciplina: Números e Funções Reais, E. L. Lima, Coleção PROFMAT. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 1/12

2 Números e Funções Reais O complementar de um conjunto Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Complementar A noção de complementar de um conjunto só faz pleno sentido quando se fixa um conjunto U, chamado o universo do discurso, ou conjunto-universo. E. L. Lima. Números e funções reais. Observação: Uma vez fixado o conjunto-universo U, todos os elementos estudados serão elementos de U e todos os conjuntos serão subconjuntos de U. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 3/12

4 Complementar Definição Dado um conjunto A (portanto subconjunto de U), definimos o complementar de A, denotado por A c, como sendo o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Isto é: A c = {x U / x / A}. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 4/12

5 Complementar Princípio do terceiro excluido Dados um conjunto A e um elemento x U, só existem as opções x A ou x / A. Princípio da não-contradição Dados um conjunto A e um elemento x U, as alternativas x A e x / A não ocorrem simultaneamente. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 5/12

6 Regras operacionais Seguem dos princípios anteriores as seguintes regras operacionais: 1) A U, (A c ) c = A; 2) A B B c A c ; 3) A B B c A c PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 6/12

7 Regras operacionais Sejam P e Q propriedades sobre os elementos de U. Denotamos por P e Q as negações de P e Q, respectivamente. Sejam A e B os conjuntos formados pelos elementos de U que gozam, respectivamente, das propriedades P e Q. Desta forma, a regra 3) acima lê-se da seguinte forma: 4) P Q se, e somente se, Q P. A implicação Q P chama-se a contrapositiva da implicação P Q. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 7/12

8 Regras operacionais A equivalência 4) é a base da demonstração por absurdo. Exemplo: Sejam U o conjunto dos números inteiros positivos, P a propriedade que x U tem de ser primo maior que 2 e Q a propriedade de x U ser ímpar. Neste caso, P é a propriedade que um número inteiro positivo tem de ser igual a dois ou não ser primo e Q é a propriedade que um número positivo tem de ser par. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 8/12

9 Regras operacionais A implicação P Q lê-se assim: Se x é um número primo maior do que 2, então x é um número positivo ímpar. Por outro lado, a implicação Q P lê-se assim: Se x é um número positivo par, então x é igual a 2 ou não é número positivo primo. Entretanto, como pela relação 4) acima P Q se, e somente se, Q P, segue-se que as afirmações anteriores são exencialmente a mesma coisa dita em outras palavras. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 9/12

10 Exercício Exercício Mostre que a equação irracional possui uma única solução real. x + 6 x = 0 Solução: Na sequência abaixo, as letras P, Q, R, S e T representam as condições sobre x, expressas ao lado. Assim, (P) x + 6 x = 0; (Q) x = 6 x; (R) x 2 = 6 x; (S) x 2 + x 6 = 0; (T ) x { 3, 2}. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 10/12

11 Exercício É evidente que P Q R S T e portanto P T. Desta forma, a única conclusão que temos é que toda raiz de x + 6 x = 0 pertence ao conjunto { 3, 2} e nada mais. Observamos aqui que a implicação P T não pode ser revertida. Sua recíproca é falsa pois 2 não é raíz, tendo em vista que = = 4 0. Portanto, como ( 3) = = 0, segue-se que a única raiz da equação é x = 3. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 11/12

12 Exercício Obrigado. PROFMAT - SBM Números e Funções Reais, O complementar de um conjunto slide 12/12