Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

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1 Lógica Fernando Fontes Universidade do Minho Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65

2 Outline 1 Introdução 2 Implicações e Equivalências Lógicas 3 Mapas de Karnaugh 4 Lógica de Predicados 5 Argumentação Matemática 6 Indução Matemática Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 2 / 65

3 Lógica Introdução Importância da lógica: Precisar argumentos matemáticos Verificar a sua validade Programação de computadores Verificar a correcção de algoritmos Circuitos electrónicos digitais Definição Uma proposição é uma afirmação que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 3 / 65

4 Introdução Exemplos de proposições: Guimarães é a capital de Portugal. x + y = y + x para quaisquer x, y R. A milionésima casa decimal de π é 5. (Não precisamos de saber o valor para considerarmos se é proposição) 4 é positivo e 3 é negativo. Se hoje é Domingo, então = 3. Contra exemplos: Vamos almoçar? Estejamos atentos! x y = y x (Para que valores de x e y?) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 4 / 65

5 Cálculo Proposicional I Introdução Valores Lógicos: Verdadeiro, representado por V ou 1. Falso, representado por F ou 0. Operadores Lógicos: Negação: Negação de p é representado por p (também representado por p em expressões lógicas). p é verdadeiro se p for falso e é falso se p for verdadeiro. Exemplo: p: Hoje é Domingo. p: Hoje não é Domingo. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 5 / 65

6 Cálculo Proposicional II Introdução E(Conjunção): A conjunção de p e q é representada por p q (também por p.q ou pq). p q é verdadeiro se p e q forem ambos verdadeiros. É falso se p for falso ou se q for falso (ou ambos). Exemplo: q: Hoje está a chover. p q: Hoje é Domingo e está a chover. OU(Disjunção): Disjunção de p ou q é representada por p q. p q é verdadeiro se p for verdadeiro ou se q for verdadeiro. É falso se p e q forem ambos falsos. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 6 / 65

7 Tabelas de verdade I Introdução NEGAÇÃO p p CONJUNÇÃO p q p q DISJUNÇÃO p q p q (Tem que explicitar todas as combinações possíveis.) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 7 / 65

8 Tabelas de verdade II Introdução (p q) ( r) p q r p q r (p q) ( r) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 8 / 65

9 Outros Operadores Lógicos I Introdução OU EXCLUSIVO: representado por p q. p q é verdadeiro quando exactamente uma das proposições p ou q é verdadeira. É falso quando p e q tiverem o mesmo valor lógico. p q p q Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 9 / 65

10 Introdução Outros Operadores Lógicos II IMPLICAÇÃO (material): p implica q é representado por p q. p q é falso quando p é verdadeiro e q é falso. É verdadeiro em qualquer outro caso. p q p q Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 10 / 65

11 Introdução Outros Operadores Lógicos III Podemos ler p q como: p implica q Se p então q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p q sempre que p q se p Numa implicação p q chamamos: A p a hipótese, o antecedente ou a premissa. A q a conclusão, ou consequência. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 11 / 65

12 Introdução Outros Operadores Lógicos IV EQUIVALÊNCIA (material): p equivale a q, ou p se e só se q, representado por p q. p q é verdadeiro se p e q tiverem os mesmos valores lógicos. É falso no outro caso. p q p q Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 12 / 65

13 Expressões Lógicas I Introdução Regras de Precedência: precedência mais alta,, nível de precedência seguinte, precedência mais baixa Exemplo: p q p q deve ler-se como: (p ( q)) (( p) q) Atenção a expressões ambíguas do tipo p q r ou do tipo p q r. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 13 / 65

14 Expressões Lógicas II Introdução Exercício: Verifique que (p q) r tem uma tabela de verdade diferente de p (q r). Verifique que (p q) r tem uma tabela de verdade diferente de p (q r). Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 14 / 65

15 Implicações e Equivalências Lógicas Implicações e Equivalências Lógicas I Definição Uma expressão lógica que seja sempre verdadeira (quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem) é chamada uma Tautologia. Definição Uma expressão lógica que seja sempre falsa é chamada uma Contradição. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 15 / 65

16 Implicações e Equivalências Lógicas Implicações e Equivalências Lógicas II Exemplo p p é uma tautologia. p p é uma contradição. p p p p p q Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 16 / 65

17 Implicações e Equivalências Lógicas Implicações e Equivalências Lógicas III Exercício Verifique que são tautologias as seguintes expressões: 1 (a b) ( a b) 2 (a b) (( a) b) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 17 / 65

18 Implicações e Equivalências Lógicas Equivalência Lógica ( ) I Dizemos que uma expressão lógica f 1 é logicamente equivalente a outra expressão f 2 se e só se os valores lógicos de ambas as expressões forem iguais quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que as compõem. Isto é, as últimas colunas das tabelas de verdade de f 1 e f 2 são iguais. Conclui-se que: f 1 f 2 se e só se f 1 f 2 é uma tautologia. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 18 / 65

19 Implicações e Equivalências Lógicas Equivalência Lógica ( ) II As equivalências lógicas são úteis para simplificar expressões. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 19 / 65

20 Implicações e Equivalências Lógicas Equivalência Lógica ( ) III Exercício: Verifique as leis de De Morgan: (p q) ( p q) (p q) ( p q) Verifique p q p q Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 20 / 65

21 Implicações e Equivalências Lógicas Implicação Lógica ( ) I Dizemos que uma expressão lógica f 1 IMPLICA LOGICAMENTE outra expressão f 2 se e só se quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que compõem f 1 e que tornam f 1 verdadeira, também tornam f 2 verdadeira. Isto é, sempre que na última coluna da tabela de verdade de f 1 ocorrer um valor verdadeiro, terá que ser também verdadeiro o valor correspondente na última coluna da tabela de verdade de f 2. Conclui-se que: f 1 f 2 se e só se f 1 f 2 é uma tautologia. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 21 / 65

22 Implicações e Equivalências Lógicas Implicação Lógica ( ) II As implicações lógicas são úteis na demonstração de argumentos matemáticos. Exercício:Verifique o seguinte argumento de redução ao absurdo: Se p implica uma contradição, então p é verdadeiro. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 22 / 65

23 Implicações e Equivalências Lógicas Implicação Lógica ( ) III Forma normal disjuntiva: Expressão na forma de disjunção de termos compostos por conjunções e negações. Exemplo: ( p q r) (p q r) ( p r) Forma normal conjuntiva: Expressão na forma de conjunções de termos compostos por disjunções e negações. Exemplo: ( p q r) (p q r) ( p r) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 23 / 65

24 Implicações e Equivalências Lógicas Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. I Exemplo: p q p q Considere as linhas da tabela que dão resultado verdadeiro. No exemplo 2 a e 3 a linhas. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 24 / 65

25 Implicações e Equivalências Lógicas Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. II 2 Para cada uma dessas linhas conjugue as entradas verdadeiras com a negação das entradas falsas. No exemplo: 2 a linha: p q 3 a linhas: p q 3 Faça a disjunção das expressões obtidas para cada linha. No exemplo: ( p q) (p q) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 25 / 65

26 Implicações e Equivalências Lógicas Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. III Exercício: Transforme na forma normal disjuntiva as seguintes expressões: 1 (p q) r 2 ( p q) (r p) Expressões na forma normal disjuntiva são habitualmente escritas representando a conjunção a b por a b ou ab (com precedência superior à disjunção) e a negação a por a. Assim, (p q r) (p q r) poderá ser representado como pqr pqr Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 26 / 65

27 Implicações e Equivalências Lógicas Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de verdade. IV Uma das simplificações mais usuais de expressões na forma normal disjuntiva é agrupar termos que diferem apenas no valor de uma das variáveis. (termos adjacentes) Exemplo: abc abc = ab(c c) = ab 1 = ab Se tivermos expressões mais complexas poderá não ser tão fácil identificar as possíveis simplificações. Exemplo: abcd abcd abcd abcd abcd =? poderemos recorrer a métodos gráficos para simplificar. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 27 / 65

28 Mapas de Karnaugh I Mapas de Karnaugh Método gráfico para simplificar expressões lógicas na forma normal disjuntiva que não tenham um número muito elevado de variáveis (tipicamente até 6 variáveis). Mapas de Karnaugh para expressões de 2 variáveis a) xy xy b) xy xy c) xy xy xy d) x y Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 28 / 65

29 Mapas de Karnaugh II Mapas de Karnaugh Objectivo: Agrupar células adjacentes formando blocos. Blocos com 2 células termos com uma variável Blocos com 1 célula termos com 2 variáveis. Cobrir o mapa com blocos de tamanho o maior possível. a) y b)xy xy c) x y d) x y Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 29 / 65

30 Mapas de Karnaugh Mapas de Karnaugh III Mapas de Karnaugh para expressões de 3 variáveis f = f (x, y, z) Células adjacentes diferem apenas numa variável. 1 a célula é adjacente à 4 a coluna! Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 30 / 65

31 Mapas de Karnaugh IV Mapas de Karnaugh Blocos com 1 célula termo com 3 variáveis Blocos com 2 células termos com 2 variáveis. Blocos com 4 células termos com 1 variável. Exemplo xyz xyz yz x Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 31 / 65

32 Mapas de Karnaugh V Mapas de Karnaugh Objectivo da simplificação: Cobrir o mapa com blocos (formados por células adjacentes) de tamanho o maior possível (e com o menor número possível de blocos). Questão: Como cobrir o mapa anterior com 3 blocos de 4 elementos. Solução: x y z Exercício: Simplifique as seguintes expressões: xy xyz xyz yz xyz xy Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 32 / 65

33 Mapas de Karnaugh VI Mapas de Karnaugh Mapas de Karnaugh para expressões de 4 variáveis Células adjacentes diferem apenas numa variável 1 a coluna é adjacente à 4 a coluna! 1 a linha é adjacente à 4 a linha! Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 33 / 65

34 Mapas de Karnaugh VII Mapas de Karnaugh Exemplo: f (x, y, w, z) = xywz xywz xywz xywz Um bloco de 4 células adjacentes! f (x, y, w, z) = yz Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 34 / 65

35 Lógica de Predicados Lógica de Predicados Considere as afirmações: P(x): x > 3 Q(x, y): x = y + 3 R(x, y, z): x + y z é par Estas afirmações não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas enquanto os valores para as variáveis não forem especificadas. Mas, P(2) é falso Q(6, 3) é verdadeiro R(2, 2, 3) é falso Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 35 / 65

36 Quantificadores Lógica de Predicados Definição: Um predicado ou função proposicional é uma afirmação envolvendo variáveis tal que qualquer substituição de cada variável por um ponto do seu domínio, torna a afirmação numa proposição. Quantificadores Uma alternativa a atribuir valores específicos às variáveis de um predicado é utilizar quantificadores que também transformam os predicados em proposições. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 36 / 65

37 Lógica de Predicados Quantificador Universal I x P(x) Para todo o x P(x) Qualquer que seja x P(x) Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, a proposição P(x) é verdadeira. O universo poderá (e deverá) ser especificado quando há ambiguidades Exemplo: x R x 2 0 é uma proposição verdadeira. x 2 0 é uma proposição falsa. x C Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 37 / 65

38 Lógica de Predicados Quantificador Universal II Quando o universo do discurso é finito Exemplo: x {1, 2, 3, 4} A proposição x {1,2,3,4} P(x) pode ser escrita como conjunção P(1) P(2) P(3) P(4) (i.e. P tem que ser verdadeiro para 1, 2, 3 e 4) Exercício: x P(x, y) é Predicado ou Proposição? Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 38 / 65

39 Lógica de Predicados Quantificador Existencial, I x P(x) Existe um x tal que P(x). Existe pelo menos um x tal que P(x). Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposição P(x) é verdadeira. Da mesma maneira o universo poderá ser especificado x R x N 2x = 1 é verdadeiro 2x = 1 é falso Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 39 / 65

40 Lógica de Predicados Quantificador Existencial, II Quando o universo é finito a proposição x {1,2,3,4} P(x) é o mesmo que a disjunção P(1) P(2) P(3) P(4). Exercício: Justifique que ( x P(x)) ( x P(x)). Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 40 / 65

41 Lógica de Predicados Quantificador Existencial, III x P(x) Logo, Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os valores de x. Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x) é falso. ( x P(x)) x ( P(x)) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 41 / 65

42 Lógica de Predicados Quantificador Existencial, IV x P(x) Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para o qual P(x) é verdadeiro. Para ser falso teremos que mostrar que não há nenhum exemplo de um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Por outras palavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos os valores de x. Logo, ( x P(x)) x ( P(x)) Exercício: Utilize as Leis de Morgan para verificar as expressões anteriores para um universo finito {1, 2, 3, 4}. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 42 / 65

43 Lógica de Predicados Quantificador Existencial, V Atenção à ordem dos quantificadores! Exemplo: Qual o valor lógico das seguintes proposições? P : x {1,2} y {1,2} x = y Q : y {1,2} x {1,2} x = y P é verdadeiro! Q é falso! Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 43 / 65

44 Lógica de Predicados Tradução de linguagem natural para expressões lógicas I Exemplo 1: Toda a gente tem um bom amigo. Seja B(x, y) : y é um bom amigo de x. x y B(x, y). Exemplo 2: Há alguém que é bom amigo de toda a gente. y x B(x, y). Exemplo 3: Toda a gente tem exactamente um melhor amigo. Seja M(x, y) : y é o melhor amigo de x. x y z (M(x, y) (z y)) M(x, y). Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 44 / 65

45 Lógica de Predicados Tradução de linguagem natural para expressões lógicas II Exemplo 4: O Marco Paulo tem pelo menos 2 amores. Seja A(x): x é o amor do Marco Paulo. x y A(x) A(y) (x y). Exemplo 5: O Marco Paulo tem exactamente 2 amores. x y z [A(x) A(y) (x y) (x z) (y z)] A(z). Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 45 / 65

46 Argumentação Matemática Argumentação Matemática I Como verificar se um argumento matemático está correcto? Como cosntruir argumentos matemáticos que permitam mostrar que uma proposição ou teorema são verdadeiros? Um TEOREMA é uma afirmação que se pode mostrar ser verdadeira. Um teorema é habitualmente escrito na forma: H 1 H 2... H n C em que as proposições: H 1, H 2,..., H n são as HIPÓTESES C é a CONCLUSÃO. Lemas e Corolários são casos particulares de teoremas. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 46 / 65

47 Argumentação Matemática Argumentação Matemática II Lemas sem importância própria, usados na demonstração de outros teoremas. Corolários são casos particulares de um teorema. Uma Demonstração de um teorema consiste numa sequência de proposições que termina na conclusão (C) e que são Válidas. Para uma proposição de uma demonstração ser válida deverá ser: ou uma das hipóteses (H 1, H 2,...), uma tautologia conhecida, derivar de uma proposição anterior por substituição de variáveis livres (ie variáveis não associadas a um quantificador), ou derivar de proposições anteriores por Regras de Inferência. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 47 / 65

48 Regras de Inferência I Argumentação Matemática P 1 P 2. P k Q lê-se: P 1, P 2,, P k logo Q Significado: P 1 P 2... P k Q Algumas regras de inferência mais usuais: Regra Tautologia Nome p p q p (p q) Adição p q p (p q) p Simplificação Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 48 / 65

49 Argumentação Matemática Regras de Inferência II Regra Tautologia Nome p p q [p (p q)] q Modus Ponens (destacamento) q p p q p [ q (p q)] p Modus Tollens p q q r p r [(p q) (q r)] (p r) Silogismo de hipótese p q p q [(p q) p] q Silogismo de Disjunção Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 49 / 65

50 Regras de Inferência III Argumentação Matemática Exemplo 1 Verifique formalmente o seguinte argumento: Está frio. Logo está frio ou está chuva. p: está frio q: está chuva 1 p por hipótese 2 p q por 1 e adição. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 50 / 65

51 Regras de Inferência IV Argumentação Matemática Exemplo 2 Verifique o argumento: Se hoje estiver sol vou à praia. Hoje está sol. Logo vou à praia. p: está sol q: vou à praia 1 p q por hipótese 2 p por hipótese 3 q por 1,2 e Modus Ponens. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 51 / 65

52 Regras de Inferência V Argumentação Matemática Exemplo 3 Verifique o seguinte argumento: Se eu estudar ou se eu for um génio, então vou passar a MD Se eu passar a MD vou ter umas boas férias. Logo, se eu não tiver umas boas férias não sou um génio. Uma possível demonstração: e: eu estudo g: eu sou um génio p: vou passar a MD f : vou ter umas boas férias Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 52 / 65

53 Regras de Inferência VI Argumentação Matemática 1 e g p por hipótese 2 p f por hipótese 3 g e g adição 4 g g e 3, comutatividade da disjunção 5 g p 4,1, silogismo da hipótese 6 g f 5,2, silogismo da hipótese 7 f g 6, contrapositivo. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 53 / 65

54 Argumentação Matemática Técnicas de Demonstração I Demonstração Directa H 1 H 2... H n C Começando pelas hipótese e usando as regras de inferência, tautologias e outras proposições válidas tentar chegar à conclusão C. Demonstração por Contradição (redução ao absurdo) H 1 H 2... H n C contradição Demonstração do contrapositivo C (H 1 H 2... H n ) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 54 / 65

55 Argumentação Matemática Técnicas de Demonstração II Demonstração por enumeração dos casos Usa o facto que H 1 H 2... H n C é equivalente a (H 1 C) (H 2 C)... (H n C) Cada um pode ser mostrado separadamente. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 55 / 65

56 Argumentação Matemática Técnicas de Demonstração III Exemplo Mostre que se 3n + 2 é ímpar, então n também é ímpar i) por contradição ii) por contrapositivo i) Por contradição (3n + 2 é ímpar) (n é par) contradição Por hipótese: 3n + 2 = 2k + 1 para algum k inteiro n = 2l para algum l inteiro Mas 3n + 2 = 3(2l) + 2 = 6l + 2 = 2k + 1 Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 56 / 65

57 Argumentação Matemática Técnicas de Demonstração IV Da última igualdade k = 6l+1 2 = 3l Como k e l são inteiros, temos uma contradição. ii) Pelo contrapositivo (n par) (3n + 2 par) Por hipótese n = 2k, k inteiro Donde 4n + 2 = 3(2k) + 2 = 2(3k + 1) é par. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 57 / 65

58 Argumentação Matemática Técnicas de Demonstração V Exemplo: Mostre que se n não é divisível por 3 então a divisão de n 2 por 3 dá sempre resto 1. (Sugestão: use enumeração de casos) i) Resto 1. n = 3k + 1, k inteiro ii) Resto 2. n = 3k + 2, k inteiro i) n 2 = (3k + 1) 2 = 9k 2 + 3k + 1 = 3(3k 2 + k) + 1, resto 1. ii) n 2 = (3k + 2) 2 = 9k 2 + 6k + 4 = 3(3k 2 + 2k + 1) + 1, resto 1. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 58 / 65

59 Indução Matemática Indução Matemática Técnica de demonstração de teoremas do tipo: P(n) é verdadeiro para qualquer inteiro positivo n. Exemplo: Mostre que o somatório dos n primeiros inteiros é igual a n(n+1) 2, para qualquer n inteiro positivo n. É fácil verificar para os primeiros Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 59 / 65

60 Indução Matemática 1 = = = = 6 = = 10 = Mas por enumeração não conseguimos mostrar para todos os inteiros positivos n. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 60 / 65

61 Indução Matemática I Indução Matemática 1 Passo de Base: Mostrar que P(1) é verdadeiro. 2 Passo de Indução: Assumindo que P(k) é verdadeiro, mostrar que P(k + 1) também é verdadeiro, para qualquer k. (i.e. P(k) P(k + 1), k ) Expressando a Indução Matemática como uma Regra de Inferência: P(1) P(k) P(k + 1), k N P(n), k N Ou como [P(1) (P(k) P(k + 1), k N)] P(n), n N Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 61 / 65

62 Indução Matemática II Indução Matemática O somatório dos n primeiros inteiros é igual a n(n+1) 2 Demonstração por indução matemática 1 Passo de base P(1) : 1 = = 1 verdadeiro 2 Passo de indução (P(k) P(k + 1)) P(k) : k = k k+1 2 P(k + 1) : k + (k + 1) = (k + 1) k+2 2 P(k) k = k(k+1) k + (k + 1) = (k+1)(k+2) 2 + (k + 1) Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 62 / 65

63 Indução Matemática III Indução Matemática k + (k + 1) = k(k+1)+2(k+1) k + (k + 1) = (k+1)(k+2) 2 P(k + 1) Verdadeiro Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 63 / 65

64 Interpretação I Indução Matemática O primeiro dominó tomba. Se um qualquer dominó tombar, então o seguinte tomba também. todos os dominós tombam. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 64 / 65

65 Interpretação II Indução Matemática Exercício: Mostre a fórmula da soma de uma progressão geométrica n r i = r r n 1 r 1. n=1 Mostre que 2 n < n! para n 4. Se o cardinal de um conjunto A for n, então o número de subconjuntos de A é igual a 2 n. Mostre por indução. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 65 / 65

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