Lógica Proposicional (cont.)

Transcrição

1 Lógica Proposicional (cont.) Conectivos lógicos Conjunção (e: ^) Disjunção (ou: v) Negação (não : ~) Condicional (se...então: ) Bicondicional (se somente se: ) 1

2 Negação de um proposição composta Negar uma proposição simples. p: João é médico. ~p: João não é médico. Ou ~p: É falso que João é médico Como negar uma proposição composta? Vai depender da estrutura da proposição. 2

3 Negação de uma proposição conjuntiva: ~(p e q) w: João é médico e Pedro é analista p: João é médico q: Pedro é analista ~p: João não é médico ~q: Pedro não é analista Em linguagem lógica: ~(p ^ q) = ~p v ~q p q p^q ~p ~q (~p)^(~q) ~(p^q) pvq (~p)v(~q) V V V F F F F V F V F F F V F V V V F V F V F F V V V F F F V V V V F V ~w: João não é médico ou Pedro não é analista 3

4 Negação de uma proposição disjuntiva: ~(p ou q) w: Pedro não é dentista ou Paulo é engenheiro p: Pedro não é dentista q: Paulo é engenheiro ~p: Pedro é dentista ~q: Paulo não é engenheiro Em linguagem lógica: ~(p v q) = ~p ~q p q pvq ~p ~q (~p)v(~q) ~(pvq) p^q ~p ^ ~q V V V F F F F V F V F V F V V F F F F V V V F V F F F F F F V V V V F V ~w: Pedro é dentista e Paulo não é engenheiro. 4

5 Negação de uma proposição condicional: ~(p q) w: Se chover, então levarei o guarda-chuva p: se chover q: levarei o guarda-chuva ~p: chove ~q: não levarei o guarda-chuva Em linguagem lógica: ~(p q) = p ~q p q p q ~p ~q ~(p q) ~p ~q ~p q p ~q p^~q V V V F F F V V F F V F F F V V V V V V F v V V F F F V V F F F V V V F V F V F ~w: Chove e eu não levo o guarda-chuva 5

6 Negação do bicondicional: ~(p q) w: trabalharei se somente se ganhar salário p: trabalharei q: ganhar salário ~p: não trabalharei ~q: não ganho salário Em linguagem lógica: ~(p q) = [(p e ~q) ou (q e ~p)] p q ~p ~q p q ~(p q) A= p^~q B= q^~p AvB V V F F V F F F F V F F V F V V F V F V V F F V F V V F F V V V F F F F ~w: não trabalharei se somente se não ganho salário 6

7 Ordem de precedência dos conectivos lógicos. Primeiramente obedece os delimitadores, {[( )]} depois segue a ordem: 1º negação (~) 2º conjunção e disjunção (, ) 3º implicação ( ) 4º bicondicional ( ) 7

8 Exemplo: Lógica Matemática Elementos de Lógica Digital F(p,q,r)=(p ~q) (q v ~r) Lê-se: Se p e não q, então q ou não r 8

9 Tabela verdade Trata-se de uma tabela mediante a qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. 1 proposição = 2 combinações (V, F) 2 proposições = 4 combinações (VV, VF, FV, FF) 3 proposições = 8 combinações... (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) N proposições = 2 N combinações Assim: Nº linhas da Tabela-Verdade = 2 nº de proposições 9

10 Tautologia Lógica Matemática Elementos de Lógica Digital Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r,... que a compõem. A proposição (p q) (p V q) é uma tautologia Ex.: F(p,q,s)=[(p v q) (p s)] p, verifique se é uma Tautologia. 10

11 Contradição Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r,... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q,r... que a compõem. A proposição p ~p é uma contradição 11

12 Contingência Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia ou uma contradição. A proposição p (p q) é uma contingência. 12

13 Equivalência Lógica De acordo com os valores lógicos que as proposições compostas assumem, em suas possíveis interpretações, elas podem ser classificadas em vários tipos: se a expressão assume sempre o valor V, em qualquer interpretação, é chamada uma tautologia, ou uma expressão válida; se a expressão assume o valor V em alguma interpretação, é dita satisfatível, ou consistente; evidentemente, as tautologias são exemplos de expressões satisfatíveis; se a expressão assume sempre o valor F, em qualquer interpretação, é chamada uma contradição, ou uma expressão insatisfatível, ou inconsistente. se a expressão assume o valor F em alguma interpretação, é chamada uma expressão inválida; claramente, as contradições são, também, expressões inválidas; 13

14 Exercícios fixação 1) Dê o valor lógico das proposições a) (8>2) ^(4 4) b) (6< 10).(6> ⅓) c) (7<2) +[(4-3) 1] d) (5>8) (4>3) e) (4<2) + (2<4) f) (8-3 = 5) (2 2) g) (8-10=2) (6-2=4) h) (4-2) (8-2=15) i) ~(4 >5) ^ (⅕ > ⅓) 14

15 2) A proposição Se Marcos não estuda, então Pedro não passeia equivale dizer: a) Marcos estudar é condição necessária para Pedro não passear b) Marcos estudar é condição suficiente para Pedro não passear c) Marcos não estudar é condição necessária para Pedro não Passear d) Marcos não estudar é condição suficiente para Pedro passear e) Marcos estudar é condição suficiente para Pedro passear 15

16 3) Sejam as proposições: p: Está frio e q: Está chovendo. Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~p b) p.q c) p+q d) p q e) p ~q f) p v ~q g) ~p^~q h) ~~q 16

17 4) Verifique se as afirmações dadas são suficientes para determinar o valor da expressão: a) (p q) r, onde r tem valor lógico V b) (p+r)+(s q), onde q tem valor lógico F c) [(p+q) (p.q)] [(r.p)+q], onde q tem valor lógico V d) [(p q) p], onde q tem valor lógico V 17

18 5) Considerando Vl(p)=F; Vl(q)=V; Vl(x)=F e Vl(y)=V, determine: a) Vl([(p+q).(x+y)] p)= b) Vl(x.y p)= c) Vl(p.y.p.x)= 18

19 Sistemas dicotômicos 19

20 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Sistemas dicotômicos Chama-se interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico que pode assumir um dos dois estados: Fechado (1) Aberto (0) Quando fechado o interruptor permite que a corrente passe através do ponto. Quando aberto nenhuma corrente pode passar através do ponto. Representação:

21 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo. Numa ligação em paralelo só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado. Denotamos um circuito em paralelo por a+b Essa ligação descreve a seguinte tabela: a b a + b Observe que essa tabela é equivalente a proposição ou da lógica proposicional

22 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa ligação em serie só passará corrente se ambos interruptores estiverem fechados. Denotamos um circuito em série por a.b Essa ligação descreve a seguinte tabela: a b a. b Observe que essa tabela é equivalente a proposição e da lógica proposicional

23 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Se um interruptor apresenta aberto quando a fechado e apresenta fechado quando a aberto, chamamos de inversão (negação) e denotamos por ~a ou. A tabela verdade a ~ a Equivale a negação da lógica proposicional

24 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Com a combinação de interruptores podemos criar expressões mais complexas Ex. S = a.(b+c) + a.(b +c ) Cuja tabela é...

25 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Descreva as expressões dada pelos circuitos S = S =

26 Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital Desenhe os circuito dado pelas expressões: a) p.(q.(s+r)+r.s)+(q+p ).(r.s +s) b) a. (b+c+d) Próxima aula: Circuitos digitais