Cálculo proposicional

Transcrição

1 O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais e regras gerais do pensamento correto e verdadeiro, independentemente dos conteúdos pensados; regras para demonstração científica verdadeira; regras para pensamento não científicos; regras sobre o modo de expor o conhecimento; regras para verificação da verdade ou falsidade de um pensamento etc. (Chauí, 2002, apud Souza, 2002) Abordagens introdutórias: Lógica proposicional Lógica de predicados 1

2 Argumento: sequência de afirmações para demonstrar a validade de uma asserção. Forma de um argumento: conceito central da lógica dedutiva. Como saber que a conclusão obtida de um argumento é válida? As afirmações que compõem o argumento são aceitas como válidas, ou podem ser deduzidas de afirmações anteriores. Em lógica, forma de um argumento é diferente de seu conteúdo. Análise lógica não determina a validade do conteúdo de um argumento. Análise lógica determina se a verdade de uma conclusão pode ser obtida da verdade de argumentos propostos. Lógica: Ciência do Raciocínio 2

3 Argumento (definição): - Um argumento é uma sequencia de afirmações; - Todas as afirmações, exceto a última, são chamadas de premissas ou suposições ou hipótese; - A última afirmação é chamada de conclusão. Alguns fatos sobre argumentos do ponto de vista da matemática e da lógica: - Um argumento não é uma disputa; - Um argumento é uma sequencia de comandos que termina numa conclusão; - Um argumento válido significa que a conclusão pode ser obtida necessariamente das afirmações que o precedem; Em geral utiliza-se o símbolo ( - de onde se conclui ), para indicar a conclusão. 3

4 Forma de um Argumento x Seu Conteúdo Se a sintaxe de um programa esta errada ou Se a execução do programa resulta numa divisão por zero, então o computador irá gerar uma mensagem de erro. Computador não gera uma mensagem de erro Sintaxe do programa está correta e Execução do programa não resulta em divisão por zero. 4

5 Formas de um argumento x seu conteúdo Nos exemplos, temos que o conteúdo dos argumentos é diferente. No entanto, a forma lógica é a mesma. Argumentos na forma lógica são normalmente representados por letras minúsculas do alfabeto. Ex.: p, q. r,... Em geral, as definições da lógica formal estão de acordo com a lógica natural ou intuitiva das pessoas de bom senso. O formalismo é introduzido para evitar ambiguidades e garantir consistência. 5

6 Proposições. Em toda teoria matemática, usam-se termos já definidos na concepção de novas definições. Mas como fazer com os termos mais primitivos? - termos primitivos ou iniciais não são definidos. - em lógica, os termos primitivos são: sentenças, verdadeiro, e falso. Definição: Uma afirmação ou proposição é uma sentença que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas. 6

7 Proposições. 7

8 Proposições compostas. Usaremos as letras minúsculas (ex.: p, q, r,...) para representar proposições. Os seguintes símbolos podem ser usados para definir expressões lógicas mais complexas, a partir de expressões mais simples: a) ou ~ ou barra sobre a letra ou linha : representam o não y: lê-se não y outras formas ~y, y e ȳ a) Λ: representa o conectivo e, conjunção de p e q p Λ q: lê-se p e q a) v : representa o conectivo ou, disjunção de p e q p v q: lê-se p ou q Usaremos o termo fórmula (indicado por : α, β,...) para as proposições simples (p, q, r) e compostas (p v q; ~p; p r, [(p v q) q]...). Ao resultado do valor lógico atribuído a cada fórmula, denominaremos interpretação e indicaremos por I. 8

9 Proposições compostas. Tradução da linguagem natural para a algébrica 9

10 Para uma sentença ser uma proposição é necessário ter um valor-verdade bem definido, isto é, V ou F. 10

11 Construa a tabela verdade para a expressão:. O ponto fundamental em assinalar valores-verdade para proposições compostas é permitir o uso da lógica para decidir a verdade de uma proposição usando somente o conhecimento das partes. A lógica não ajuda a determinar a verdade ou falsidade de uma afirmação em si, ou seja, seu conteúdo. 11

12 Equivalência lógica. Definição: duas proposições p e q são equivalentes logicamente se e somente se os valores-verdade obtidos forem idênticos para cada combinação possível das variáveis que formam as proposições. Exemplo: Como verificar se duas proposições são equivalentes logicamente? 12

13 Sejam as afirmações: - p = João é alto. - q = José é ruivo. A proposição (p Λ q) é verdadeira se somente se os componentes forem verdadeiras. Quando a proposição é falsa? - quando um dos componentes ou ambos forem falsos, ou seja, quando: Mostre as seguintes equivalências: Essas equivalências ( ) são conhecidas como Lei de De Morgan, que foi o primeiro a expressá-las em termos matemáticos. 13

14 Apesar das leis da lógica serem extremamente úteis, elas devem ser usadas como uma ajuda ao raciocínio e não como um substituto mecânico a inteligência. Equivalência lógica é muito útil na construção de argumentos. 14

15 Proposição condicional ou implicação. - Se p então q (ou p implica q) é representado simbolicamente por p q, - onde p é chamado de hipótese e q de conclusão. Essa sentença é denominada de condicional. Esse tipo de sentença é usado tanto na linguagem natural quanto em raciocínio matemático para dizer que a verdade da proposição q (conclusão) está condicionada a verdade da proposição p (hipótese). - Ex. se (48 é divisível por 6) =[p], então (48 é divisível por 3) =[q]. - Se João estuda =[p], então sai bem na prova =[q]. 15

16 Proposição condicional. 16

17 Por equivalência mostre: 17

18 Mostre por equivalência lógica, usando tabela verdade, que é possível representar : a) b) c) A proposição contrapositiva de ou Atenção: 18

19 Bicondição de duas proposições p e q p q, lê-se: p se somente se q Definição Chama-se bicondicional uma proposição representada por «p se e somente se q» ou «p q», cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas, verdadeiras ou falsas. A sentença bicondicional entre p e q é expressa por p q, tem a seguinte tabela da verdade: 19

20 Por equivalência mostre que: 20

21 Definição: a) Admitindo que uma fórmula tenha um valor V numa certa interpretação. Nesse caso, diz-se que a formula é verdadeira nessa interpretação. b) Admitindo que uma fórmula seja verdadeira segundo alguma interpretação. Nesse caso, diz-se que a fórmula é satisfatível (ou consistente). c) Admitindo que uma fórmula tenha um valor F numa interpretação. Neste caso, diz-se que a fórmula é falsa segundo essa interpretação. d) Uma fórmula é válida quando é verdadeira em todas as suas interpretações. As fórmulas válidas no cálculo proposicional são denominadas tautologias. 21

22 Definição: e) Uma formula será insatisfatível (ou inconsistente) quando for falsa segundo qualquer interpretação. As fórmulas insatisfatíveis do cálculo proposicional são também chamadas de contradições. Note que uma contradição é a negação de uma tautologia. e) Uma fórmula será inválida quando for falsa segundo alguma interpretação. Conclusões: 1. Uma fórmula é válida sss sua negação for insatisfatível; 2. Uma fórmula é insatisfatível (inconsistente) sss sua negação for válida; 3. Uma fórmula é inválida sss existir pelo menos uma interpretação em que ela é falsa; 4. Uma fórmula é satisfatível (consistente) sss existir pelo menos uma interpretação segundo a qual ela é verdadeira; 5. Se uma fórmula for válida, então é satisfatível; 6. Se uma fórmula for insatisfatível, então é inválida. 22

23 Argumentos válidos e inválidos Ex.: Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal. Escrevendo em termos de variáveis: p = Sócrates é um ser humano; q = Sócrates é mortal Em forma simbólica teríamos: Se p então q; p; q. A forma de um argumento é válida se, somente se: - Para todas as combinações de argumentos que levam as premissas verdadeiras então a conclusão também é verdadeira. A verdade da conclusão é obtida analisando os valores-verdade da forma lógica em si. 23

24 Como analisar a validade dos argumentos? A validade da forma de um argumento pode ser feita seguindo os seguintes passos: 1. Identifique as premissas e conclusão do argumento. 2. Construa a tabela da verdade identificando as colunas das premissas e da conclusão. 3. Identifique as linhas onde todas as premissas são verdadeiras (linhas críticas). 4. Para cada linha crítica verifique se a conclusão do argumento é verdadeira. (a) Se for verdadeira para todas as linhas críticas então a forma do argumento é válida. (b) Se existir pelo menos uma linha crítica com conclusão falsa então a forma do argumento é inválida. 24

25 Ex.: Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade das proposições: Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. (Tautologia) Todas as linhas, exceto as críticas, são irrelevantes para verificar a validade dos argumentos. 25

26 Para o exemplo: Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal; Sócrates é um ser humano; Sócrates é mortal. Em lógica: Se p então q; p; q. Tabela verdade das proposições premissas conclusão p q p q p q 1 V V V V V 2 V F F V 3 F V V F 4 F F V F Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é válido. (Tautologia) 26

27 Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade das proposições Para todas as linhas críticas, exceto a 4, a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo as interpretações: I 1, I 7 e I 8 27

28 Analise a validade dos argumentos: Tabela verdade dos argumentos: Existem duas linhas críticas, em uma delas a conclusão é falsa. Logo o argumento é inválido. A fórmula é satisfatível segundo a interpretação I 1 28

29 Analise a validade dos argumentos: (p p v q) ~ (p p v q) Tabela verdade das proposições premissas conclusão p q p v q p q v q ~(p q v q) 1 V V V V F 2 V F V V F 3 F V V V F 4 F F V V F Para todas as linhas criticas a conclusão é falsa. Logo o argumento é uma contradição. (Insatisfatível) 29

30 30 Validade de sentenças pode ser verificada de duas maneiras Tabelas-Verdade É uma representação para todos os valores lógicos possíveis para uma proposição simples e a combinação de várias proposições simples. É utilizada para verificar o valor lógico de uma proposição composta, a partir de proposições simples. Regras de inferência capturam padrões de inferências (sintáticos!!!) sempre que algum fato nas premissas casar com o padrão da sentença acima, a regra de inferência conclui o padrão da sentença abaixo. uma regra de inferência preserva a verdade, se a conclusão é verdade, em todos os casos onde as premissas são verdadeiras.

31 Ex.: Mostre que: a) (p q) Λ (p ~q) ~p é uma tautologia. Algumas equivalências lógicas: 31

32 Consequência lógica é o elo entre o que o agente acredita e aquilo que é explicitamente representado e sua base de conhecimento. A tabela verdade é um método semântico que permite verificar consequências lógicas. Este método tem a vantagem de ser conceitualmente simples; mas como o número de linhas da tabela verdade cresce exponencialmente em função do número de proposições na formula, seu uso nem sempre é viável. O raciocínio automatizado vem como uma alternativa mais eficiente para verificação de consequência lógica, isto é, a validação de argumentos. 32

33 Método de inferência Aplicação das regras de inferência Geração correta de novas sentenças a partir de antigas; Prova = uma sequência de aplicações de regras de inferência Regra de inferência é um padrão de manipulação sintática que define como uma fórmula (conclusão) pode ser derivada de outras fórmulas (primitivas). 33

34 Lógica: Inferência Regras de inferência clássicas, Modus Ponens: n E-eliminação: i 1, 2,..., n E-introdução: n i Ou-introdução:... Eliminação de dupla negação: Resolução unidade: Resolução 1 2 n,,, 34

35 Lógica: Inferência 35 Regras de inferência Modus Ponens (método de afirmar) Seja o seguinte argumento: Ex. Se o último dígito de um nº é zero, então este nº é divisível por 10. O último dígito deste nº é zero. Portanto, este nº é divisível por 10.

36 Lógica: Inferência Regras de inferência Modus Tollens (método de negar) Seja o seguinte argumento: 36 Ex.: Se Zeus é humano então Zeus é mortal. (1) Zeus não é mortal. (2) Portanto, Zeus não é humano. Suponha que as afirmações (1) e (2) sejam verdadeiras. - Zeus deve ser necessariamente não humano? - Sim! - Porque se Zeus fosse humano, então de acordo com (1) ele seria mortal. - Mas por (2) ele não é mortal - Dessa forma, Zeus não pode ser humano.

37 Lógica: Inferência 37 Regras de inferência Modus Tollens (método de negar) Ex.: Se existem mais pássaros que ninhos então dois pássaros terão que chocar no mesmo ninho; Existem mais pássaros que ninhos; Portanto, Dois pássaros chocam no mesmo ninho. Ex.: Se este nº é divisível por 6, então o nº é divisível por 2; Este nº não é divisível por 2; Portanto, Este nº não é divisível por 6.

38 Lógica: Inferência 38 Regras de inferência Adição disjuntiva As formas de argumentos são válidas: Essas duas formas servem para fazer generalizações, isto é, se p é verdadeiro, caso (a), então mais genericamente p v q é verdadeiro para qualquer afirmação q.

39 Lógica: Inferência 39 Regras de inferência Simplificação conjuntiva As formas dos argumentos são válidas: Essas duas formas servem para fazer particularizações, isto é, se p e q são verdadeiras, então em particular p é verdadeiro, caso (a).

40 Lógica: Inferência 40 Regras de inferência Silogismo Disjuntivo Silogismo é uma dedução formal tal que, postas duas premissas, delas se tira uma conclusão, nelas logicamente implicadas. As formas de argumentos são válidas: Essas formas de argumento expressam a situação onde existem somente duas possibilidades e uma pode ser excluída, o que leva ao fato de que a outra deve prevalecer.

41 Lógica: Inferência 41 Regras de inferência Silogismo hipotético Esse argumento é válido Esse argumento equivale ao encadeamento matemático de implicações (se x y e y z, então x z).

42 Lógica: Inferência 42 Regras de inferência Silogismo Hipotético Ex.: Se é divisível por 18 então é divisível por 9; Se é divisível por 9 então a soma dos dígitos de é divisível por 9; Portanto, Se é divisível por 18 então a soma dos dígitos de é divisível por 9.

43 Lógica: Inferência Exemplo de uso de regras de inferência (1/3) 43 Você está saindo para a escola de manhã e percebe que não está usando os óculos. Ao tentar descobrir onde estão os óculos você começa a pensar sobre os seguintes fatos que são verdadeiros: (a) Se os meus óculos estão na mesa da cozinha então eu os vi no café da manhã; (b) Eu estava lendo o jornal na sala de estar ou eu estava lendo o jornal na cozinha; (c) Se eu estava lendo o jornal na sala de estar então meus óculos estão na mesa do café; (d) Eu não vi meus óculos no café da manhã; (e) Se eu estava lendo um livro na cama então meus óculos estão no criadomudo; (f) Se eu estava lendo o jornal na cozinha então meus óculos estão na mesa da cozinha;

44 Lógica: Inferência 44 Exemplo de uso de regras de inferência (2/3) Sejam os seguintes argumentos: p = Os meus óculos estão na mesa da cozinha. q = Eu vi meus óculos no café da manhã. r = Eu estava lendo o jornal na sala de estar. s = Eu estava lendo o jornal na cozinha. t = Meus óculos estão na mesa do café. u = Eu estava lendo um livro na cama. v = Meus óculos estão no criado-mudo. Tradução dos fatos para proposições:

45 Lógica: Inferência 45 Exemplo de uso de regras de inferência (3/3) Resolução: Dos argumentos e usando o modo de inferência, 1 p q 2 r v s 3 r t 4 - ~q 5- u v 6 - s p podemos deduzir que De (1) e (4) com Modus Tollens tem-se: ~p (7) De (6) e (7) com Modus Tollens tem-se: ~s (8) De (2) e (8) com Silogismo Disjuntivo tem-se: r (9) De (3) e (9) com Modus Ponens tem-se: t (10) Assim, t é verdadeiro, conclui-se que os óculos estão na mesa do café

46 Lógica: Inferência 46 Exemplo de uso de regras de inferência. 1) Considere os argumentos: Guga é determinado. Guga é inteligente. Se Guga é determinado e atleta, ele não é um perdedor. Guga é um atleta se é um amante do tenis. Guga é amante do tenis se é inteligente. A afirmação Guga não é um perdedor é consequência lógica dos argumentos dados? 2) Verifique se os argumentos são satisfatíveis. José não foi intimidado ou se Flavia faltou ao serviço, então um bilhete foi encontrado. Flavia não faltou ao serviço se José foi intimidado. Se um bilhete foi encontrado, então Flavia faltou ao serviço.

47 Lógica: Inferência 47 Tabelas-Verdade para a sentença: ex. Validade de ((P H) H) P? P H (P H) ((P H) H) ((P H) H) P F F F F V F V V F V V F V V V V V V F V Observe que essa sentença é uma tautologia.

48 Lógica: Inferência 48 Mostrar por regra de inferência a sentença. ((P H) H) P? ((P H) (H H)) P distributiva ((P H) falso) P (F Λ V= F); (V Λ F =F) = Falso (circ. Série) (P H) P 1 ou 0 = 1 (circ. paralelo) (P H) P substituição de por v e ^ P H P regra de De Morgan P H P dupla negação P P H ~p v p = verdade ou (0 ou 1 = 1) Verdade H 1 ou qq coisa = 1 Verdade

49 Lógica: Inferência 49 Exemplo de uso de regras de inferência. 1)Verifique se os argumentos são válidos. a) Se Ailton está de férias e o dia está ensolarado ele irá a igreja. Ele irá para a fazenda ou Goiânia. Não há igreja na fazenda. Há igreja em Goiânia. Ailton está de férias e foi para a fazenda. Portanto, o dia não está ensolarado. b) Se Paulo mora em Olinda, ele vive em Recife. Paulo mora em Olinda. Portanto, Paulo vive em Recife. c) Se Agnaldo é otimista, então Silvio é pessimista. Se Silvio é otimista então Wilson é otimista. Portanto, se Agnaldo é otimista ou Wilson é pessimista, então Silvio é pessimista.

50 Lógica de predicados 50 A linguagem da lógica de predicados é mais rica do que a lógica proposicional, pois além de conter os os objetos da lógica proposicional, a lógica de predicados contem quantificadores, símbolos funcionais e de predicados. Existem, por exemplo, vários tipos de inferências que não possuem representação na lógica proposicional, mas podem ser representados na lógica de predicados. Exemplo: Todo aluno de ciência da computação é inteligente. Luciano é aluno de ciência da computação. Logo, Luciano é inteligente. A soma de dois números impares quaisquer é um número par. A dificuldade em representar tais inferências na lógica proposicional se deve as quantificações indicadas pelas palavras todo e qualquer.