UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira

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1 Aula 6 Lógica Matemática Álgebra das proposições e método dedutivo As operações lógicas sobre as proposições possuem uma série de propriedades que podem ser aplicadas, considerando os conectivos inseridos nas mesmas. Tais propriedades são utilizadas no chamado método dedutivo, que constitui uma maneira de demonstração para equivalências e implicações lógicas além daquela provida pelo método das tabelas-verdade. No método dedutivo são utilizadas as equivalências que serão vistas em seguida, as quais constituem as propriedades já mencionadas. Considerando que p, q, r são proposições simples quaisquer, t é uma proposição simples qualquer cujo valor lógico é verdade, c é uma proposição simples qualquer cujo valor lógico é falsidade e que a bicondicional resultante de todas as equivalências (substituindo-se por ) é tautológica, tem-se as seguintes propriedades: 1) Idempotente: aplicável em conjunções ( ^ ) e disjunções ( v ) p ^ p p p v p p 2) Comutativa: aplicável em conjunções ( ^ ), disjunções ( v ) e bicondicionais ( ) p ^ q q ^ p p v q q v p 3) Associativa: aplicável em conjunções ( ^ ), disjunções ( v ) e bicondicionais ( ) (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) (p v q) v r p v (q v r)

2 4) Identidade: aplicável em conjunções ( ^ ) e disjunções ( v ) p ^ t p (t = elemento neutro da conjunção); p ^ c c (c = elemento absorvente de conjunção); p v t t (t = elemento absorvente da disjunção); p v c p (c = elemento neutro da disjunção); 5) Distributiva: aplicável em conjunções ( ^ ) e disjunções ( v ), em conjunto p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) 6) Absorção: aplicável em conjunções ( ^ ) e disjunções ( v ), em conjunto p ^ (p v q) p p v (p ^ q) p 7) Regras de DE MORGAN: aplicáveis em conjunções ( ^ ) e disjunções ( v ) ~(p ^ q) ~p v ~q ~(p v q) ~p ^ ~q 8) Condicional e negação da condicional p q ~p v q ~(p q) p ^ ~q 9) Bicondicional e negação da bicondicional p q (p q) ^ (q p) p q (~p v q) ^ (~q v p) ~(p q) (p ^ ~q) v (~p ^ q) 10) Dupla negação ~~p p

3 Antes de exemplificar algumas demonstrações, importante lembrar de alguns princípios básicos: p v ~p T (tautologia) p ^ ~p C (contradição) Mais adiante, serão abordadas as chamadas regras de inferência. Entretanto, pelo menos duas delas são essenciais neste momento: a) Simplificação: aplicável apenas para a proposição inteira p ^ q p p ^ q q b) Adição: aplicável apenas para a proposição inteira p p v q p q v p Nas demonstrações através do método dedutivo, utiliza-se as equivalências vistas na álgebra das proposições, considerando que as proposições simples p, q, r, t e c podem ser substituídas, respectivamente, por proposições compostas P, Q, R, T e C. Exemplos (Alencar Filho, p.78 e seguintes): 1) Demonstrar as implicações: a) c p b) p t c p ~c v p t v p t p t ~p v t t 2) Demonstrar que p ^ q p p ^ q p ~(p ^ q) v p (~p v ~q) v p (~p v p) v ~q T v ~q T

4 3) Demonstrar que p p v q p p v q ~p v (p v q) (~p v p) v q T v q T 4) Demonstrar que (p q) ^ p q (de duas maneiras) (p q) ^ p q ~((p q) ^ p) v q ~((~p v q) ^ p) v q ~((p ^ ~p) v (p ^ q) v q ~(C v (p ^ q)) v q ~(p ^ q) v q (~p v ~q) v q (~q v q) v ~p T v ~p T ou (p q) ^ p (~p v q) ^ p (p ^ ~p) v (p ^ q) C v (p ^ q) p ^ q q 5) Demonstrar que (p q) ^ ~q ~p (de duas maneiras) (p q) ^ ~q ~p ~((p q) ^ ~q) v ~p ~((~p v q) ^ ~q) v ~p ~((~q ^ ~p) v (~q ^ q) v ~p ~((~q ^ ~p) v C) v ~p ~(~q ^ ~p) v ~p (q v p) v ~p (p v ~p) v q T v q T ou (p q) ^ ~q (~p v q) ^ ~q (~q ^ ~p) v (~q ^ q) (~q ^ ~p) v C ~q ^ ~p ~p 6) Demonstrar que (p v q) ^ ~p q (p v q) ^ ~p (~p ^ p) v (~p ^ q) C v (~p ^ q) ~p ^ q q 7) Demonstrar que p ^ q p v q (p ^ q) (p v q) ~(p ^ q) v (p v q) (~p v ~q) v (p v q) (~p v p) v (~q v q) T v T T 8) Demonstrar que p q p p (q p) ~p v (q p) ~p v (~q v p) (~p v p) v ~q T v ~q T 9) Demonstrar que p ~p q p (~p q) ~p v (~p q) ~p v (p v q) (~p v p) v q T v q T

5 10) Demonstrar que p q p ^ r q (p q) (p ^ r q) ~(p q) v (p ^ r q) ~(~p v q) v (~(p ^ r) v q) (p ^ ~q) v ( (~p v ~r) v q) (p ^ ~q) v ( (~p v q) v ~r) (p ^ ~q) v (~(p ^ ~q) v ~r) ( (p ^ ~q) v ~(p ^ ~q) ) v ~r T v ~r T 11) Demonstrar que p q p ^ ~q c p ^ ~q c ~(p ^ ~q) v c ~(p ^ ~q) (~p v q) p q 12) Demonstrar que p q p v q q p v q q ~(p v q) v q (~p ^ ~q) v q (q v ~p) ^ (q v ~q) (q v ~p) ^ T q v ~p ~p v q p q 13) Demonstrar que (p q) ^ (p ~q) ~p (p q) ^ (p ~q) (~p v ~q) ^ (~p v q) ~p v (q ^ ~q) ~p v C ~p 14) Demonstrar que p ^ q r p (q r) p (q r) ~p v (q r) ~p v (~q v r) (~p v ~q) v r ~(p ^ q) v r p ^ q r 15) Demonstrar que (p r) ^ (q r) p v q r (p r) ^ (q r) (~p v r) ^ (~q v r) r v (~p ^ ~q) ~(p v q) v r p v q r 16) Demonstrar que (p q) v (p r) p q v r (p q) v (p r) (~p v q) v (~p v r) (~p v ~p) v (q v r) ~p v (q v r) p q v r 17) Demonstrar a equivalência (p r) v (q s) p ^ q r v s (p r) v (q s) (~p v r) v (~q v s) (~p v ~q) v (r v s) ~(p ^ q) v (r v s) p ^ q r v s

6 Exercícios (Alencar Filho, p. 85 e 86) 1) Demonstrar as equivalências: a) p ^ (p v q) p b) p v (p ^ q) p 2) Simplificar as proposições: a) ~(~p ~q) b) ~(p v q) v (~p ^ q) 3) Simplificar as proposições a) ~(p v ~q) b) ~(~p ^ q) c) ~(~p v ~q) d) (p v q) ^ ~p e) (p q) ^ (~p q) f) p ^ (p q) ^ (p ~q) 4) Usar o método dedutivo para demonstrar: a) p ^ ~p q b) ~p p p c) p p ^ q p q d) (p q) q p v q e) (p r) v (q r) p ^ q r f) (p q) ^ (p r) p q ^ r

7 1) 2) 3) 4) a) p ^ (p v q) (p v c) ^ (p v q) p v (c ^ q) p v c p b) p v (p ^ q) (p ^ t) v (p ^ q) p ^ (t v q) p ^ t p a) ~(~p ~q) ~(~~p v ~q) ~(p v ~q) ~p ^ q ~p ou q b) ~(p v q) v (~p ^ q) (~p ^ ~q) v (~p ^ q) ~p ^ (q v ~q) ~p ^ T ~p a) ~(p v ~q) ~p ^ ~~q ~p ^ q b) ~(~p ^ q) ~~p v ~q p v ~q c) ~(~p v ~q) ~~p ^ ~~q p ^ q d) (p v q) ^ ~p (~p ^ p) v (~p ^ q) C v (~p ^ q) ~p ^ q e) (p q) ^ (~p q) (~p v q) ^ (~~p v q) (~p v q) ^ (p v q) q v (p ^ ~p) q v C q f) p ^ (p q) ^ (p ~q) p ^ (~p v q) ^ (~p v ~q) p ^ ~p v (q ^ ~q) p ^ ~p v C p ^ ~p C a) p ^ ~p q p ^ ~p q ~(p ^ ~p) v q (~p v p) v q T v q T b) ~p p p ~p p ~~p v p p v p p c) p p ^ q p q p p ^ q ~p v (p ^ q) (~p v p) ^ (~p v q) T ^ (~p v q) ~p v q p q d) (p q) q p v q (p q) q ~(p q) v q ~(~p v q) v q (p ^ ~q) v q (p v q) ^ (q v ~q) (p v q) ^ T p v q e) (p r) v (q r) p ^ q r (p r) v (q r) (~p v r) v (~q v r) (~p v ~q) v (r v r) ~(p ^ q) v r p ^ q r

8 f) (p q) ^ (p r) p q ^ r (p q) ^ (p r) (~p v q) ^ (~p v r) ~p v (q ^ r) p q ^ r

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