Lógica e Matemática Discreta

Transcrição

1 Lógica e Matemática Discreta Proposições Prof clezio 20 de Março de 2018 Curso de Ciência da Computação

2 Proposições e Conectivos

3 Conceito de proposição Definição: Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido Completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirma fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplo a) A Lua é o satélite natural da Terra; b) Todos os alunos de LMD já estão aprovados; 1

4 Axiomas Fundamentais da Lógica A Lógica Matemática adota com regras fundamentais dois princípios (ou axiomas) básicos. (I) Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (II) Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa e não há uma terceira opção. Em virtude desse último princípio diz-se que a lógica matemática é uma lógica bivalente. Podemos afirmar, por exemplo, que a) é verdadeira e b) e falsa. 2

5 Valores lógicos das proposições Definição: Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição for verdadeira e falsidade se a proposição for falsa. Indicaremos os valores lógicos de uma proposição pelas letras V e F respetivamente. Atenção Pelo Princípio do Terceiro Excluído toda proposição tem um, e apenas um, valor lógico que pode ser V ou F. 3

6 Proposições Simples e Compostas As proposições podem ser classificadas em simples ou atómicas e compostas moleculares. Definição: Chama-se proposição simples ou atómica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples serão designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s,..., chamadas letras proposicionais Exemplo p : Carlos é careca q : Pedro é estudante r : O número 49 é um quadrado perfeito 4

7 Proposições Simples e Compostas Definição: Chama-se proposição composta ou molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R,S,..., também chamadas letras proposicionais. Exemplo P : Carlos é careca e Pedro é estudante Q : Carlos é careca ou Pedro é estudante R : Se Carlos é careca, então sente frio na cabeça. As proposições compostas também são chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Podemos indicá-las por P(p,q,r,... ). 5

8 Conectivos Lógicos Definição: Chamam-se conectivos palavras que usamos para formar novas proposições a partir de outras. Exemplo P : O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Q : O triângulos ABC é retângulo ou é isósceles. R : Não está chovendo. S : Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática. T : O triângulo ABC é equilátero se e somente se é aquiângulo. As palavras destacados no exemplo acima são os conectivos usuais da lógica matemática. 6

9 Tabela-Verdade Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p é verdadeira ou falsa, ou seja, tem o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade). p V F O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. 7

10 Tabela-Verdade As possibilidades para os valores lógicos de duas proposições p e q p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F para as proposições p,q e r p q r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F 8

11 Tabela-Verdade Notação: O valor lógico de uma proposição simpes p indica-se por V(p). 1. Escrevemos V(p)=V se a proposição for verdadeira e 2. Escrevemos V(p)=F se a proposição for falsa. 9

12 Exercícios Encontre o valor lógico da proposições abaixo (a) O número 17 é primo. (b) Fortaleza é a capital do Maranhão. (c) (3 + 5) 2 = (d) 1 < 7 (e) As diagonais de um paralelogramos são iguais (f) O Cubo tem 6 faces. (g) Todo número divisível por 5 termina em 5. (h) cos(x) = cos x. 10

13 Operações Lógicas sobre Proposições

14 Cálculo Proposicional Quando pensamos, efetuamos operações sobre proposições, chamadas de operações lógicas. As operações que realizamos ao pensar obdence a regra de um cálculo, chamado de cálculo proposicional muito semelhante a artimética sobre números. 11

15 Cálculo Proposicional Negação Definição: Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p, cujo valor lógico e verdade quando p é falsa é falsidade quando p é verdadeira. Notação: p O valor lógico da negação é definido na tabala. p V F p F V Em outras palavras, se definirmos V=F e F=V teremos V( p)= V(p) 12

16 Cálculo Proposicional Conjunção ( ) Definição: Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é verdade quando p e q que forem verdadeiras e é falsidade nos demais casos. Notação: p q O valor lógico da conjunção é definido na tabala. p q p q V V V V F F F V F F F F 13

17 Cálculo Proposicional Disjunção ( ) Definição: Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo valor lógico é verdade quando pelo menos uma entre p e q for verdadeiras e é de falsidade quando p e q forem ambas falsas. Notação: p q O valor lógico da disjunção é definido na tabala. p q p q V V V V F V F V V F F F 14

18 Cálculo Proposicional Disjunção exclusiva ( ) Definição: Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo valor lógico é verdade quando pelo menos uma entre p e q for verdadeira e a outra falsa e é de falsidade quando p e q forem ambas falsas ou ambas verdadeiras. Notação: p q O valor lógico da disjunção exclusiva é definido na tabala. p q p q V V F V F V F V V F F F 15

19 Lógica e Matemática Discreta Proposições e Conectivos Lógicos Prof Clezio 20 de Março de 2018 Curso de Ciência da Computação

20 Proposições e Conectivos

21 Valores lógicos das proposições Condicional ( ) Definição: Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por se p então q, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Notação: p q O valor lógico da condicional de duas proposições p e q é dada pela tabela p q p q V V V V F F F V V F F V 1

22 Valores lógicos das proposições Bicondicional ( ) Definição: Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por p se e somente se q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeira ou ambas falsas e é falsidade (F) nos demais casos. Notação: p q O valor lógico da bicondicional de duas proposições p e q é dada pela tabela p q p q V V V V F F F V F F F V Um conectivo bicondicional é uma equivalência lógica entre p e q 2

23 Conceito de proposição Exercícios 1 Seja as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente (português) as seguintes proposições: (a) p (b) p q (c) p q (d) p q (e) p q (f) p q (g) p q (h) p q (i) p q p 2 Determinar o valor lógico das proposições do item 1. 3

24 Construção de Tabelas - Verdade Dadas várias proposições simples p, q, r,... podemos combiná-las pelos conectivos lógicos,,,, Construir proposições compostas tais como: P(p, q) = p Q(p, q) = (p q) q R(p, q, r) = (p q r) (q (p r) Usando as tabelas verdades das proposições simples (já vistas) pode-se construir a tabala de verdade que qualquer proposição composta. 4

25 Construção de Tabelas - Verdade Se uma proposição composta tem n proposições simples então sua tabela verdade terá 2 n linhas. Exemplificando com uma tabela p q q p q (p q) V V V F F V F F 5

26 Construção de Tabelas - Verdade Se uma proposição composta tem n proposições simples então sua tabela verdade terá 2 n linhas. Exemplificando com uma tabela p q q p q (p q) V V F V F V F V F F F V 6

27 Construção de Tabelas - Verdade Se uma proposição composta tem n proposições simples então sua tabela verdade terá 2 n linhas. Exemplificando com uma tabela p q q p q (p q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V 7

28 Construção de Tabelas - Verdade Segundo Método p q (p q) V V V F V F V F F V F V F F F F 1 1 8

29 Construção de Tabelas - Verdade Segundo Método p q (p q) V V V F V V F V V F F V F F V F F F V F

30 Construção de Tabelas - Verdade Segundo Método p q (p q) V V V F F F V F V V V F F V F F F V F F F F V F

31 Construção de Tabelas - Verdade Segundo Método p q (p q) V V V V F F F V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F

32 Construção de Tabelas - Verdade Exercício: Construir a tabela-verdade da proposição P(p, q, r) = p r q r p q r p r q r V V V V V F V F V F F V V V F V V V F V V V V F V F V V V F V F F F F V V F F V V V F F F F V F F V V F F F V V V F F V F V F F V V F V V V V F F F V F F F V V F F F V F F F F V V F F F F V F

33 Construção de Tabelas - Verdade Construir a tabela verdade das proposições: e P(p, q, r) = (p q) (q r) (p r) P(p, q, r) = (p ( q r)) (q (p r)) 13

34 Valor Lógico de Proposições Compostas Valor lógico de uma proposição composta Dada P(p, q, r,...) podemos determinar seu valor lógico (V ou F) quando são conhecidos os valores lógicos da proposições componentes. Exemplo (1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico da proposição: P(p, q) = (p q) p q (2) Sejam as proposições p : π = 3 e q : sen(π/2) = 0. Determinar o valor lógico da proposição P(p, q) = (p q) (p p q) 14

35 Valor Lógico de Proposições Compostas Considere a Proposição Composta: Traga sua família ou venha sozinho e tenha uma noite agradável. Levando em conta a maneira como está escrita, esta proposição pode ser lida de dois modos diferentes. a) Considerando que a proposição é obtida a partir das proposições p : traga sua família e q: venha sozinho e tenha uma noite agradável, por aplicação do conectivo ou teremos: p q: Traga sua família, ou venha sozinho e tenha uma noite agradável. b) Considerando que a proposição é obtida a partir das proposições p: traga sua família ou venha sozinho e q: tenha uma noite agradável, por aplicação do conectivo e, a sentença pode ser lida como: p q: Traga sua família ou venha sozinho, e tenha uma noite agradável. 15

36 Valor Lógico de Proposições Compostas Uso de Parêntesis Parenteses são necessários na simbolização de proposições para evitar ambiguidades. A presença de ambiguidades acarreta a possibilidade de leituras distintas para uma mesma proposição e isto pode acarretar análises lógicas incompatíveis. Exemplo (1) p (q r) e (2) (p q) r (I) A ordem de precedência dos conectivos é, e ; ; ; (II) Quando o mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprime-se os parêntesis e faz-se a associação a partir da esquerda. 16

37 Lógica e Matemática Discreta Proposições Prof clezio 26 de Março de 2018 Curso de Ciência da Computação

38 Valor Lógico de Proposições Compostas Considere a Proposição Composta: Traga sua família ou venha sozinho e tenha uma noite agradável. Levando em conta a maneira como está escrita, esta proposição pode ser lida de dois modos diferentes. a) Considerando que a proposição é obtida a partir das proposições p : traga sua família e q: venha sozinho e tenha uma noite agradável, por aplicação do conectivo ou teremos: p q: Traga sua família, ou venha sozinho e tenha uma noite agradável. b) Considerando que a proposição é obtida a partir das proposições p: traga sua família ou venha sozinho e q: tenha uma noite agradável, por aplicação do conectivo e, a sentença pode ser lida como: p q: Traga sua família ou venha sozinho, e tenha uma noite agradável. 1

39 Valor Lógico de Proposições Compostas Uso de Parênteses Parenteses são necessários na simbolização de proposições para evitar ambiguidades. A presença de ambiguidades acarreta a possibilidade de leituras distintas para uma mesma proposição e isto pode acarretar análises lógicas incompatíveis. Exemplo (1) p (q r) e (2) (p q) r (I) A ordem de precedência dos conectivos é, e ; ; ; (II) Quando o mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprime-se os parênteses e faz-se a associação a partir da esquerda. 2

40 Tautologias, Contradições e Contigências

41 Tautologias Definição: Chama-se tautologia toda a proposição composta cujo valor lógico é sempre de verdade (V), qualquer que seja o valor lógico das proposições simples que a compõe. Tautologias também são chamadas de proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. Exemplo 1) A proposição (p p) (princípio da não contradição) é tautológica. 2) As proposições p p e p p (Princípio de identidade) também são tautológicas. 3) A proposição (p p) (princípio do terceiro excluído) é tautológica. 3

42 Princípio da substituição para as tautologias Seja P(p, q, r,...) uma tautologia e sejam P 0 (p, q, r,...), Q 0 (p, q, r,...), R 0 (p, q, r,...),... proposições quaisquer. Se substituirmos em P(p, q, r,...) 1. p por P 0 ; 2. q por Q 0 ; 3. r por R 0 ; e assim para todas as proposições componente ainda teremos uma tautologia P(P 0, Q 0, R 0,...); 4

43 Contradição Definição: Chama-se contradição toda proposição composta cujo valor verdade é sempre de falsidade (F), qualquer que seja o valor lógico das proposições simples que a compõe. Contradições também são chamadas de proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. Para contradições também vale um Princípio de substituição análogo ao que foi feito para tautologias. Seja P(p, q, r,...) uma contradição e sejam P 0 (p, q, r,...), Q 0 (p, q, r,...), R 0 (p, q, r,...),... proposições quaisquer. Então P(P 0, Q 0, R 0,... é uma contradição Exemplo 1) A proposição (p p) é uma contradição. 2) As proposição p p também é uma contradição. 5

44 Contingência Definição: Chama-se contingência toda proposição composta que não é nem tautologia nem contradição. Exemplo 1) A proposição p p é uma contingência. 2) A proposição p q p é uma contingência. 6

45 Contingência Exercícios: Determinar quais das seguintes proposições são tautologicas, contraválidas ou contingentes. a) p ( p q) b) p q (p q) c) p (q (q p)) d) ((p q) q) p e) p q (p q) f) p q (p q) 7

46 Implicação lógica Definição: Diz-se que uma proposição P(p, q, r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r,...), se Q(p, q, r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p, q, r,...) é verdadeira (V). Notação: P(p, q, r,...) = Q(p, q, r,...) Propriedades da Implicação Lógica a) P(p, q, r,...) = P(p, q, r,...) (Reflexiva) b) Se P(p, q, r,...) = Q(p, q, r,...) e Q(p, q, r,...) = R(p, q, r,...), então P(p, q, r,...) = R(p, q, r,...) (Transitiva) 8

47 Implicação lógica Algumas regras de inferências: (1) As tabelas verdade das proposições p q, p q e p q são p q p q p q p q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V A proposição p q é verdadeira somente na linha 1 e, nessa linha também são verdadeiras as proposições p q e p q. Nesse caso dizemos que p q implica p q e p q implica p q. E escrevemos p q = p q e p q = p q. 9

48 Implicação lógica (2) As tabelas verdade das proposições p q p q, q p são: p q p q p q q p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V Nesse caso dizemos que p q implica p q e p q implica q p. E escrevemos p q = p q e p q = q p. 10

49 Lógica e Matemática Discreta Proposições Prof clezio 26 de Março de 2018 Curso de Ciência da Computação

50 Inferência Lógica Uma inferência lógica, ou, simplesmente uma inferência, é uma tautologia da forma p q; Para evitar confusão tanto na leitura quanto na compreensão, vamos usar a flecha simples para indicar a proposição condicional e = para implicação lógica. A proposição p é chamada antecedente, e q, consequente da implicação. Da definição decorre imediatamente que p = q, se e somente se, o consequente q assumir o valor lógico V, sempre que o antecedente p assumir esse valor. É possível mostrar que a inferência lógica têm as seguintes propriedades: a) Reflexiva: p = p; b) Transitiva: Se p = q e q = r, então p = r 1

51 Regas de inferência Lógica Regra da Adição p = p q Exemplo: Eu trabalho, logo, eu trabalho ou fico em casa dormindo. Regra da Simplificaçao p q = p e p q = q Exemplo: Eu trabalho e viajo muito, logo, trabalho. Eu trabalho e viajo muito, portanto, eu viajo muito. Regra do Silogismo Hipotético (ou Condicional) (p q) (q r) = p r Exemplo: Se trabalho, ganho dinheiro, e, se ganho dinheiro, vou viajar; logo, se trabalho, vou viajar. Regra do Silogismo Disjuntivo (ou Alternativo) (p q) p = q Exemplo: Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo, estudo. 2

52 Regas de inferência Lógica Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade) (p q) q = p. Exemplo: É falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho; logo, não estudo Dilema Construtivo (p q) (r s) (p r) = q r Exemplo: Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou vou à festa ou fico vendo televisão; logo, ou fico cansado ou durmo. Dilema Destrutivo (p q) (r s) ( q s) = p r Exemplo: Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou não fico cansado ou não vou dormir; logo, ou não vou à festa ou não vejo televisão. Regra da Inconsistência (de uma contradição se conclui qualquer proposição) (p p) = q Exemplo: O avião está voando; o avião não está voando; logo, eu sou o Rei da Inglaterra. 3

53 Regas de inferência Lógica Modus Ponens (p q) p = q Exemplo: Se ganhar na Loteria, fico rico; ganhei na Loteria; logo, fiquei rico. Modus Tollens (p q) q = p Exemplo: Se ganhar na Loteria, fico rico; não fiquei rico; logo não ganhei na Loteria. Regra da Atenuação p q = p q r Exemplo: Se eu ganhar na Loteria, fico rico; logo, se eu ganhar na Loteria, fico rico ou vou viajar. Regra da Retorsão p p = p Exemplo: Se eu não trabalhar, trabalho; logo, trabalho. 4

54 Equivalência Lógica Uma expressão proposicional da forma bicondicional p q que é, também, uma tautologia, é chamada uma equivalência (ou equivalência lógica). As proposições p e q são ditas equivalentes, e escrevemos p q. Por exemplo, a expressão p q q p é uma equivalência. Veja sua Tabela Verdade: p q p q P q q p p q q p V V V F F V V V F F F V F V F V V V F V V F F V V V V V A condicional q p é chamada de contra-positiva de p q 5

55 Equivalência Lógica A relação de equivalência possui as propriedades: Reflexiva: p p Simétrica:Se p q, então q p Transitiva: Se p q e q r, então p r Leis da Comutatividade p q q p p q q p Exemplo: Fui ao teatro ou ao cinema equivale a Fui ao cinema ou ao teatro. Leis da Associatividade (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 6

56 Equivalência Lógica Leis da Distributividade p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Leis de De Morgan (p q) p q (p q) p q Exemplo: Não é verdade que João foi ao cinema e ao teatro; isso equivale a: Ou João não foi ao cinema ou não foi ao teatro. Leis da Idempotência p p p p p p Lei da Dupla Negação ( p) p Lei da Condicional p q p q Exemplo: Se continuar chovendo, o rio vai transbordar; equivale a: Ou para de chover ou o rio vai transbordar. 7

57 Equivalência Lógica Lei da Bicondicional p q (p q) (q p) p q (p q) ( p q) Exemplo: Um número é divisível por 10 se e somente se terminar por zero; equivale a: Se um numero terminar por zero, então é múltiplo de 10, e, se for múltiplo de 10, então termina por zero; também equivale a: Ou o número é múltiplo de 10 e termina em zero, ou não é múltiplo de 10 e não termina em zero. Lei da Contraposição p q q p Exemplo: Se João estudar, será aprovado; equivale a: Se João não for aprovado, então é porque ele não estudou. Lei da Absorção p p q p q 8

58 Equivalência Lógica Lei de Clavius p p p Lei da Refutação por Absurdo (p q) (p q) p Lei do Dilema (p q) ( p q) q Exemplo: Se eu for aprovado, vou viajar, e, se não for, também vou; equivale a: vou viajar. Lei da Demonstração por Absurdo (onde F é uma contradição) p q F p q Lei de Exportação Importação p (q r) p q r 9

59 Lógica e Matemática Discreta Método Dedutivo Prof Clezio 2 de Abril de 2018 Curso de Ciência da Computação

60 Método Dedutivo Implicações e equivalências foram demonstradas até agora usando tabelas verdades. Não é um método muito eficiente. É trabalhoso e demorado. Vamos olhar então para o método dedutivo. O método dedutivo propões se a determinar se uma implicação ou equivalência é o não verdadeira sem uso de novas tabelas verdades. Exemplo 1) Demonstrar as implicações (i) f = p (ii) p = v Onde p é uma proposição qualquer e f e v são proposições cujos valores lógicos são de falsidade (F) e verdade (V) respectivamente. 1

61 Método Dedutivo Prova: (i) f p f p v p v (ii) p v p v v Observação: Tablas verdade de c p e p t p c t c p p t V F V V V F F V V V 2

62 Método Dedutivo 2) Demonstrar a implicação p q = p (Simplificação) 3) Demonstrar a implicação: p = p q (Adição) 4) Demonstrar a implicação: (p q) p = q (Modus Ponens) 5) Demonstrar a implicação: (p q) q = p (Modus Tollens) 6) Demonstrar a implicação: (p q) p = q (silogismo disjuntivo) 7) Demonstrar a implicação: p q = p q 8) Demonstrar a implicação: p = q p 9) Demonstrar a implicação: p = p q 10) Demonstrar a implicação: p q = p r q 11) Demonstrar a equivalência: p q p q c (Redução ao absurdo) 3

63 Método Dedutivo 12) Demonstrar a equivalência: p q p q q 13) Demonstrar a equivalência: (p q) (p q) p 14) Demonstrar a equivalência: p q r p (q r) (Exportação-Importação) 15) Demonstrar a equivalência: (p r) (q r) p q r 16) Demonstrar a equivalência (p q) (p r) p q r 17) Demonstrar a equivalência (p r) (q s) p q r s 4

64 Redução do Número de Conectivos Teorema: Entre os cinco conectivos fundamentais (,,,, ) três exprimem-se em termos de apenas dois dos seguintes pare: (1) e (2) e (3) e Prova: (1), e exprimem-se em termos de e : p q p q ( p q) p q p q p q (p q) (q p) ( ( p q) ( q p)) 5

65 Redução do Número de Conectivo Prova: (2), e exprimem-se em termos de e : p q p q ( p q) p q p q (p q) p q (p q) (q p) (p q) ( p q)) 3), e exprimem-se em termos de e : p q ( p q) (p q) p q p q p q) p q (p q) (q p) (p q) (q p)) Os conectivos, e nã se exprimem em termos de e 6

66 Forma Normal da Proposições Definição: Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se quando muito contem os conectivo, e. Exemplo p q, ( p q), (p q) ( q r) 7

67 Forma Normal conjuntiva Definição: Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente se satisfazem as seguintes condições: (1) Contém, quando muito, os conectivo, e ; (2) não aparece repetido (por exemplo ) e não tem alcance sobre e, em outras palavras, só incide sobre letras proposicionais; (3) não tem alcance sobre ( isto é, não aparecem coisas do tipo p (q r)) Exemplo p q, p q r, ( p q) ( q r) Ver exemplos na pg. 83 do livro texto 8