LÓGICA MATEMÁTICA. Quando a precedência não estiver explicitada através de parênteses, a ordem é a seguinte: RELEMBRANDO 23/02/2016

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Prof. Esp. Fabiano Taguchi RELEMBRANDO Quando a precedência não estiver explicitada através de parênteses, a ordem é a seguinte: Operador Precedência Negação 1 ^ 2 v 3 -> 4 <-> 5 1

2 Classificação da lógica CLASSIFICAÇÃO Lógica indutiva: Útil no estudo de probabilidades Lógica dedutiva: Divide-se em: Lógica clássica: Cálculo de predicados Lógica complementar: Lógica modal. Logica não clássicas: Lógicas fuzzy. 2

3 LÓGICA DEDUTIVA Todo homem é mortal João é homem João é mortal Válido quando suas premissas, se verdadeira, a conclusão também torna-se verdadeira. ARGUMENTO DEDUTIVO O argumento dedutivo acontece quando a conclusão é completamente derivadas das premissas. A conclusão precisa ser uma veracidade. 3

4 ARGUMENTO DEDUTIVO EXEMPLO: A porta do apartamento 1 é branca A porta do apartamento 2 é branca A porta do apartamento 3 é branca Este edifício tem apenas 3 apartamentos Logo, todas as portas deste edifício são brancas. LÓGICA INDUTIVA É comum após a chuva ficar nublado. Está chovendo. Ficará nublado. A verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. 4

5 ARGUMENTO INDUTIVO O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar uma conclusão. ARGUMENTO INDUTIVO EXEMPLO: A porta do apartamento 1 é branca A porta do apartamento 2 é branca A porta do apartamento 3 é branca Este edifício tem apenas 6 apartamentos Logo, todas as portas deste edifício são brancas. 5

6 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS Princípio da contradição Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas será falsa. Princípio da não-contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS Princípio do terceiro excluído Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, e nunca um terceiro caso. Princípio da identidade Todo objetivo é idêntico a si mesmo. 6

7 Tautologia, contradição e contingência TAUTOLOGIA Toda proposição cuja última coluna da sua tabela verdade é formada somente por verdade. Princípio da não contradição é tautológico Princípio do terceiro excluído é tautológico 7

8 TAUTOLOGIA Lembrando que o número de linhas de uma tabela verdade é 2n. Vamos considerar três proposições: p, q e r. Exercício Construção da tabela de: (p ^ r) -> (~q v r) TAUTOLOGIA p q r ~q p ^ r ~q v r (p ^ r ) -> (~q v r) V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V 8

9 PRINCÍPIOS Princípio da não contradição é tautológico ~(p ^ ~p) Princípio do terceiro excluído é tautológico (p v ~p) CONTRADIÇÃO Toda proposição cuja última coluna da sua tabela verdade é formada somente por falsidade. A negação de uma tautologia é uma contradição e vice-versa. p ^ ~p 9

10 CONTRADIÇÃO p q ~p ~q p ^ ~q ~p ^ (p ^ ~q) V V F F F F V F F V V F F V V F F F F F V V F F CONTINGÊNCIA Toda proposição cuja última coluna da sua tabela verdade é formada por valores de verdade e de falsidade. Toda proposição composta que não é tautologia e contradição, é contingente. p -> ~p 10

11 CONTINGÊNCIA p q p v q p v q -> p V V V V V F V V F V V F F F f V EXERCÍCIOS Verifique se as sentenças são tautológicas ou não: a) (p ^ q) -> (p <-> q) b) (p ^ q) ^ (p v q) c) (p -> q) ^ (p v q) 11

12 EXERCÍCIOS Defina se as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências: a) (p -> q) ^ p -> q b) p v q -> p ^ q c) (p -> q) -> (p ^ r -> q) EXERCÍCIOS Defina se as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências: a) (q -> p) -> (p -> q) b) p v (q ^ ~q) <-> p c) p <-> ~p d) ~p ^ (p ^ ~q) 12

13 Equivalência e implicação lógica EQUIVALÊNCIA LÓGICA Há equivalência entre as proposições p e q quando a tiverem a mesma tabela verdade. Dizemos então que: P <=> q p é equivalente a q 13

14 EQUIVALÊNCIA LÓGICA Sejam duas fórmulas a e b. Dizemos que a equivale logicamente a b quando a <=> b é uma tautologia (bicondicional). Exemplo: Não é verdade que Colombo não descobriu a América. Logo, Colombo descobriu a América. EXEMPLOS Temos como exemplo de equivalência lógica? p <-> q <=> (p -> q) ^ (q -> p) p -> q <=> (~p v q) 14

15 IDEMPOTENTE: p ^ p <=> p As tabelas verdades são idênticas. p p ^ p p ^ p <=> p V V V F F V COMUTATIVA A propriedade comutativa da matemática diz que tanto faz 7 X 5 ou 5 X 7. O resultado é 35. E na lógica? 15

16 E na lógica? Jurandir é engenheiro ou Ana professora. Ana é professora ou Jurandir engenheiro. Chove se, e somente se faz sol. Faz sol, se e somente se chove. E na lógica? Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana. Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado. Se eu nasci, então papai nasceu. Papai não nasceu, então eu não nasci. 16

17 COMUTATIVA: p ^ q <=> q ^ p p q p ^ q q ^ p p ^ q <=> q ^ p V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V ASSOCIATIVA A propriedade associativa diz que: (p ^ q) ^ r <=> p ^ (q ^ r) (p v q) v r <=> p v (q v r) 17

18 ASSOCIATIVA: (p ^ q) ^ r <=> p ^ (q ^ r) p q r p ^ q (p ^ q) ^ r q ^ r p ^ (q ^ r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F DISTRIBUTIVA A propriedade distributiva diz que: p ^ (q v r) <=> (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r) <=> (p v q) ^ (p v r) 18

19 DISTRIBUTIVA: p ^ (q v r) <=> (p ^ q) v (p ^ r) p q r q ^ r p ^ (q v r) p ^ q p ^ r (p ^ q) v (p ^ r) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F OUTRAS FORMAS Definição de bicondicional É a mesma coisa que: (p -> q) ^ (q -> p) Exemplo: Chove se, e somente se faz sol. Se chove, faz sol e se faz sol, chove. 19

20 OUTRAS FORMAS Definição de bicondicional É a mesma coisa que: (p -> q) ^ (q -> p) Exemplo: Vou ao mercado, e somente se fizer calor. Se vou ao mercado, faz calor e se faz calor, vou ao mercado. BICONDICIONAL: p <-> q <=> (p -> q) ^ (q -> p) p q q ^ r p -> q q -> p p -> q ^ q -> p p <-> q V V V V V V V V F F F V F F F V F V F F F F F F V V V V 20

21 CONTRAPOSITIVA (p -> q) <=> (~q -> ~p) Exemplo: Se a procura aumenta, então o preço sobe. Se o preço não sobe, então a procura não aumenta. REGRA DE MORGAN a) ~(p ^ q) <=> ~p v ~q p q p ^ q ~(p ^ q) ~p ~q ~p v ~q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V 21

22 REGRA DE MORGAN b) ~(p v q) <=> ~p ^ ~q p q p V q ~(p V q) ~p ~q ~p ^ ~q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V LEI DA ABSORÇÃO p -> p ^ q <=> p -> q p q p ^ q p -> p ^ q p -> q V V V V V V F F F F F V F V V F F F V V 22