Introdução à Lógica Proposicional Sintaxe

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1 Bacharelado em Ciência e Tecnologia BC&T Introdução à Lógica Proposicional Sintaxe PASSOS PARA O ESTUDO DE LÓGICA Prof a Maria das Graças Marietto graca.marietto@ufabc.edu.br 2 ESTUDO DE LÓGICA O estudo de qualquer Lógica segue os três passos a seguir: 1. Especificação de uma linguagem, a partir da qual o conhecimento é representado. Tal representação considera os conceitos de sintaxe e semântica associados à linguagem 2. Estudo de métodos que produzam ou verifiquem as fórmulas ou os argumentos válidos. A verificação do conceito semântico de validade de expressões sintáticas da linguagem é um exemplo desse estudo 3. Definição de sistemas de dedução formal em que são consideradas as noções de prova e consequência lógica. A noção da prova estabelece formas para a derivação de conhecimento a partir daquele representado previamente, o que também define a noção de consequência lógica LÓGICA CLÁSSICA: LÓGICA PROPOSICIONAL E LÓGICA DE PREDICADOS 3 4

2 LÓGICA CLÁSSICA A Lógica Clássica reúne: o O Cálculo Proposicional Clássico (Lógica Proposicional) o Os Cálculos de Predicados de primeira e segunda ordem (obviamente, clássicos) o Respeita as três leis do pensamento Neste curso iremos estudar a Lógica Proposicional e o Cálculo de Predicados de Primeira Ordem LÓGICA PROPOSICIONAL 5 6 LÓGICA PROPOSICIONAL A Lógica Proposicional é um sistema simbólico de Lógica Clássica Como todos os sistemas de Lógica Clássica, segue os seguintes princípios: Princípio da Identidade Princípio da Não Contradição Princípio do Terceiro Excluído LÓGICA PROPOSICIONAL PASSO 1: ESPECIFICAÇÃO DE UMA LINGUAGEM A Lógica Proposicional é também conhecida como Cálculo Proposicional ou Sentencial 7 8

3 LÓGICA PROPOSICIONAL: SINTAXE Vamos agora analisar os elementos fundamentais da sintaxe da Lógica Proposicional Esta análise corresponde ao início do estudo do item 1 dos três passos básicos do estudo de uma Lógica: especificação de uma linguagem LÓGICA PROPOSICIONAL: SINTAXE A definição da linguagem da Lógica Proposicional é semelhante à definição de outras linguagens, como por exemplo a lingua portuguesa O alfabeto, que é constituído pelos símbolos que formam as palavras da linguagem, é definido inicialmente. No caso da lingua portuguesa ele é definido pelo conjunto de letras {a, b, c,, z, A, B, C,, Z} Em seguida, as palavras da linguagem são definidas. A concatenação das letras d e e forma a palavra de, que pretence à linguagem da lingua portuguesa Por outro lado, a concatenação das letras e e d não forma uma palavra da lingua portuguesa 9 10 LÓGICA PROPOSICIONAL: SINTAXE Nas linguas naturais temos os dicionários nos quais estão listadas todas as suas palavras. A partir da combinação destas palavras, seguindo regras da gramática do idioma, são formadas as sentenças No caso de uma linguagem como a Lógica, não há correspondência a um dicionário, mas há regras gramaticais para a formação das sentenças PROPOSIÇÃO Uma gramática é um conjunto de regras que determinam como as palavras e os símbolos do alfabeto devem ser combinados para formar sentenças 11 12

4 SINTAXE DA LÓGICA PROPOSICIONAL: PROPOSIÇÃO Nas linguas naturais as sentenças podem ser classificadas de diversas formas: o Sentenças interrogativas: Quem é você? o Sentenças imperativas: Estude para a disciplina de Lógica! o Sentenças declarativas: Carlos sabe pilotar aviões de caça. As sentenças que são objeto da Lógica são as sentenças declarativas, que podem ser interpretadas como verdadeira ou falsa SINTAXE DA LÓGICA PROPOSICIONAL: PROPOSIÇÃO Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser interpretada como verdadeira ou falsa Assim, uma proposição não pode ser uma sentença ambigua. Por exemplo: Eu vi José com uma luneta. Esta sentença declarativa pode significar: - Que eu vi José e ele estava usando uma luneta - Eu estava usando uma luneta e vi José Além disto, as sentenças José comeu o bolo e O bolo foi comido por José são representações da mesma proposição. Ou seja, são consideradas equivalentes. Isto ocorre porque a Lógica preocupa-se apenas com o conteúdo e significado de uma sentença declarativa, e não com a sua sequência de palavras SINTAXE DA LÓGICA PROPOSICIONAL: PROPOSIÇÃO Os filósofos utilizam o termo proposição de muitas maneiras, e não é nosso objetivo uma análise profunda deste tema Queremos apenas dizer que proposição é frequentemente usado como sinônimo de conteúdo e, portanto, nesse sentido, podemos dizer que as proposições são as portadoras primárias de verdade e falsidade Quando dizemos que uma sentença declarativa é verdadeira, ou falsa, estamos falando que seu conteúdo é verdadeiro, ou falso Uma proposição é um enunciado declarativo, que pode assumir um valor verdade (verdadeiro ou falso) Todo imigrante italiano é palmeirense Recife é a capital do Ceará O Brasil é uma monarquia Está chovendo agora A cada proposição associa-se um valor lógico (verdade) Na Lógica Proposicional o valor verdade pode ser: Verdadeiro (V ou 1) Falso (F ou 0) 15 16

5 Frases que PODEM expressar proposições: Sentenças declarativas afirmativas. Por exemplo: Recife é a capital do Ceará A Lua é um satélite natural da Terra Parece que não sei A temperatura do Sol é de 400 o C proposição (F) proposição (V) não proposição proposição Frases que NÃO expressam proposições: Sentenças interrogativas. Por exemplo: Que horas são? Sentenças exclamativas. Por exemplo: Feliz Ano Novo!!! Sentenças imperativas. Por exemplo: Pare!! Não falte às aulas 17 Frases que NÃO expressam proposições (continuação): Sentenças auto-referentes Não é possível atribuir um valor verdade a sentenças que se referem ao seu próprio valor Exemplo: esta sentença é falsa A linguagem proposicional exclui sentenças auto-referentes 18 As proposições são verdadeiras ou falsas, e nisto diferem das perguntas, ordens e exclamações Só as afirmações podem ser negadas ou afirmadas: o Uma pergunta pode ser respondida o Uma ordem dada ou negada o Uma exclamação proferida o Mas nenhuma delas pode ser julgada como falsa ou verdadeira Observe que o valor verdade (V ou F) de uma proposição não é necessariamente conhecido. Por exemplo: A temperatura da superfície do Sol é de 400 o C Esta declaração é falsa É uma proposição É possível afirmar se é V ou F Não é uma proposição Não é possível afirmar se é V ou F 19 20

6 PROPOSIÇÕES E OS PRINCÍPIOS DA LÓGICA Considerando o conceito de proposição, os três princípios da Lógica Clássica são interpretados da seguinte forma: Princípio da identidade: toda proposição verdadeira é sempre verdadeira, não podendo ser ora verdadeira ora falsa Princípio da não contradição: nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa simultaneamente Princípio do terceiro excluído: toda proposição é necessariamente verdadeira ou falsa, não existindo outra possibilidade PROPOSIÇÕES SIMPLES Uma proposição simples (proposição atômica ou átomo) é formada por apenas uma proposição Ou seja, é aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma Em linguagem simbólica representa-se proposições simples por letras minúsculas tais como p, q, r, s, t, etc Por exemplo: p: A Lua é o único satélite natural da Terra q: Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil r: O Sol é um cometa s: O Brasil é uma monarquia VL[p]=V VL[q]=V VL[r]=F VL[s]=F PROPOSIÇÕES SIMPLES No que concerne à Lógica, uma proposição como A Lua é o satélite natural da Terra pode ser tratada como a proposição p Não sendo necessário nenhuma referência a conhecimentos de Astronomia Porque não continuar trabalhando com a frase? PROPOSIÇÕES SIMPLES: PORQUE SIMBOLIZAR Características da Linguagens Naturais o Termos vagos e ambíguos o Estruturas complexas, com muitas regras de combinação e formato indefinido o Apresenta diversos aspectos irrelevantes para a análise lógica Acrilírico Caetano Veloso, Rogério Duprat Olhar colírico Lírios plásticos do campo e do contracampo Telástico cinemascope teu sorriso tudo isso Tudo ido e lido e lindo e vindo do vivido Na minha adolescidade Idade de pedra e paz

7 PROPOSIÇÕES SIMPLES: PORQUE SIMBOLIZAR A linguagens lógicas procura ser expressivas e não ambíguas p: pequenos cachorros q: pequenos gatos p q: indica que ambos são pequenos emcima(fabio, morro) profissao(carlos, marceneiro) PORQUE DEVEMOS DEFINIR UMA LINGUAGEM FORMAL PARA ESTUDAR LÓGICA MOTIVAÇÃO: LINGUAGEM FORMAL Considere os raciocínios seguintes: O livro é do João ou do Rui O livro não é do Rui Logo, é do João Se ela foi ao Egito, então esteve no Cairo Ela não esteve no Cairo Logo ela não foi ao Egito Silogismo Disjuntivo p q ~q Logo p Modus Tollens p q ~q Logo ~p MOTIVAÇÃO: LINGUAGEM FORMAL Considere os raciocínios seguintes: Se está chovendo, então a rua está molhada Está chovendo Portanto, a rua está molhada Se tralalá, então trololó Tralalá Portanto, trololó Modus Ponens p q p Logo q Modus Ponens p q p Logo q Ele pratica futebol e tênis Logo, ele pratica futebol Eliminação da Conjunção p q Logo p 27 Aqui temos uma conclusão importante. Quando utilizamos símbolos proposicionais ou variáveis proposicionais em uma fórmula, estamos interessados na forma da fórmula. Neste caso, o argumento depende da sua forma, e não necessariamento daquilo que os símbolos p e q representam 28

8 LÓGICA PROPOSICIONAL: MOTIVAÇÃO Estes raciocínios são constituídos por afirmações que são verdadeiras ou falsas Grande parte de nossas operações mentais no dia-a-dia envolvem raciocínios deste tipo Eles serão objeto de nossos estudos na Lógica Proposicional EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS Identifique para cada uma das sentenças a seguir se é uma proposição. Justifique sua resposta. Para as proposições, determine seu respectivo valor verdade: 1. O número 17 é primo 2. Isto é verdade? 3. José é um nome 4. Canadá é uma cidade 5. Estude para a prova! 6. Por favor, empreste-me sua calculadora 31