Matemática Discreta. Lógica Proposicional. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto DAINF-UTFPR-PG

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1 Matemática Discreta Lógica Proposicional Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto

2 Tautologias Tautologia é uma fórmula proposicional que é verdadeira para todos os possíveis valores-verdade de suas variáveis. Propriedade Uma propriedade fundamental das tautologias é que existe um procedimento efetivo para testar se uma dada proposição é sempre satisfeita.

3 Tautologias Duas formas de testar tautologias: usando tabelas verdade; usando um algoritmo.

4 Tautologias Exemplo de tautologia. (A B) A B

5 Tautologias Exemplo de teste por tabela verdade. A B (A B) (A B) A B A B (A B) A B V V V F F F F V V F V F F V F V F V V F V F F V F F F V V V V V

6 Tautologias Se duas fórmulas proposicionais são equivalentes, pode-se substituir uma pela outra resultando nos mesmos valores-verdade para as fórmulas que as contém.

7 Tautologias Para provarmos que uma dada uma fórmula proposicional P Q é uma tautologia, podemos supor que a mesma não é uma tautologia e verificar se isso nos leva a uma situação absurda. Se chegarmos a uma situação absurda, então é impossível que P Q não seja uma tautologia.

8 Tautologias Se P Q não é uma tautologia, então P Q é falso. O único jeito de P Q ser falso, é quando P é verdadeiro e Q é falso, pela tabela verdade da implicação. Sabendo que P é verdade e Q é falso, nós atribuímos valores-verdade para as suas variáveis proposicionais, satisfazendo essas condições. Devemos verificar todas as combinações de valores verdade que satisfazem a condição P verdade e Q falso. Se para algum caso, a mesma variável proposicional for verdadeira e falsa, chegamos a um absurdo e podemos concluir que P Q é uma tautologia.

9 Tautologias Algoritmo Testa Tautologia Entrada: uma fórmula proposicional P Q P := verdade Q := falso Repita: Para cada proposição que já tenha valor-verdade definido: defina o valor verdade de suas componentes. até todas as variáveis proposicionais terem valor-verdade definido. Se uma variável proposicional recebeu ambos os valores-verdade: P Q é uma tautologia. Senão: P Q não é uma tautologia.

10 Tautologias Vamos verificar se (A B) (B A ) é uma tautologia. (A B) (B A ) é uma fórmula proposicional na forma P Q. P : A B Q : B A

11 Tautologias Se P Q não é uma tautologia, então P Q é falso. Então P é verdade e Q é falso. A B é verdade. B A é falso.

12 Tautologias Se P : A B é verdade, então: Caso 1: Caso 2: A é verdade e B é verdade. A é falso.

13 Tautologias Se Q : B A é falso, B é verdade e A é falso. Então B é falso e A é verdade.

14 Tautologias Então concluímos: Caso 1: de P: A é verdade e B é verdade; e de Q: B é falso e A é verdade. Caso 2: de P: A é falso; e de Q: B é falso e A é verdade. Como os dois casos são absurdos, P Q é uma tautologia.

15 Argumentos válidos O caso do advogado de defesa Se meu cliente é culpado, então a faca estava na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta, ou Jason Pritchard viu a faca. Se a faca não estava lá em 10 de outubro, então Jason Pritchard não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá em 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos nós sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. O argumento do advogado parece correto? Como você votaria? Como usar proposições bem formadas para obter conclusões lógicas?

16 Argumentos válidos O método formal que usa proposições bem formadas é chamado lógica proposicional ou cálculo proposicional.

17 Argumentos válidos Um argumento pode ser apresentado de forma simbólica como: P 1 P 2 P 3... P n Q, onde P 1, P 2, P 3,..., P n são sentenças lógicas, chamadas de hipóteses; e Q é chamada de conclusão.

18 Argumentos válidos Quando P 1 P 2 P 3... P k Q é um argumento válido?

19 Argumentos válidos Exemplo Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou a independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. Esse argumento tem duas hipóteses: 1 Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. 2 Dom Pedro I Declarou a independência. A conclusão é: Todo dia tem 24 horas.

20 Argumentos válidos Exemplo Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou a independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. Representação simbólica: P 1 P 2 C. Pergunta: Isso é um argumento válido para a conclusão? Não! A conclusão é um fato (verdade) isolado. Não tem relação com esses argumentos!

21 Argumentos válidos Exemplo Dom Pedro I foi o primeiro imperador do Brasil. Dom Pedro I Declarou a independência. Portanto, todo dia tem 24 horas. Representação simbólica: P 1 P 2 C. Pergunta: Isso é um argumento válido para a conclusão? Não! A conclusão é um fato (verdade) isolado. Não tem relação com esses argumentos!

22 Conclusão: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Hipóteses: 1 Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. 2 O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil.

23 Conclusão: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Hipóteses: 1 Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. 2 O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil.

24 Conclusão: Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Hipóteses: 1 Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. 2 O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil.

25 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: (P 1 P 2 ) P 1 P 2. Pergunta: Esse é um argumento válido? Sim! A conclusão segue inevitavelmente da hipótese.

26 Argumentos válidos Exemplo Se o Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil, então Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente. O Marechal Deodoro da Fonseca foi o primeiro presidente do Brasil. Segue que Floriano Peixoto foi o primeiro vice-presidente do Brasil. Representação simbólica: (P 1 P 2 ) P 1 P 2. Pergunta: Esse é um argumento válido? Sim! A conclusão segue inevitavelmente da hipótese.

27 Argumentos válidos Essa forma de argumentação é conhecida como...dus Ponens ou eliminação da implicação. (P Q) P Q É uma das regras de raciocínio usada na Lógica Proposicional.

28 Argumentos válidos Essa forma de argumentação é conhecida como Modus Ponens ou eliminação da implicação. (P Q) P Q É uma das regras de raciocínio usadas na Lógica Proposicional.

29 Argumentos válidos A validade de argumentos pode ser feita utilizando lógica formal, manipulando-se as fórmulas proposicionais com regras de derivação. Comece pelas hipóteses, assumindo que todas são verdadeiras. Aplique regras de manipulação que permitam chegar à conclusão a partir das hipóteses.

30 Argumentos válidos Seqüência de prova é uma seqüência de fórmulas bem formadas na qual cada fórmula é: uma das hipóteses; ou o resultado da aplicação de uma das regras de derivação sobre as fórmulas bem formadas anteriores.

31 Regras de derivação para Lógica Proposicional As regras de derivação para a lógica proposicional se dividem em duas categorias: 1 Regras de equivalência. 2 Regras de inferência.

32 Regras de derivação para Lógica Proposicional Regras de equivalência. Se S R é uma tautologia, então S e R são equivalentes (S R). Então pode-se substituir S por R e vice-versa em qualquer fórmula bem formada, sem alterar o valor lógico da fórmula.

33 Regras de derivação para Lógica Proposicional Principais regras de equivalência.

34 Regras de derivação para Lógica Proposicional Exemplo Provar que se A B C então (A B) C. 1 (A B ) C (hipótese) 2 (A B) C (1, De Morgan) 3 (A B) C (2, implicação)

35 Regras de derivação para Lógica Proposicional Regras de inferência são regras de manipulação lógica que podem ser usadas para inferir uma conclusão a partir de hipóteses e outras fórmulas bem formadas já concluídas na sequência dos argumentos. Existe um conjunto de regras de inferência válidas e, a partir destas, outras podem ser deduzidas.

36 Regras de derivação para Lógica Proposicional Existe um conjunto de regras de inferência válidas e a partir dessas outras podem ser deduzidas.

37 Regras de derivação para Lógica Proposicional Exemplo Suponha que A (B C) e A são duas hipóteses de um argumento. Uma sequência de prova para esse argumento pode começar assim: 1 A (B C) (hipótese) 2 A (hipótese) 3 B C (1, 2, modus ponens)

38 Regras de derivação para Lógica Proposicional Exemplo Suponha que (A B) C) e A são duas hipóteses de um argumento. Uma sequência de prova para esse argumento pode começar assim: 1 (A B) C (hipótese) 2 A (hipótese) 3 (A B) C (1, implicação) 4 A (B C) (3, associatividade) 5 A (B C) (4, implicação) 6 B C (2, 5, modus ponens)

39 Regras de derivação para Lógica Proposicional Exemplo Prove que o seguinte argumento é válido: A (B C) [(A B) (D C )] B D. Lembram-se da ordem de preferência dos conectivos lógicos? Da maior para a menor preferência: conectivos entre parênteses, do mais interno para o mais externo, negação, e,,

40 Regras de derivação para Lógica Proposicional Exemplo Prove que o seguinte argumento é válido: A (B C) [(A B) (D C )] B D. 1. A (hipótese) 2. B C (hipótese) 3. (A B) (D C ) (hipótese) 4. B (hipótese)

41 Regras de derivação para Lógica Proposicional Exemplo Prove que o seguinte argumento é válido: A (B C) [(A B) (D C )] B D. 5. C (2, 4, modus ponens) 6. A B (1,4, conjunção) 7. D C (3, 6, modus ponens) 8. C D (7, comutatividade) 9. C D (8, implicação) 10. D (5,9, modus ponens)

42 Método Dedutivo Suponha que queremos provar P 1 P 2 P 3... P n (R S) Observe que a conclusão é uma implicação. O método dedutivo permite considerarmos que R também é uma hipótese. Então podemos provar: P 1 P 2 P 3... P n R S

43 Método Dedutivo Exemplo Use lógica proposicional para provar que [A (A B)] (A B). Pelo método dedutivo, temos que provar [A (A B)] A B. As hipóteses são: 1. A (A B) (hipótese) 2. A (hipótese)

44 Método Dedutivo Exemplo Use lógica proposicional para provar que [A (A B)] (A B). 1. A (A B) (hipótese) 2. A (hipótese) 3. A B (1,2,modus ponens) 4. B (2, 3, modus ponens)

45 Método Dedutivo Silogismo hipotético é uma regra de derivação que pode ser obtida com a prova de que Vamos fazer a prova? 1. P Q (hipótese) 2. Q R (hipótese) (P Q) (Q R) (P R) 3. P (hipótese, método dedutivo) 4. Q (1,3,modus ponens) 5. R (2,4,modus ponens)

46 Método Dedutivo Exemplo: use lógica proposicional para provar: (A B) (B C) (A C) 1. A B (hipótese) 2. B C (hipótese) 3. A B (1, implicação) 4. A C (2,3,silogismo hipotético)

47 Argumentos verbais Argumentos verbais (em ĺıngua natural) podem ser testados com os seguintes passos: 1 Simbolize as sentenças usanto fórmulas bem formadas proposicionais. 2 Construa uma sequência de prova usando regras de derivação da lógica proposicional.

48 Argumentos verbais Exemplo Teste a validade do argumento: Se as taxas de juros caírem, o mercado imobiliário vai melhorar. Ou o subsídio federal vai diminuir ou o mercado imobiliário não vai melhorar. As taxas de juros vão cair. Portanto, o subsídio federal vai diminuir. A: As taxas de juros caírem. B: O mercado imobiliário vai melhorar. C: O subsídio federal vai diminuir. [(A B) (C B ) A] C

49 Argumentos verbais Exemplo Teste a validade do argumento: Se as taxas de juros caírem, o mercado imobiliário vai melhorar. Ou o subsídio federal vai diminuir ou o mercado imobiliário não vai melhorar. As taxas de juros vão cair. Portanto, o subsídio federal vai diminuir. A: As taxas de juros caírem. B: O mercado imobiliário vai melhorar. C: O subsídio federal vai diminuir. [(A B) (C B ) A] C

50 Argumentos verbais Exemplo Teste a validade do argumento: [(A B) (C B ) A] C 1. A B (hipótese) 2. C B (hipótese) 3. A (hipótese) 4. B C (2, comutatividade) 5. B C (4, implicação) 6. A C (1, 5, silogismo hipotético) 7. C (3, 6, modus ponens)

51 Argumentos verbais Exemplo O argumento a seguir é válido? Meu cliente é canhoto, mas se o diário não está perdido, então meu cliente não é canhoto. Portanto, o diário está perdido.

52 Argumentos verbais Exemplo O argumento a seguir é válido? Meu cliente é canhoto, mas se o diário não está perdido, então meu cliente não é canhoto. Portanto, o diário está perdido. A: Meu cliente é canhoto. B: O diário está perdido. Provar: [A (B A )] B

53 Argumentos verbais Provar: [A (B A )] B 1. A (hipótese) 2. B A (hipótese) 3. B A (2, implicação) 4. A B (3, comutatividade) 5. A B (4. implicação) 6. B (1, 5, modus ponens) Então o argumento é válido.

54 GERSTING, Judith L. Mathematical Structures for Computer Science 5th Ed.

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