1 a Lista de Exercícios Matemática Discreta

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1 1 a Lista de Exercícios Matemática Discreta Exercício 1. Faça a tabela verdade para as fórmulas a seguir: a) P Q. b) (S G) ( S G). c) [P (Q P )]. d) (P Q) ( P R). Exercício 2. Com o uso de símbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva cada sentença na língua portuguesa como uma wff predicativa. (O domínio é todo o mundo.) D(x) é x é um dia. S é segunda-feira. S(x) é x é ensolarado. T é terça-feira. R(x) é x é chuvoso. a. Todos os dias são ensolarados. b. Alguns dias não são chuvosos. c. Todo dia que é ensolarado não é chuvoso. d. Alguns dias são ensolarados e chuvosos. e. Nenhum dia é ensolarado e chuvoso. f. Sempre é dia ensolarado se, e somente se, é um dia chuvoso. g. Nenhum dia é ensolarado. h. Segunda-feira foi ensolarada, portanto todo dia será ensolarado. i. Tanto segunda-feira quanto terça-feira foram chuvosos. j. Se algum dia for chuvoso, então todos os dias serão ensolarados. Exercício 3. Com o uso de símbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva cada sentença da língua portuguesa como uma wff predicativa. (O domínio é todo o mundo.) J(x) é x é um juiz. Q(x) é x é um químico. A(x) é x é um advogado. A(x, y) é x admira y. M(x) é x é uma mulher. a. Existem algumas mulheres advogadas que são químicas. b. Nenhuma mulher é advogada e química. 1

2 c. Alguns advogados só admiram juizes. d. Todos os juizes admiram apenas juizes. e. Apenas juizes admiram juizes. f. Todas as mulheres advogadas admiram algum juiz. g. Algumas mulheres não admiram advogados. Exercício 4. Usando os símbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva as sentenças na língua portuguesa como wffs predicativas. (O domínio é todo o mundo.) A(x) é x é uma abelha. F(x) é x é uma flor. G(x) é x gosta de y. a. Todas as abelhas gostam de todas as flores. c. Todas as abelhas gostam de algumas flores e. Apenas abelhas gostam de flores. g. Nenhuma abelha gosta só de flores. i. Algumas abelhas gostam apenas de flores. k. Toda abelha odeia todas as flores. b. Algumas abelhas gostam de todas as flores. d. Toda abelha só odeia flores. f. Toda abelha só gosta de flores. h. Algumas abelhas gostam de algumas flores. j. Toda abelha odeia algumas flores. 1. Nenhuma abelha odeia todas as flores. Exercício 5. Usando os símbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva as sentenças na língua portuguesa como wffs predicativas. (O domínio é todo o mundo.) C(x) é x é uma Corvette. P(x) é x é um Porsche. F(x) é x é uma Ferrari. L(x, y) é x é mais lento que v. a. Nada é, ao mesmo tempo, uma Corvette e uma Ferrari. b. Alguns Porsches são apenas mais lentos que as Ferraris. 2

3 c. Apenas Corvettes são mais lentas que Porsches. d. Todas as Ferraris são mais lentas que alguma Corvette. e. Nenhum Porsche é mais lento que a Corvette. f. Se existir uma Corvette que seja mais lenta que uma Ferrari, então todas as Corvettes serão mais lentas que todas as Ferraris. Exercício 6. Se B(x) for x é bonito. E(x) for x é elegante. G(x, y) for x gosta de y. H(x) for x é um homem. M(x) for x é uma mulher. j for John. k for Kathy. dê as traduções para a língua portuguesa das wffs a seguir: a. E(j) G(k, j) b. ( x) (H(x) E(x)) c. ( x) (M(x) ( y) (G(x, y) H(y) E(y))) d. ( x) (H(x) E(x) G(x, k)) e. ( x) (M(x) B(x) ( y) (G(x, y) E(y) H(y))) f. ( x) (M(x) B(x) G(j, x)) Exercício 7. Diversas formas de negação são apresentadas para cada uma das sentenças a seguir. Qual é a correta? a. Algumas pessoas gostam de Matemática. 1. Algumas pessoas não gostam de Matemática. 2. Todo o mundo não gosta de Matemática. 3. Todo o mundo gosta de Matemática. b. Todo o mundo gosta de sorvete. 1. Ninguém gosta de sorvete. 2. Todo o mundo não gosta de sorvete. 3. Alguém não gosta de sorvete. c. Todo o mundo é alto e magro. 1. Alguém é baixo e gordo. 3

4 2. Ninguém é alto e magro. 3. Alguém é baixo ou gordo. d. Alguns retratos estão velhos ou apagados. 1. Nenhum retrato está velho ou apagado. 2. Alguns retratos não estão velhos ou apagados. 3. Todos os retratos não estão velhos ou não estão apagados. Técnicas de Demonstração As definições a seguir podem ser úteis na resolução de alguns dos exercícios. Um quadrado perfeito é um inteiro n tal que n = k 2 para algum inteiro k. Um número primo é um inteiro n > 1 tal que n não é divisível por nenhum inteiro além de 1 e n. Para dois números x e y, x < y significa y x > 0. Dados dois inteiros a e b,com b 0 dizemos que a b se a divide b. Exercício 8. a) Forneça uma demonstração direta de que a soma de inteiros pares é par. b) Prove por contradição que a soma de inteiros pares é par. Exercício 9. Prove que o produto de quaisquer dois inteiros consecutivos é par. Exercício 10. Mostre que n é par se, e somente se, n 2 é par. Exercício 11. Mostre que n é ímpar se, e somente se, n 2 é ímpar. Exercício 12. Prove que a soma de um inteiro e do seu quadrado é par. Exercício 13. Prove que para qualquer inteiro n, o número 3(n 2 + 2n + 3) 2n 2 é um quadrado perfeito. Sugestão: Analise a paridade de n. Exercício 14. Prove que se dois inteiros são ambos divisíveis por um inteiro n, então a sua soma é divisível por n. Exercício 15. Prove que se o produto de dois inteiros não é divisível por um inteiro n, então nenhum dos inteiros é divisível por n. Sugestão: Mostre por contraposição ou contradição. 4

5 Exercício 16. Sejam a, b e c inteiros. a) Se a b e a c então a (b + c). b) Se a b então a bc. Exercício 17. Sejam a, b e p inteiros, com p sendo um número primo. Se p ab então p a ou p b. Exercício 18. Prove que um inteiro x é ímpar se, e somente se, x + 1 é par. Exercício 19. Prove que um inteiro é ímpar se, e somente se, for a soma dedois inteiros consecutivos. Exercício 20. Prove que a soma de três inteiros consecutivos é divisível por 3. Exercício 21. Seja n um número inteiro. Prove que n 3 é par se, e somente se, n é par. Exercício 22. Seja x um número inteiro. Prove que o resto da divisão de x 2 por 4 é 0 ou 1. Exercício 23. Prove que a diferença de dois cubos consecutivos é ímpar. Exercício 24. Prove que o quadrado de um número par é divisível por 4. Exercício 25. Prove que a soma de quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito. Sugestão: Mostre por contradição. Também pode usar o Exercício 25. Exercício 26. Prove por contradição: Se a soma de dois números primos é um número primo, entãoo um dos primos deve ser 2. Sugestão: Considere a paridade da soma. Exercício 27. Mostre que se n 2 é múltiplo de 5, então n é múltiplo de 5. Sugestão: Mostre por con- Exercício 28. Mostre que 5 é irracional. tradição e use o Exercício 28. Exercício 29. Seja p um número primo. Mostre que se n 2 é múltiplo de p, então n é múltiplo de p. Sugestão: Utilize o Exercício 17. Exercício 30. Seja p um número primo. Mostre que p é irracional. Sugestão: Mostre por contradição e use o Exercício 30. Exercício 31. Prove que para todo x R, se x 3 > 3 então x 2 > 6x. 5