Faculdade de Informática PUCRS Lógica para Computação Lista de Exercícios Sintaxe e Semântica da Lógica de Predicados Prof.

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1 Faculdade de Informática PUCRS Lógica para Computação Lista de Exercícios Sintaxe e Semântica da Lógica de Predicados Prof. Alfio Martini 1. Seja OP = {{d}, {f, g}, Ar F }, onde d é uma constante, Ar F (f) = 3, e Ar F (g) = 2 e considere os seguintes strings: (a) g(d, d) (b) f(x, g(y, z), d) (c) g(x, f(y, z), d) (d) g(x, h(y, z), d) (e) f(f(g(d, x), f(g(d, x), y, g(y, d)), g(d, d)), g(f(d, d, x), d), z) Quais dos strings acima são termos sobre OP? Tente explicar informalmente, a partir da definição do que é um termo. Desenhe a árvore sintática daqueles strings que são realmente termos. Para aqueles que não forem termos, apresente uma justificativa informal. Com base na assinatura acima, defina as regras de inferência para construção de termos. Para aqueles strings que forem termos, construa a respectiva árvore de prova 2. Seja OP como no exercício acima. O comprimento de um termo sobre OP é o comprimento de sua representação como string, onde contamos todas as vírgulas e parênteses. Por exemplo, o comprimento de f(x, g(y, z), z) é 13. Agora, liste todos os termos sobre OP que não possuem variáveis e cujo comprimento seja menor do que Seja OP = (C, F, Ar F ), onde C = {0, 1, 2,...} é um conjunto de constantes, e F = {s, +,, } o conjunto de símbolos de funções, tal que Ar F (s) = 1, Ar F (+) = Ar F ( ) = Ar F ( ) = 2. Assumindo notação infixa para os símbolos de funções faça: (a) Defina o sistema de regras de inferência necessário para construir a linguagem dos termos da assinatura acima. (b) Desenhe as árvores sintáticas dos seguintes termos: i. (2 (s(x) + y)) x ii. (2 s(x)) + (y x) (c) Mostre a construção das expressões acima (árvores de prova) utilizando o sistema de regras de inferência definido anteriormente: 4. Seja Σ = (OP, R) uma assinatura para a linguagem de primeira ordem onde OP = ({m}, {f}, Ar F ), sendo m uma constante e f um símbolo de função tal que Ar F (f) = 1, e R = ({S, B}, Ar P ), onde Ar P (S) = Ar P (B) = 2. (a) Defina o sistema de regras de inferência necessário para construir a linguagem dos termos e fórmulas da assinatura acima.

2 (b) Verifique quais dos seguintes strings são fórmulas nesta linguagem e quais não são (explique informalmente, em cada caso). i. S(m, x) ii. B(m, f(m)) iii. f(m) iv. B(B(m, x), y) v. (S(B(m), z)) vi. (B(x, y) ( z.s(z, y))) vii. (S(x, y) S(y, f(f(x)))) viii. (B(x) B(B(x))). (c) Para aqueles que forem, desenhe suas respectivas árvores sintáticas, e para aqueles que não forem, explique o motivo. (d) Mostre a construção das expressões (abaixo) que forem realmente fórmulas utilizando o sistema de regras de inferência definido acima: 5. Use os predicados A(x, y) : B(x, y) : P (x) : S(x) : L(x) : x admira y x assistiu y x é professor x é um estudante x é um seminário e o símbolo de função (=constante) a : Ana Paula para traduzir as seguintes fórmulas para a lógica de predicados. (a) Ana Paula admira todos os professores. (b) Algum professor admira Ana Paula. (c) Ana paula admira a si mesma. (d) Nenhum estudante assistiu todos os seminários. (e) Nenhum seminário foi assistido por todos os estudantes. (f) Nenhum seminário foi assistido por nenhum estudante. 6. Seja Σ = (OP, R) uma assinatura para a linguagem de primeira ordem onde OP = ({c, d}, {f, g, h}, Ar F ), sendo c e d constantes, e f, g, h símbolos de funções, tal que Ar F (f) = 1, Ar F (g) = 2, Ar F (h) = 3, e R = ({P, Q}, Ar P ), onde Ar P (P ) = 2 e Ar P (Q) = 3. (a) Defina o sistema de regras de inferência necessário para construir a linguagem dos termos e fórmulas da assinatura acima. (b) Verifique quais dos seguintes strings são fórmulas nesta linguagem e quais não são. Justificar informalmente em cada caso.

3 i. x.p (f(d), h(g(c, x), d, y)) ii. x.p (f(d), h(p (x, y), d, y)) iii. x.q(g(h(x, f(d), x), g(x, x)), h(x, x, x), c) iv. z.(q(z, z, z) P (z)) v. Q(c, d, c) (c) Para aqueles que forem fórmulas, desenhe suas respectivas árvores sintáticas,. (d) Mostre a construção das expressões (árvores de prova) que forem realmente fórmulas utilizando o sistema de regras de inferência definido anteriormente: 7. Use os predicados F (x, y) : M(x, y) : H(x, y) : S(x, y) : B(x, y) : x é o pai de y x é a mãe de y x é o marido de y x é a irmã de y x é o irmão de y e os símbolos de funções (=constantes) e : Éder c : Carlos m : Monique p : Patrícia para traduzir as seguintes fórmulas para a lógica de predicados. (a) Todas as pessoas têm uma mãe. (b) Todas as pessoas têm um pai e uma mãe. (c) Todo mundo que têm uma mãe também têm um pai. (d) Ed é avô. (e) Nenhum tio é uma tia. (f) Nenhuma avó de alguém é pai de alguém. (g) Ed e Patrícia são marido e mulher. (h) Carlos é o cunhado de Monique. 8. Seja A a fórmula x.(p (y, z) ( y.( Q(y, x) P (y, z)))), onde P e Q são predicados com dois argumentos. (a) Desenhe a árvore sintática de A. (b) Indique as variáveis (folhas) que ocorrem livres e aquelas que ocorrem ligadas em A na própria árvore sintática. (c) Existe alguma variável em A que apresente tanto ocorrências livres como ligadas? (d) Considere os termos w (w é uma variável), f(x) e g(y, z), onde f e g são símbolos de funções com um, respectivamente, dois argumentos.

4 i. Compute A[x/w], A[y/w], A[y/f(x)], A[z/g(y, z)]. ii. Quais dos termos w, f(x), g(y, z) são livres para x em A. 1 iii. Quais dos termos w, f(x), g(y, z) são livres para y em A. iv. Qual é o escopo de x em A. v. Suponha que alteremos A para x.(p (y, z) ( x.( Q(x, x) P (x, z)))). Qual é o escopo de x agora? 9. (a) Desenhe a árvore sintática da seguinte fórmula lógica B: ( x.(( y.p (x, y, z)) ( z.p (x, y, z)))), onde P é um predicado com três argumentos. (b) Indique as variáveis livres e ligadas na própria árvore sintática. (c) Compute B[x/t], B[y/t], B[z/t], onde t é o termo g(f(g(y, y)), y). Está t livre para x em B? Está t livre para y em B? Está t live para z em B? 10. Prove por dedução natural os seguintes sequentes: (a) x.p (a, x, x), x. y. z.(p (x, y, z) P (f(x), y, f(z))) P (f(a), a, f(a)) (b) x.p (a, x, x), x. y. z.(p (x, y, z) P (f(x), y, f(z))) z.p (f(a), z, f(f(a))) (c) y.q(b, y), x. y.(q(x, y) Q(s(x), s(y))) z.(q(b, z) Q(z, s(s(b)))). 11. Colocar as seguintes fórmulas na forma normal prenex. (a) x. y.(p (x, y) z(p (x, z) P (y, z))) (b) x. y. z.(p (x, y) P (y, z) P (x, z)) x. P (x, x) x. y.(p (x, y) P (y, x)) (c) x.(p (x) Q(x)) x.p (x) x.q(x) (d) x.p (x) x.q(x) x.(p (x) Q(x)) (e) x. y.p (x, y) y. x.p (x, y) (f) x.(p (x, f(x)) P (x, y)) (g) x. y.(p (x, y) z.(p (x, z) P (y, z))) 12. Seja Σ = (OP, R) uma assinatura para a linguagem de primeira ordem onde OP = ({a, b, c, d}, {f, g}, Ar F ), sendo a, b, c e d constantes, e f, g símbolos de funções, tal que Ar F (f) = 1, Ar F (g) = 2, Ar F (h) = 3, e R = ({P, Q, R}, Ar P ), onde Ar P (P ) = 2, Ar P (Q) = 1 e Ar P (R) = 3. Seja ainda a interpretação I definido pelos seguintes dados: Domínio: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Interpretação dos símbolos de constantes: a I = 1; b I = 3; c I = 5; d I = 7 1 Em uma substituição A[x/t] o termo t é dito livre para x se as variáveis de t não forem capturadas pelos quantificadores de A.

5 Interpretação dos símbolos de funções: f I : D D = = {1 2, 2 3, 3 5, 4 7, 5 7, 6 7, 7 7} g I : D D D = = {(u, v) u + v se u + v 7, do contrário (u, v) 1} Interpretação dos símbolos de predicados: P I = {(2, 3), (3, 2)} Q I = {2, 4, 6} R I = {(1, 3, 5), (2, 3, 6)} Com assinatura nas informações acima, calcule o valor lógico das fórmulas abaixo na interpretação I, utilizando o ambiente l inicial tal que l = []. (a) I = l P (f(a), b) (b) I = l R(a, f(b), c) (c) I = l x.( Q(x) P (f(a), g(x, f(a)))) (d) I = l x.( Q(x) P (f(a), g(x, f(a)))) 13. Considere a fórmula A = x. y.q(g(x, y), g(y, y), z) Encontre duas interpretações I e I com os respectivos ambientes l e l tal que I = l A e I = l A 14. Considere a fórmula A = x. y. z.(p (x, y) P (z, y) (P (x, z) P (z, x))) Quais das seguintes interpretações satisfazem A? Apresente todos os cálculos. Se a interpretação nao satisfazer a fórmula, mostre um contra-exemplo. (a) A interpretação I que consiste do conjunto de números naturais com P I = {(m, n) m < n, m, n N}. (b) A interpretação I que consiste do conjunto de números naturais com P I = {(m, 2 m) m N}. (c) A interpretação I que consiste do conjunto de números naturais com P I = {(m, n) m < n + 1, m, n N}. 15. Seja P um predicado com dois argumentos. Encontre uma interpretação I que satisfaça a fórmula x. P (x, x). Encontre também uma interpretação I tal que I = x. P (x, x).

6 16. Seja OP = {d, f, g}, onde d é um símbolo de constante, f um símbolo de função com três argumentos e g um símbolo de função com dois argumentos. Como interpretação I, escolhemos o conjunto de números naturais 0, 1, 2,.... Além disso, d I = 2, f I (k, n, m) = k n + m e g I (k, n) = k + n n. Assumindo uma tabela de consulta l, com l(x) = 5 e l(y) = 7, compute o significado dos termos abaixo, na interpretação I. (a) f(d, x, d) (b) f(g(x, d), y, g(d, d)) (c) g(f(g(d, y), f(g(d, d), x, y), y), f(y, g(d, d), d)) 17. Seja A a fórmula x. y. z.(r(x, y) R(y, z)) onde R é um símbolo de predicado com dois argumentos. (a) Seja D = {a, b, c, d} e R I = {(b, c), (b, b), (b, a)}. A afirmação I = A é correta? Justifique sua resposta, seja ela qual for. (b) Seja D = {a, b, c} e R I = {(b, c), (a, b), (c, b)}. A afirmação I = A é correta? Justifique sua resposta, seja ela qual for.