Funções I. Alan Anderson. 1 Denição, Intuição e Primeiro Exemplo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Funções I. Alan Anderson. 1 Denição, Intuição e Primeiro Exemplo"

Transcrição

1 Funções I Alan Anderson 30 de maio de Denição, Intuição e Primeiro Exemplo Começaremos com dois conjuntos não-vazios A e B. Intuitivamente, uma função f : A B é uma relação entre conjuntos de A e conjuntos de B de modo que cada elemento de A está relacionado a um único elemento de B. Chamamos o conjunto A de domínio e o conjunto B de contra-domínio. Exemplo Seja A = {1, 3, 6} e B = {p, 3,, }. Relacione 1 com, 3 com e 6 com. Isso será uma função. Observe que cada elemento de A está relacionado com exatamente um elemento de B, no entanto isso não precisa acontecer com B, ou seja, elementos de B podem estar relacionados com qualquer quantidade de elementos de A (podendo ser nenhum, como no casa do p). Observe que os conjuntos A e B não precisam ser conjuntos numéricos, apesar de termos tomado A numérico por simplicidade. Além disso os conjuntos não precisam ser nitos, e o conjunto A não precisa ter menos elementos que o conjunto B. Poderíamos tomar A = R e B = {L}. Se um elemento a A está relacionado a um elemento b B pela função f, denotamos b = f(a), e dizemos que b é imagem de a. Observe que b pode ser igual a f(a) e a f(a ) com a a, isto é, b pode ser imagem de mais de um elemento de A. No exemplo acima temos que f(3) = = f(6). 1

2 Para denirmos uma função f : A B, temos então que deixar claro para cada a A um f(a) B. Olhando para o exemplo acima temos f(1) =, f(3) = e f(6) =. O conjunto dos elementos de B que são imagem de algum elemento de A por f, é chamado conjunto imagem (de f) e é denotado por Im(f). Assim no exemplo acima Im(f) = {, }. Uma observação importante é que a função é o trio 'domínio, contradomínio, relação'. É muito comum vê estudantes que confundem a função com a 'relação'. Iremos chamar a relação de lei. 2 Exemplos de Funções Quando estamos tratando de funções numéricas, as coisas se tornam mais simples pois em muitos casos podemos dar a imagem dos elementos do domínio A à partir de fórmulas gerais. Isso não é obrigatório, é apenas um modo simplicado de se observar certas funções. Exemplo Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 32} e considere a função f : A B tal que f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6 e f(4) = 8. Podemos simplicar o nosso trabalho dizendo simplesmente que f é dada por f(x) = 2x, x A. Nem sempre é fácil (ou necessário) dar uma fórmula simples e fechada para uma função. Se na função acima, considerássemos f(4) = 5 e deixássemos o resto como está, já seria bem mais trabalhoso dar uma fórmula explícita simples para f(x). Para esse caso especicamente temos uma técnica, que é o polinômio interpolador de Lagrange. (1 a fase OBM 2008) Considere a função f, denida no conjunto dos números reais e satisfazendo f(x) = cx 2x + 3 para todo x 3. Determine o número de tais funções 2 2

3 f para as quais f(f(x)) = x, para todo x para os quais f(f(x)) está bem denida. 2.1 Funções numéricas usuais Alguns funções são muito comum no contexto de matemática. São elas as funções f : R R, g : R + R dadas por a) função constante: f(x) = 0 (ou qualquer outra constante). b) função identidade: f(x) = x; c) função quadrática: f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b, c R, a 0; d) função polinomial: f(x) = a n x n a 1 x + a 0, a n 0; e) função exponencial: f(x) = e x ; f) função logarítmica: g(x) = ln(x); g) função um por x: g(x) = 1 x ; h) função raíz: g(x) = x; Observe que o domínio torna-se uma coisa muito importante em alguns casos, por exemplo, não poderíamos denir a função g(x) = 1 no x = 0, pois x 1 0 não está denido, assim como não podemos denir a função g(x) = x nos negativos. No entanto poderíamos ter denido uma função h : R + R R por h(x) = 1, por exemplo, pois isso não dá problema nenhum. x 2.2 Função Composta Se a imagem de uma função f : A B está contida no domínio de uma função g : C D, então para cada x A podemos calcular g(f(x)). Mais fortemente ainda, podemos denir uma função h : A D, dada por h(x) = g(f(x)). Essa função h é chamada de composta de g e f, e denotamos por h = g f. 2.3 A Lei A lei de uma função f : A B não precisa ser dada por uma única fómula, a única obrigaçõe é aquela que mencionamos cada elemento a A deve ser associado a um único elemento de f(a) B. Assim podemos denir, por 3

4 exemplo a função f : R R por x se x < 1 f(x) = 6 + 2x 1 x 1 x 3 x > 1 ou também podemos denir f : R R por { x se x Q f(x) = x se x R\Q (1 a fase OBM 2003) Quantas são as funções f : R R tais que f(x).(f(x) 1) = Polinômio interpolador de Lagrange Se eu te der uma sequência a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 6, a 4 = 8, você pode me dizer o valor de a 5? Se você respondeu que a resposta é 10, parabéns, você vai aprender algo interessante agora. O polinômio interpolador de Lagrange é um polinômio para o qual você escolhe os valores de um número nito de pontos. Por exemplo, no caso acima, podemos ter o polinômio p(x) = 2x, e fazer a n = p(n). No entanto, como podemos escolher os valores do polinômio num conjunto nito de pontos, poderíamos escolher a 5 = 23 (ou qualquer outro valor), de modo que l(1) = 2, l(2) = 4, l(3) = 6, l(4) = 8, l(5) = 23 e se denirmos a n = l(n) teremos a 5 = 23 e não haverá razão para que a resposta esteja errada. Assim uma conclusão é que a 5 pode ser qualquer valor ( π por exemplo). Essa seção visa passar algumas mensagens: 1. Podemos construir um polinômio que assume os valores em pontos que escolhemos; 2. "Pela lógica"não é prova matemática, aquilo que faz sentido na cabeça de alguém não é necessariamente verdadeiro, por mais intuitivo que seja; 3. Muitos testes de lógica medem apenas se a pessoa testada pensa de modo parecido com quem criou o teste. Apesar de tudo isso, não subestime sua percepção de padrão, só tenha em mente que ter a intuição de uma resposta não é suciente (apesar de ser muito útil). 4

5 Denição 1 O polinômio interpolador de Lagrange dos pontos (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) R 2, é o polinômio L(x) = n y j l j (x) j=1 onde l j (x) = n i=1,i j x x i x j x i. Observe que l j (x j ) = 1 e l j (x i ) = 0 se i j. Portanto L(x i ) = y i. Encontre um polinômio p(x) tal que p(1) = 2, p(2) = 4, p(3) = 6, p(4) = 8, p(5) = Bijeções Apesar dos exemplos aqui considerados serem de funções numéricas, os conceitos de funções injetiva, sobrejetiva, bijetiva e inversa, não são restritos a conjuntos numéricos. Você pode considerar conjunto de cabras, elfos ou serrotes, ou mesmo conjuntos juntados todas essas coisas, se quiser. 3.1 Funções Injetivas Denição 2 Uma função f : A B é dita injetiva se para todos x, y A com x y, tem-se f(x) f(y). Dito em palavras pontos distintos tem imagens distintas, ou cada, elemento da imagem é imagem de um único elemento de A. Observe que uma função injetiva é um modo de comparar tamanho de conjuntos. Se f : A B é injetiva, podemos pensar que A B. O que signica dizer que uma função não é injetiva? Dê um exemplo de função que não é injetiva. 5

6 Mostre que a função identidade é injetiva e que a função quadrática com b = c = 0 não é. Mais geralmente mostre que nenhuma função quadrática é injetiva. Mostre que uma função com alguma das propriedades a seguir é obrigatoriamente injetiva a) f : R R uma função tal que f(x f(y)) = 1 x y para todos os reais x e y. b) f : N N uma função tal que f(x + f(y)) = f(x) + y para todos os inteiros positivos x e y. 3.2 Funções Sobrejetivas Denição 3 Uma função f : A B é dita sobrejetiva quando para todo y B existe x A com y = f(x). Em palavras, a função é sobrejetiva quando todo ponto de B é imagem de algum ponto de A (Im(f) = B). Uma função sobrejetiva é um modo de comparar tamanho de conjuntos. Se f : A B é sobrejetiva, podemos pensar que A B. O que signica dizer que uma função não é sobrejetiva? Dê um exemplo de função que não é sobrejetiva. 3.3 Funções Bijetivas Denição 4 Uma função f : A B é dita bijetiva quando é injetiva e sobrejetiva. Se existe uma bijeção (função bijetiva) f : A B, podemos pensar que A = B. Isso a princípio vai contra a intuição que temos, pois desse modo podemos encontrar A B, B\A, e uma bijeção f : B A. É claro que isso não acontece com conjuntos nitos, mas é muito fácil quando os conjuntos são innitos. Como no exemplo a seguir. 6

7 Exemplo Seja P o conjunto dos naturais pares. Temos que P N, e a função f : N P dada por f(x) = 2x é uma bijeção. Apesar de ser bastante contra-intuitivo em alguns casos, dizer que dois conjuntos tem o mesmo tamanho quando existe uma bijeção entre eles funciona muito bem no sentido matemático: é bem denido (não gera problemas matemáticos) e é muito útil. O leitor talvez precise de um tempo para respirar fundo e meditar sobre isso. A seguir daremos alguns exemplos que poderão destruir a sua infância, portanto leia com cuidado. Encontre uma bijeção entre Z e N. Dena f : N N N, pondo f(1, n) = 2n 1 e f(m+1, n) = 2 m.(2n 1). Prove que f é uma bijeção. Verique que a função f : R ( 1, 1), denida por f(x) = uma bijeção de R sobre o intervalo aberto ( 1, 1). x 1+x 2 é 3.4 Função Inversa Seja f : A B uma bijeção. Se y B, como f é sobrejetiva existe algum x A tal que f(x) = y, podemos então denir uma 'coisa' g : B A que leva y para x. Dissemos 'uma coisa' em vez de dizer 'uma função' porque para dizer que g é uma função temos que vericar se cada elemento do domínio B está relacionado a um único elemento de A, e de fato está, pois como f é injetiva, existe um único x que vai para y. Assim a função g está bem denida, ou seja, g : B A dada por g(y) = x (onde x = f(y)) é uma função. Observe que se x A então temos que g(f(x)) = x, ou seja, x vai para y = f(x) por f enquanto que g faz o caminho inverso, levando f(x) para x. Por essa razão dizemos que g é a função inversa de f e denotamos por f 1 : B A 7

8 Denição 5 Seja f : A B uma bijeção. A inversa de f, f 1 : B A, é a função dada por f 1 (f(x)) = x. Encontre as inversas das seguintes funções: a) f : R + R + dada por f(x) = 1 x ; b) f : R + R + dada por f(x) = x n ; c) f : R + (0, 1) dada por f(x) = x 1 + x ; 8

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

Sequências. 1 Denição, Intuição e Primeiros Exemplos. Alan Anderson. 5 de dezembro de 2015

Sequências. 1 Denição, Intuição e Primeiros Exemplos. Alan Anderson. 5 de dezembro de 2015 Sequências Alan Anderson 5 de dezembro de 2015 1 Denição, Intuição e Primeiros s Se você não estiver familiarizado com funções, apenas leia isso e ignore a primeira denição: Uma sequência pode ser vista

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos.

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Denir função e conhecer os seus elementos; Listar as principais funções e seus grácos. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as

Leia mais

Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R.

Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Capítulo 2 Funções e grácos 2.1 Funções númericas Chamamos de funções numéricas aquelas cujas variáveis envolvidas são números reais. Isso é funções denidas sobre R ou uma parte de R e a valor em R. Denição

Leia mais

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas

Leia mais

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS

26 CAPÍTULO 4. LIMITES E ASSÍNTOTAS Capítulo 4 Limites e assíntotas 4.1 Limite no ponto Considere a função f(x) = x 1 x 1. Observe que esta função não é denida em x = 1. Contudo, fazendo x sucientemente próximo de 1 (mais não igual a1),

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 10 23 de maio de 2010 Aula 10 Pré-Cálculo 1 Funções injetivas Funções injetivas, sobrejetivas

Leia mais

Funções, Seqüências, Cardinalidade

Funções, Seqüências, Cardinalidade Funções, Seqüências, Cardinalidade Prof.: Rossini Monteiro Noções Básicas Definição (Função) Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um mapeamento de exatamente um elemento de B para cada elemento

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;

Leia mais

Álgebra Linear. Alan Anderson

Álgebra Linear. Alan Anderson Álgebra Linear Alan Anderson 9 de abril de 2016 1 Espaço Euclidiano Denimos o espaço euclidiano n dimensional R n como sendo o conjunto das listas de n números reais. R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,...,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Produtos Notáveis; Equações; Inequações; Função; Função Afim; Paridade;

Leia mais

ANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

ANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do

Leia mais

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função

Leia mais

Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo IV Aproximação de Funções 1 Interpolação Polinomial 1. Na tabela seguinte

Leia mais

Lista Função - Ita Carlos Peixoto

Lista Função - Ita Carlos Peixoto Lista Função - Ita Carlos Peixoto. (Ita 07) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f : X Y. II. Existe uma função injetora g: Y X. III.

Leia mais

Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos

Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos Fernando Lucatelli Nunes Brasília - DF Sumário Prefácio.............................. 3 0 Conjuntos e Relações 5 0.1 Conjuntos.............................

Leia mais

GRUPOS ALGUNS GRUPOS IMPORTANTES. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

GRUPOS ALGUNS GRUPOS IMPORTANTES. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Professora: Elisandra Bär de Figueiredo GRUPOS DEFINIÇÃO 1 Sejam G um conjunto não vazio e (x, y) x y uma lei de composição interna em G. Dizemos que G é um grupo em relação a essa lei se (a) a operação

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 03: Funções Inversas e Compostas.Transformações no Gráco de uma Função. Objetivos da Aula Denir função bijetora e função

Leia mais

MÓDULO 41. Funções II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

MÓDULO 41. Funções II. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 41 Funções II 1. (OPM) Seja f uma função de domínio dada por x x + 1 f(x) =. Determine o conjunto-imagem x + x + 1 da função.. Considere

Leia mais

Métodos Estatísticos Básicos

Métodos Estatísticos Básicos Aula 6 - Introdução à probabilidade Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Experimento Experimento aleatório (E ): é um experimento que pode ser repetido indenidamente

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,

Leia mais

A. Equações não lineares

A. Equações não lineares A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm uma e uma só solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)

Leia mais

{ } { } { } { } { } Professor: Erivaldo. Função Composta SUPERSEMI. 01)(Aman 2013) Sejam as funções reais ( ) 2

{ } { } { } { } { } Professor: Erivaldo. Função Composta SUPERSEMI. 01)(Aman 2013) Sejam as funções reais ( ) 2 Centro de Estudos Matemáticos Florianópolis Professor: Erivaldo Santa Catarina Função Composta SUPERSEMI 01)(Aman 013) Sejam as funções reais ( ) f x = x + 4x e gx ( ) = x 1. O domínio da função f(g(x))

Leia mais

Mudança de base. Lista de exercícios. Professora: Graciela Moro

Mudança de base. Lista de exercícios. Professora: Graciela Moro Lista de exercícios Professora: Graciela Moro Mudança de base. Sejam β {( ) ( )} β {( ) ( )} β { ) ( )} e β {( ) ( )} bases ordenadas de R. (a) Encontre a matrizes mudança de base: i. [I β β ii. [I β β

Leia mais

GRUPOS CÍCLICOS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

GRUPOS CÍCLICOS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Professora: Elisandra Bär de Figueiredo GRUPOS CÍCLICOS Potências e Múltiplos DEFINIÇÃO 1 Seja G um grupo multiplicativo. Dado a G dene-se a potência m-ésima de a, para todo inteiro m, ˆ se m 0, por recorrência

Leia mais

PLANO DE AULA. Objetivos Específicos: Apresentar atividades que utilizam padrões (figuras) em que os estudantes deverão encontrar a lei para resolver.

PLANO DE AULA. Objetivos Específicos: Apresentar atividades que utilizam padrões (figuras) em que os estudantes deverão encontrar a lei para resolver. PLANO DE AULA PIBID- Subprojeto Matemática Campus: Caçapava do Sul Bolsistas: Valéria Perceval Conceitos/Conteúdos: Funções Objetivos geral: Introduzirr o conceito de funções; Objetivos Específicos: Apresentar

Leia mais

Notas de Aula de Fundamentos de Matemática

Notas de Aula de Fundamentos de Matemática Universidade Estadual de Montes Claros Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Ciências Exatas Notas de Aula de Fundamentos de Matemática Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que

Leia mais

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES

E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 FUNÇÕES 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 3 SUMÁRIO Apresentação -------------------------------------------------------2 Capítulo 3 ------------------------------------------------------

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Álgebra - Nível 3. Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange. 1. Diferenças Finitas

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Álgebra - Nível 3. Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange. 1. Diferenças Finitas Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 3 Prof. Cícero Thiago / Prof. Marcelo Aula 10 Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange. 1. Diferenças Finitas Seja P(x) um polinômio

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula de maio de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 11 28 de maio de 2010 Aula 11 Pré-Cálculo 1 A função raiz quadrada f : [0, + ) [0, + ) x y

Leia mais

0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis.

0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/03 - Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. 0. Função Inversa Definição. Uma função f : A C é injetiva se f(x) f(y) para todo x y, x, y A. Seja f :

Leia mais

Capítulo 1. Limites nitos. 1.1 Limite nito num ponto

Capítulo 1. Limites nitos. 1.1 Limite nito num ponto Capítulo 1 Limites nitos 1.1 Limite nito num ponto Denição 1. Seja uma função f : D f R R, x y = f(x, e p R tal que p D f ou p é um ponto da extremidade de D f. Dizemos que a função f possui ite nito no

Leia mais

Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange

Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange Marina Andretta ICMC-USP 09 de maio de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500 - cálculo

Leia mais

Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas

Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática - Estruturas Algébricas Prof a.: Elisangela Farias e Sérgio Motta FUNÇÕES Sejam X e Y conjuntos.

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por

Leia mais

1 Teoria dos Conjuntos O conceito de conjunto Conjunto e estrutura elemento, subconjunto operações...

1 Teoria dos Conjuntos O conceito de conjunto Conjunto e estrutura elemento, subconjunto operações... Sumário Introdução.......................... 6 1 Teoria dos Conjuntos. 7 1.1 O conceito de conjunto........................... 7 1.2 Conjunto e estrutura............................ 11 1.3 elemento, subconjunto...........................

Leia mais

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda Daniel De modo intuitivo, uma função f : A B, com A,B R é dita contínua se variações suficientemente pequenas em x resultam em variações pequenas de f(x), ou equivalentemente, se para x suficientemente

Leia mais

x exp( t 2 )dt f(x) =

x exp( t 2 )dt f(x) = INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia Aproximação

Leia mais

Contando o Infinito: os Números Cardinais

Contando o Infinito: os Números Cardinais Contando o Infinito: os Números Cardinais Sérgio Tadao Martins 4 de junho de 2005 No one will expel us from the paradise that Cantor has created for us David Hilbert 1 Introdução Quantos elementos há no

Leia mais

Aula 24. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 24. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Polinômios de Taylor Aula 24 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 08 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica Os polinômios

Leia mais

Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo II Resolução Numérica de Equações Não-Lineares 1. Considere a equação sin(x)

Leia mais

Exercícios de Matemática Funções Função Bijetora

Exercícios de Matemática Funções Função Bijetora Exercícios de Matemática Funções Função Bijetora 1. (Ufpe) Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas: ( ) Se f:aëb é uma função injetora então m n. ( )

Leia mais

Derivada. Capítulo Retas tangentes e normais Número derivado

Derivada. Capítulo Retas tangentes e normais Número derivado Capítulo 3 Derivada 3.1 Retas tangentes e normais Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente e a reta normal a uma curvay= f(x) num determinado ponto (a,f(a)) da curva. Por isso

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Funções decrescentes. Funções crescentes. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Definição. Definição Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Parte 3 Pré-Cálculo 1 Parte 3 Pré-Cálculo 2 Funções crescentes Funções

Leia mais

Capítulo 2. Conjuntos Infinitos

Capítulo 2. Conjuntos Infinitos Capítulo 2 Conjuntos Infinitos Não é raro encontrarmos exemplos equivocados de conjuntos infinitos, como a quantidade de grãos de areia na praia ou a quantidade de estrelas no céu. Acontece que essas quantidades,

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as

Leia mais

Funções Reais a uma Variável Real

Funções Reais a uma Variável Real Funções Reais a uma Variável Real 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por

Leia mais

Cap. 4- Interpolação Numérica Definições. Censos de BH. Qual o número de habitantes na cidade de Belo Horizonte em 1975?

Cap. 4- Interpolação Numérica Definições. Censos de BH. Qual o número de habitantes na cidade de Belo Horizonte em 1975? Cap. 4- Interpolação Numérica 4.1. Definições Censos de BH População em BH (Habitantes,5,,, 1,5, 1,, 5, 194 196 198 Ano Ano 195 196 197 198 1991 1996 1 No. habitantes 5.74 68.98 1.5. 1.78.855..161.91.71.8.56.75.444

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança

Leia mais

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:

Leia mais

MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04

MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04 MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04 Para efetuar cálculos, a forma mais eciente de representar os números reais é por meio de expressões decimais. Vamos falar um pouco

Leia mais

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará

Leia mais

Funções exponenciais e logarítmicas

Funções exponenciais e logarítmicas Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções exponenciais e logarítmicas Parte 07 Parte 7 Matemática Básica 1 Parte 7 Matemática

Leia mais

Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 FICHA DE TRABALHO

Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 FICHA DE TRABALHO Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 Uma função, f, é uma aplicação de um conjunto, D, que designamos por domínio, para um conjunto, C, designado por contra-domínio, segundo uma lei, f(x),

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos

Leia mais

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,

Leia mais

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite.

Derivadas 1 DEFINIÇÃO. A derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto de uma determinada curva, essa reta é obtida a partir de um limite. Derivadas 1 DEFINIÇÃO A partir das noções de limite, é possível chegarmos a uma definição importantíssima para o Cálculo, esta é a derivada. Por definição: A derivada é a inclinação da reta tangente a

Leia mais

Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi

Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi Bases Matemáticas - Turma A3 1 a Avaliação (resolvida) - Prof. Armando Caputi IMPORTANTE A resolução apresentada aqui vai além de um mero gabarito. Além de cumprir esse papel de referência para as respostas,

Leia mais

MATEMÁTICA - SEMI/NOITE PROF. FELIPE HEY 20/04/ Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. a) ( ) -8 = 8 b) ( ) 5 = ±5

MATEMÁTICA - SEMI/NOITE PROF. FELIPE HEY 20/04/ Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. a) ( ) -8 = 8 b) ( ) 5 = ±5 MATEMÁTICA - SEMI/NOITE PROF. FELIPE HEY 20/04/2016 Aula 04 FUNÇÃO MODULAR 01.01. Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. a) ( ) -8 = 8 b) ( ) 5 = ±5 c) ( ) x² d) ( ) 3 ² 3 e) (

Leia mais

da Teoria do conjuntos

da Teoria do conjuntos UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET Departamento de Matemática Topologia do ponto de vista da Teoria do conjuntos Aluna: Natalia de Barros Gonçalves Orientador:

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas

CÁLCULO I. 1 Funções Exponenciais e Logarítmicas CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula Denir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas;

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE. Aula 2 p.1/57

Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE. Aula 2 p.1/57 Aula 2 p.1/57 Aula 2: Funções. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Definição e representação Aula 2 p.2/57 Aula 2 p.3/57 Função Definição: Uma função de um conjunto em um conjunto, é uma correspondência

Leia mais

Matemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ

Matemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 1 de Janeiro de 1 - Parte I (1h3m) 1. Considere

Leia mais

Aula 13 de Bases Matemáticas

Aula 13 de Bases Matemáticas Aula 3 de Bases Matemáticas Rodrigo Hausen Versão: 8 de julho de 206 Catálogo de Funções Reais No estudo de unções é extremamente útil conhecer as propriedades e gráicos de algumas unções reais. Função

Leia mais

Fabio Augusto Camargo

Fabio Augusto Camargo Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Introdução à Topologia Autor: Fabio Augusto Camargo Orientador: Prof. Dr. Márcio de Jesus Soares

Leia mais

Slides de apoio: Fundamentos

Slides de apoio: Fundamentos Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio: Fundamentos Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2017 Conjuntos Um conjunto é coleção de objetos, chamados de elememtos do conjunto. Nomeraremos conjuntos

Leia mais

CÁLCULO I Aula 01: Funções.

CÁLCULO I Aula 01: Funções. Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois

Leia mais

Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange

Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange Cícero Thiago B. Magalhães 19 de janeiro de 014 1 Diferenças finitas Seja P(x) um polinômio de grau m. Defina +1 P(n) = P(n +1) P(n), 1, com 1

Leia mais

Produtos de potências racionais. números primos.

Produtos de potências racionais. números primos. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e

Leia mais

Notas de Aula de Números e Funções Reais. Tutor - Fernando Junior Orientador - Fábio Carvalho

Notas de Aula de Números e Funções Reais. Tutor - Fernando Junior Orientador - Fábio Carvalho Notas de Aula de Números e Funções Reais Tutor - Fernando Junior Orientador - Fábio Carvalho Sumário Conjuntos 4 Conjuntos Numéricos 7. Os Naturais N.............................................. 7. Adição

Leia mais

CM Funções. Notas de Aula PSE Departamento de Matemática - UFPR

CM Funções. Notas de Aula PSE Departamento de Matemática - UFPR 1. CM 18 - Funções Notas de Aula PSE 017 Departamento de Matemática - UFPR Sumário 1 Conjuntos 4 1.1 Aula 1 - Operações entre conjuntos................................... 4 1.1.1 Conjuntos.............................................

Leia mais

Lista 2 Funções: Definição e exemplos

Lista 2 Funções: Definição e exemplos Lista Funções: Definição e exemplos. Seja f : R R definida por f(x) = x 3. Qual é o elemento do dominio que 5 tem 3 como imagem? 4. É dada uma função real tal que: (a) f(x) f(y) = f(x + y) (b) f() = (c)

Leia mais

Funções. Funções. Cardinalidade de conjuntos. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.

Funções. Funções. Cardinalidade de conjuntos. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006. Funções Funções. Cardinalidade de conjuntos. Referência: Capítulo: 3 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 FUNÇÕES Funções-2 Definição de função Uma função

Leia mais

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0

FUNÇÕES. a < 0. a = 0. a > 0. b < 0 b = 0 b > 0 FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2 Funções e Modelos Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil Quatro maneiras de representar uma função Verbalmente (Descrevendo-a

Leia mais

Exercícios de Matemática Computacional -Cap. 6 Interpolação e aproximação polinomial

Exercícios de Matemática Computacional -Cap. 6 Interpolação e aproximação polinomial Exercícios de Matemática Computacional -Cap. 6 Interpolação e aproximação polinomial.. Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior Matemática Computacional - Capítulo 6 Questão 6.1 Questão

Leia mais

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez. Primeira Avaliação

Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez. Primeira Avaliação Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez Primeira Avaliação ) Sejam definidos os seguintes conjuntos ( ponto): I = Conjunto de pessoas

Leia mais

A função raiz quadrada

A função raiz quadrada Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função raiz quadrada Parte 6 Parte 6 Matemática Básica 1 Parte 6 Matemática Básica 2 A função

Leia mais

Técnicas de. Integração

Técnicas de. Integração Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

Leia mais

Números naturais e cardinalidade

Números naturais e cardinalidade Números naturais e cardinalidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 5 de Janeiro de 2008 Resumo 1 Axiomas de Peano e o princípio da indução Intuitivamente, o conjunto N dos números naturais corresponde

Leia mais

FUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal

FUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro. Autoria: Prof. Denise Candal FUNÇÕES Disciplina: Lógica Aplicada Prof. Rafael Dias Ribeiro Autoria: Prof. Denise Candal Plano Cartesiano Fixando em um plano dois eixos reais Ox e Oy, perpendiculares entre si no ponto O, podemos determinar

Leia mais

Notas sobre conjuntos, funções e cardinalidade (semana 1 do curso)

Notas sobre conjuntos, funções e cardinalidade (semana 1 do curso) Notas sobre conjuntos, funções e cardinalidade (semana 1 do curso) Roberto Imbuzeiro Oliveira 8 de Janeiro de 2014 1 Conjuntos e funções Neste curso procuraremos fundamentar de forma precisa os fundamentos

Leia mais

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par.

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par. Funções Elementares Sadao Massago Maio de 0. Apresentação Neste teto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O teto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para

Leia mais

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito. a(x x 0) = b(y 0 y).

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito. a(x x 0) = b(y 0 y). MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 016.1 Gabarito Questão 01 [ 1,00 ::: (a)=0,50; (b)=0,50 ] (a) Seja x 0, y 0 uma solução da equação diofantina ax + by = c, onde a, b são inteiros

Leia mais

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =

Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Erivaldo UDESC Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0,353535... = 35 99 2) 2,1343434... = 2134 21 99 0 Decimal (Indo-Arábico): 2107 = 2.10 3 + 1.10 2 + 0.10 1 + 7.10 0 Número de

Leia mais

CONSTRUÇÃO DE ALGORITMO COMO FERRAMENTA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SOBRE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE

CONSTRUÇÃO DE ALGORITMO COMO FERRAMENTA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SOBRE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE CONSTRUÇÃO DE ALGORITMO COMO FERRAMENTA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS SOBRE INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE F. SALVALAGGIO 1 ; M.A. CARRARO 2 ; J.A.T. SCHULZ 3 RESUMO: Este trabalho apresenta o estudo, desenvolvimento

Leia mais

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E.

FUNÇÕES. Carlos Eurico Galvão Rosa UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS UFPR JCE001 GALVÃO ROSA,C.E. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ UFPR CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL LICENCIATURAS Injetiva FUNÇÕES Sobrejetiva Bijetiva Carlos Eurico Galvão Rosa UFPR 1 / 33 de Injetiva Sobrejetiva Bijetiva : Dados

Leia mais

complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 - Jerônimo C. Pellegrini Relações de Equivalência e de Ordem

complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 - Jerônimo C. Pellegrini Relações de Equivalência e de Ordem Relações de Equivalência e de Ordem complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 Jerônimo C. Pellegrini 5 de agosto de 2013 ii Sumário Sumário Nomenclatura 1 Conjuntos e Relações 1 1.1

Leia mais

Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos

Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos MAT 1351 Cálculo para funções uma variável real I Curso noturno de Licenciatura em Matemática 1 semestre de 2016 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

Unidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix

Unidade II MATEMÁTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix Unidade II MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix Equações do 1º grau Resolver uma equação do 1º grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja,

Leia mais

Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática

Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Valor Absoluto: O valor absoluto de a, representa-se por a e é a distância do número a a

Leia mais

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição

Leia mais

JOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017

JOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017 9 de Outubro de 2017 Vetores Ferramenta matemática que é utilizada nas seguintes disciplinas dos cursos de Engenharia: Física; Mecânica Resistência dos materiais Fenômenos do transporte Consideremos um

Leia mais