Lista de exercícios 1

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS CCA/ UFES Departamento de Engenharia Rural Lista de exercícios 1 Disciplina: Linguagens Formais e Autômatos Professora: Juliana Pinheiro Campos Data: 31/03/2011 Assuntos: Introdução (alfabeto, cadeias, strings, etc), AFD s e AFN s 1) Sabendo que: Prefixo é qualquer sequencia inicial de símbolos da palavra. Sufixo é qualquer sequencia final de símbolos da palavra. Subpalavras é qualquer sequencia contígua de símbolos da palavra. Escreva todos os prefixos, sufixos e subpalavras para as palavras a seguir: a. aaa b. abcb c. aaba Solução: prefixos aaa = ε, a, aa, aaa; sufixos aaa = ε, a, aa, aaa; subpalavras aaa = ε, a, aa, aaa prefixos abcb = ε, a, ab, abc, abcb; sufixos abcb = ε, b, cb, bcb, abcb; subpalavras abcb = ε, a, b, c, ab, bc, cb, abc, bcb, abcb; 2) É possível generalizar e responder qual é o número de prefixos, sufixos e subpalavras de uma palavra de tamanho n? Solução: O nº de prefixos e sufixos para palavras de tamanho n é n+1; Para subpalavras não dá para falar pois não se sabe quanto símbolos compõem a palavra, nem se existem símbolos repetidos, etc. 3) Explique a diferença entre Σ = {0,1} e Σ 1 = {0,1}. O primeiro apresenta um alfabeto Σ composto por dois símbolos, 0 e 1. O segundo representa uma potência do alfabeto: o conjunto de todas as strings de comprimento 1 do alfabeto. 4) Considerando um alfabeto, explique o que representa * - {ε}. Dê um exemplo. * - {ε} = +, ou seja, corresponde a todas as cadeias que podem ser formadas com os símbolos do alfabeto, menos o ε. 5) Dados os AFD M1 e M2, responda às seguintes questões sobre cada um deles: M1: M2:

2 a) Qual é o estado inicial? M1: q0 M2: q0 b) Qual é o conjunto de estados de aceitação? M1: {q1} M2 = {q0,q3} c) Por qual sequência de estados a máquina passa para a entrada aabb? M1: q1, q2,q0,q0 M2: q0, q0, q1, q3 d) A máquina aceita a cadeia aabb? M1: não M2: sim e) A máquina aceita a cadeia ε? M1: não M2: sim f) Dê a descrição formal das máquinas M1 e M2. M1: ({q0, q1, q2}, {a,b}, δ, q0, {q1}) δ a b q0 q1 q0 q1 q2 q2 q2 q1 q0 M2: ({q0, q1, q2, q3}, {a,b}, δ, q0, {q0, q3}) δ a b

3 q0 q0 q1 q1 q2 q3 q2 q1 q0 q3 q2 q3 6) A descrição formal de um AFD M é ({q1, q2, q3, q4, q5}, {u,d}, δ, q3, {q3}), onde δ é dada pela tabela a seguir. Dê o diagrama de estados dessa máquina. δ u d q1 q1 q2 q2 q1 q3 q3 q2 q4 q4 q3 q5 q5 q4 q5 7) Construa AFDs (dê o diagrama de estados) para as seguintes linguagens sobre o alfabeto {0,1}: a) o conjunto das palavras de tamanho 3. b) conjunto das palavras com no máximo três 1's.

4 c) conjunto das palavras de tamanho múltiplo de 3. d) o conjunto de palavras que começa com um 1 e termina com um 0. e) conjunto de palavras que contém a subcadeia f) conjunto das palavras de tamanho múltiplo de 3 com um ou dois 1s.

5 OBS: O nome de cada estado possui o formato xy, sendo que x representa o número de símbolos lidos até o momento e y representa o número de 1s lidos. 8) Construa AFNs reconhecendo cada uma das linguagens a seguir. a) A linguagem {ε} com 1 estado. b) A linguagem {w w termina com 00} com 3 estados. c) A linguagem que tem bb ou não tem aa para o alfabeto {a,b}.

6 d) A linguagem {w є {a, b, c}* o último símbolo de w seja idêntico ao primeiro}.

7 9) Seja o AFN M = ({q1, q2, q3}, {a,b}, δ, {q1}, {q1, q2, q3}), onde δ é dada pela tabela a seguir. δ a b q1 {q2} {} q2 {q3} {} q3 {} {q3} Obtenha um AFN com um único estado final equivalente a M. Equivalente: 10) Converta os AFNs abaixo em AFDs: a)

8 b)

9 OBS: λ = ε estudado em sala. 11) Dados os AFNs do exercício anterior, desenhe a árvore de possibilidades para cada cadeia a seguir e responda se elas são aceitas ou não por cada um dos AFNs. Se a cadeia for aceita, indique por qual sequencia de estados a máquina passa para que isso aconteça. a) aaa A primeira rejeita e a segunda aceita. b) aabba É aceita pela primeira. Estados: q0, q0, q0, q1, q0, q0 É aceita pela segunda: Estados: q1, q0, q2, q2, q2, q1 12) Dado o AFN M = ({q0, q1}, {0, 1}, δ, q0, {q1}) e: δ 0 1 q0 {q0,q1} {q1} q1 {} {q0,q1} Construir o AFD equivalente. Solução: n esquecer que todos os estados que possuem o final, serão finais

10 13) Minimize o seguinte AFD: Solução

11 14) Especifique um AFD que, dentre as palavras que se escrevem com os símbolos 0, 1 e 2, aceite apenas aquelas cujo somatório dos símbolos, interpretados como números, seja divisível por 3.

12 15) Minimize o AFD do exercício anterior. 16) A descrição formal de um AFD M é ({q0, q1, q2, q3, q4}, {0,1}, δ, q0, {q2, q4}), onde δ é dada pela tabela a seguir. Minimize M. δ 0 1 q0 q3 q1 q1 q4 q1 q2 q3 q0 q3 q2 q3 q4 q1 q0

13 Solução (seu mínimo)