Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

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Giovanna Amarante Cesário
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1 Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior jc Aula 03 ATIVIDADE 01 (a) Sejam u = (a b)/(a + b), v = (b c)/(b + c) e w = (c a)/(c + a). Mostre que (1 + u) (1 + v) (1 + w) = (1 u) (1 v) (1 w). Dica: se você não conseguiu demonstrar a igualdade acima com papel e lápis, tente usar o GeoGebra! Defina u := (a b)/(a + b), v := (b c)/(b + c), w := (c a)/(c + a), r := (1 + u)(1 + v)(1 + w), s := (1 u)(1 v)(1 w) e, em seguida, calcule r s. (b) Mostre que se a, b e c são números diferentes de zero, distintos dois a dois e tais que a + b + c = 0, então: ( a b c + b c a + c ) ( b c + c a + a b ) = 9. a b a b c Tente fazer a mão e, depois, tente fazer usando o GeoGebra. ATIVIDADE 02 O GeoGebra possui várias funções e constantes matemáticas já definidas. Na Tabela 1 temos uma lista de símbolos mais usados com as respectivas representações e, na Tabela 2, uma lista com as funções matemáticas mais conhecidas. Por exemplo, no GeoGebra, i = 1 é representado pelo símbolo í. Seja f(n) = i n, onde i = 1 e n N. Calcule f(5), f(500) e f(587). É possível estabelecer uma fórmula geral? 1

ATIVIDADE 03 O comando Fatorar[...] também pode ser usado para fatorar polinômios. Por exemplo, o comando Fatorar[3 x 4 + 5 x 3 3 x 1] devolverá a expressão algébrica (3x 2 x 1)(x + 1) 2.

2 ATIVIDADE 03 O comando Fatorar[...] também pode ser usado para fatorar polinômios. Por exemplo, o comando Fatorar[3 x x 3 3 x 1] devolverá a expressão algébrica (3x 2 x 1)(x + 1) 2. Note que o GeoGebra procura simplificar fatores comuns em funções racionais, isto é, ele devolve uma expressão na forma numerador/denominador, onde o numerador e o denominador são polinômios relativamente primos com coeficientes inteiros. 2

Mais precisamente, se f(x) = x2 1 x 1 e g(x) = x + 1, então as funções f e g são iguais?

3 Se você definir uma função através do campo de Entrada, a simplificação não é automática. Será preciso usar o comando Simplificar[...], na Janela CAS, para obtê-la. Para o GeoGebra CAS, (x 2 1)/(x 1) e x+1 são expressões iguais. Elas são realmente iguais? Mais precisamente, se f(x) = x2 1 x 1 e g(x) = x + 1, então as funções f e g são iguais? ATIVIDADE 04 O GeoGebra, além de trabalhar simbolicamente com números inteiros, racionais e irracionais, também reconhece números representados através de sua representação decimal! Para isto, basta usar o comando ValorNumérico[...]. Cuidado: o último dígito pode estar arredondado! 3

4 Também é possível converter uma representação decimal para uma fração da forma p/q, com p e q 0 inteiros. (a) Use o GeoGebra para decidir quais dos números 19/6, 22/7 e 25/8 melhor aproxima π. (b) Digite os números a = / e b = / no Campo de Entrada do GeoGebra. Eles são iguais? Tente descobrir uma resposta usando o comando ValorNumérico[...] com um número de dígitos adequado. (c) Verdadeiro ou falso? Se ValorNumérico[a, n] = ValorNumérico[b, n], então a = b? Justifique a sua resposta! (d) Use o GeoGebra para colocar os números 8 2, 1 + sen(597) e ln(3) em ordem crescente. Justifique seu procedimento! Para resolver as questões indicadas abaixo, os seguintes comandos do GeoGebra podem ser úteis: ÉPrimo[n] (que testa se n é um número primo), PróximoPrimo[n] (que determina o próximo primo que é maior do que n) e ValorNumérico[n, c] (que calcula uma aproximação do número n com c casas decimais). (e) Para quais números primos p a representação decimal de 1/p é finita? (f) Seja p um número primo tal que a representação decimal de 1/p é infinita (e, naturalmente, periódica, pois trata-se de um número racional). Qual é o número máximo de dígitos do período desta representação decimal? ATIVIDADE ELETRÔNICA 06 (a) Encontre pelo menos três números primos p para os quais a representação decimal de 1/p é infinita e tem período com um número par de dígitos. (b) O Teorema de Midy diz que, para frações irredutíveis da forma a/p (com p um número primo diferente de 2 e 5) cujas expansões decimais possuem um período com um número par de dígitos, a soma da primeira metade com a segunda metade do período dá um número cujos dígitos são todos iguais a 9. Por exemplo, 5/13 = 0, e = 999. Verifique a validade do Teorema de Midy para as frações 1/p que você encontrou no item (c). (c) Encontre pelo menos três números primos p para os quais a representação decimal de 1/p é infinita e tem um período com um número ímpar de dígitos. 4

Envie a sua resposta para o seguinte e-mail: trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-06: representações decimais como assunto (subject) deste e-mail.

..] é usado para simplificar expressões com funções trigonométricas. Existe também um comando para expandir funções trigonométricas: ExpandirExpressõesTrigonométricas[.

5 Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-06: representações decimais como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os enviados até o dia 07/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE 05 O comando SimplificarExpressõesTrigonométricas[...] é usado para simplificar expressões com funções trigonométricas. Existe também um comando para expandir funções trigonométricas: ExpandirExpressõesTrigonométricas[...] (a) Usando o GeoGebra, encontre uma expressão para cos(7a) em termos de cos(a). Dica: use os comandos ExpandirExpressõesTrigonométricas[...] e Substituir[...]. (b) Use o GeoGebra para calcular ExpandirExpressõesTrigonométricas[sec(arctan(x))]. Tente demonstrar o resultado dado pelo GeoGebra! 5

ATIVIDADE 06 O GeoGebra possui um mecanismo que permite gerar muito facilmente uma sequência (finita) de elementos definidos por alguma lei de formação.

6 ATIVIDADE 06 O GeoGebra possui um mecanismo que permite gerar muito facilmente uma sequência (finita) de elementos definidos por alguma lei de formação. Este tipo de recurso é muito útil quando queremos gerar exemplos ou procurar contra-exemplos para certas afirmações matemáticas. Vamos acompanhar um exemplo. O comando Sequência[...] permite gerar uma sequência finita de elementos. Sua sintaxe é a seguinte: Sequência[f(n), n, a, z], onde f(n) é uma expressão que depende de n que, por sua vez, é uma variável que assume valores inteiros entre a e z. Vamos usar este comando para listar os 12 primeiros números ímpares positivos. Se combinarmos o comando Sequência[...] com o comando ÉPrimo[...], podemos identificar facilmente quais números entre 1 e 50 são primos: Sequência[{n, ÉPrimo[n]}, n, 1, 50] (não vamos colocar o resultado deste comando, pois ele ocuparia muito espaço). (a) Verdadeiro ou falso? 2 n 1 é um número primo para todo natural n > 1. Justifique a sua resposta. (b) Verdadeiro ou falso? n 3 5n + 1não é divisível por 5 para todo natural n positivo. Justifique sua resposta. (c) Verdadeiro ou falso? n 3 n + 2 é um número par para todo natural n positivo. Fustifique sua resposta. ATIVIDADE ELETRÔNICA 07 Verdadeiro ou falso? n 2 + n + 41 é um número primo para todo n N. Justifique sua resposta. Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-07: números primos como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os enviados até o dia 07/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. 6

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