GAN Lógica para Ciência da Computação I. Profs. Petrucio Viana e Renata de Freitas. Lista 14 - Demonstrações em LPO

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1 GAN Lógica para Ciência da Computação GAN Lógica para Ciência da Computação I Profs. Petrucio Viana e Renata de Freitas Lista 14 - Demonstrações em LPO 1. Simbolize os argumentos a seguir em LPO e apresente uma demonstração da conclusão a Todos os gatos têm bigodes. Frajola não tem bigodes. Logo, Frajola não é um gato. Todos os fantasmas que vivem na velha mansão gostam de André. André não gosta de ninguém que gosta dele. Logo, qualquer fantasma do qual André goste, não vive na velha mansão. Nenhum estudante gosta de nenhum professor. Cada estudante gosta de todos os estudantes. Logo, nenhum professor é estudante. 2. Mostre que os seguintes argumentos são válidos, usando o Método de Demonstração. x(c(x) B(x)) x(a(x) C(x)) x(a(x) B(x) C(x)) x(b(x) C(x)) x(a(x) C(x)) x(a(x) B(x)) x(c(x) D(x) B(x)) A C D x(a(x) B(x) C(x)) x(a(x) B(x) D(x)) x(a(x) C(x) E(x)) x(a(x) E(x) D(x)) x(a(x) y(b(y) R(x, y))) x(c(x) B(x)) x(a(x) y(c(y) R(x, y))) 3. Simbolize os argumentos a seguir em LPO e apresente uma demonstração da conclusão a Todos os pássaros têm asas. Nenhum peixe tem asas. Logo, nenhum peixe é um pássaro. Todos os físicos são matemáticos. André não é um matemático. Logo, André não é um físico.

2 Bacharéis são graduados. Licenciados são graduados. Logo, tanto bacharéis quanto licenciados são graduados. Nem professores nem alunos votaram. André votou. Logo, André não é professor. Os únicos animais que têm penas são os pássaros. Todos os pássaros cantam. Logo, nenhum animal que não canta tem penas. (f) Toda casa tem uma máquina de lavar louça ou uma máquina de lavar roupa. Toda casa com uma máquina de lavar roupa tem também uma secadora de roupa. Toda casa com uma máquina de lavar louça tem também um rádio. Logo, toda casa que não tem um rádio tem uma secadora de roupa. (g) Apenas fantasmas vivem na mansão abandonada. Nenhum fantasma feliz é inteligente. Nenhum fantasma é feliz. Logo, qualquer um que viva na mansão abandonada é inteligente ou infeliz. (h) Todo matemático gosta de todos os cientistas da computação. Nenhum matemático gosta de algum filósofo. Carl Friedrich Gauss é um matemático. Logo, nenhum filósofo é cientista da computação. (i) Todo professor é mais velho que todo estudante. André não é mais velho que Beatriz, que é estudante. Logo, André não é professor. (j) Homens que são atletas são fãs tanto de vôlei quanto de basquete. Atletas que são fãs de vôlei são homens que são fãs de basquete. Qualquer um que não seja um atleta é um homem que é fã de vôlei. Logo, todos os homens são fãs de vôlei e vice-versa. (k) Pais e mães gostam de crianças. André é um pai que não gosta de Beatriz. Nenhuma mãe gosta de Custódio. Diana é uma mãe. Logo, nem Beatriz nem Custódio são crianças. (l) Qualquer um que goste de todos os advogados é um criminoso. Apenas mentirosos gostam de todos os criminosos. Advogados gostam de advogados e criminosos gostam de criminosos. Logo, todos os advogados são mentirosos. (m) Todo professor que possui apresenta um trabalho em um congresso é pesquisador. André apresenta Logic em todos os congressos. Logo, se André é um professor, Logic é um trabalho e EBL é um congresso, então André é um pesquisador. (n) André resolve todos as questões em todas as provas. Qualquer um que resolva uma questão em uma prova é um aluno. Beatriz resolve todas as questões em todas as provas. Logo, se Beatriz é um gênio, então ela é uma aluna, desde que Q seja uma questão e P seja uma prova. (o) Nenhum aluno divide o lanche com um desafeto. Todo aluno divide o lanche com seus colegas de turma. Logo, nenhum aluno possui desafetos entre os seus colegas de turma. 2

3 4. Mostre que os seguintes argumentos são válidos, usando o Método de Demonstração. (f) x(a(x) y(b(y) R(x, y))) B R(b, a) A y(b(y) xa(x)) xb(x) B x y z(r(x, y) R(y, z) R(x, z)) x y(r(x, y) R(y, x)) x y(r(x, y) R(x, x)) x y z(r(x, y) R(y, z) R(x, z)) x y(r(x, y) R(y, x)) xr(x, a) xr(x, x) x y(a(x) B(y) R(x, y)) y(c(y) R(a, y)) A z(c(z) B(z)) x(a(x) y(b(y) C(y) R(x, y))) x(a(x) R(x, a)) x(c(x) B(x)) A B C (g) (h) (i) x y(r(x, y) R(y, x) S(x, y)) x y z(r(x, z) R(y, z) S(x, y)) x y(r(x, y) R(f(y), f(x))) xr(x, f(x)) xr(f(f(x)), f(x)) x y z(r(x, z) R(y, z) R(x, y)) xr(x, f(x)) R(a, b) R(b, c) R(a, c) (Dica: mostre primeiramente que R é reflexiva e simétrica.) 5. Simbolize os argumentos a seguir em LPO e apresente uma demonstração da conclusão a Todos os gatos são mamíferos. Alguns gatos não têm rabo. Logo, alguns mamíferos não têm rabo. Alguns animais não têm asas. Apenas animais com asas podem voar. Logo, alguns animais não podem voar. Todos os números racionais são números reais. Nem todos os números racionais são inteiros. Logo, nem todos os números reais são inteiros. 3

4 Todo mundo que é mais velho que André é também mais velho que Beatriz. Apenas professores são mais velhos que Beatriz. Logo, apenas professores são mais velhos que André. Gatos e cachorros são animais domésticos. Animais domésticos são alimentados com ração. Nenhum animal alimentado com ração tem deficiência de cálcio. Logo, nenhum gato tem deficiência de cálcio. (f) Estudantes e estagiários são menores de 30 anos. Alguns estudantes são da UFF e alguns estagiários são da UFF. Ou todos os menores de 30 anos são confiáveis ou nenhum menor de 30 anos é confiável. Logo, ou algum estudante é confiável ou algum estagiário não é confiável. (g) Todas as funções diferenciáveis são contínuas. Nem toda função integrável é contínua. Logo, nem toda função integrável é diferenciável. (h) Todos os estudantes admiram todos os coordenadores. Existe um estudante que admira um professor. Algum pesquisador é coordenador e professor. Logo, existe um estudante que admira algum pesquisador. (i) Existe um médico de quem nenhum enfermeiro gosta. Qualquer um que não goste de um médico é hipocondríaco. Logo, todos os enfermeiros são hipocondríacos. (j) Toda barata é um ser vivo. Logo, quem mata uma barata mata um ser vivo. (k) Todo quadro em um museu é uma obra de arte. Qualquer artista que pinte uma obra de arte é um gênio. Um artista desconhecido pintou um quadro que está em um museu. Logo, algum artista desconhecido é um gênio. 6. Mostre que os seguintes argumentos são válidos, usando o Método de Demonstração. x(p (x) Q(x)) x(q(x) R(x, a)) P x(q(x) R(x, a)) x(p (x) Q(x)) x(q(x) R(x, a)) xp (x) x(q(x) R(x, a)) x(a(x) B(x) C(x) D(x)) y(e(y) C(y) B(y)) xe(x) x(e(x) C(x)) x(a(x) B(x) C(x))) y(b(y) C(y) D(y)) xa(x) xb(x) xd(x) y(p (y) x(q(x) R(x, y)) x(q(x) y(p (y) R(x, y))) 4

5 7. Classifique os argumentos a seguir como válidos ou inválidos. Para os que forem válidos, apresente uma demonstração da conclusão a partir das premissas. Para os que forem inválidos, apresente uma estrutura de primeira ordem na qual as premissas são todas verdadeiras e a conclusão é falsa. (f) x(p (x) Q(x)) x Q(x) x(p (x) Q(x)) xq(x) x(a(x) B(x)) x(a(x) C(x)) x C(x) xb(x) x(p (x) Q(x)) x Q(x) x(p (x) Q(x)) xp (x) xq(x) x yr(x, y) x y(r(x, y) S(x, y)) x y S(x, y) 5