RACIOCÍNIO LÓGICO. Quantificadores. Prof. Renato Oliveira

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO. Prof. Renato Oliveira

2 Os quantificadores são proposições categóricas que transformam sentenças abertas em proposições lógicas, pela quantificação das variáveis. Exemplo: x + 2 > 4 não é proposição, por ser sentença aberta. Existe x, x + 2 > 4, é verdadeira se x {3,4,5} Para todo x, x + 2 > 4, é falsa se x {0,2,4}

3 TODO A é B ALGUM A é B NENHUM A é B ALGUM A não é B (X) ( A(X) B(X) ) Qualquer que seja x, se x pertence a A, pertence necessa riamente a B. (X) (A(X) B(X) ) Existe um elemento x tal que x pertence a A e x pertence B. (X) (A(X) B(X) ) (X) (A(X) B(X) ) Não Existe um elemento x tal que x pertence a A e x pertence B. Existe um elemento x tal que x pertence a A e x não pertence B.

4 Considere a seguinte argumentação lógica: Todos os ricos são saudáveis. Nenhum agricultor é saudável. Logo, nenhum agricultor é rico. Denote por x um indivíduo qualquer e simbolize por R(x) o fato de o indivíduo ser rico, por S(x) o fato de ele ser saudável por A(x) o fato de ser agricultor. Nesse contexto e com base na argumentação lógica, julgue os itens seguintes. 1) A argumentação é valida.

5 2) A argumentação lógica pode ser simbolizada por ( x)(r(x) S(x)) ( x)(a(x) S(x))... ( x)(a(x) R(x))

6 Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e, nesse caso, avaliar uma proposição como V ou F vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por exemplo, a proposição Todos os advogados são homens, que pode ser simbolizada por ( )(A(x) H(x)), em que A(x) representa x é advogado e H(x) representa x é homem, será V se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário, será F. Para expressar simbolicamente a proposição Algum advogado é homem, escreve-se ( x)(a(x) H(x)). Nesse caso, considerando que x pertença ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V. Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, estão simbolizadas algumas formas de proposições.

7 A partir das informações do texto, julgue o item subsequente. 3) A proposição Nenhum pavão é misterioso está corretamente simbolizada por ( x)(p(x) M(x)), se P(x) representa x é um pavão e M(x) representa x é misterioso.

8 Proposição é uma frase que pode ser julgada como verdadeira V ou falsa F, não cabendo a ela ambos os julgamentos. Um argumento correto é uma seqüência de proposições na qual algumas são premissas, e consideradas V, e as demais são conclusões, que, por conseqüência da veracidade das premissas, também são V. Proposições simples podem ser representadas simbolicamente pelas letras A, B, C etc. Conexões entre proposições podem ser feitas por meio de símbolos especiais. Uma proposição da forma A B, lida como A ou B, tem valor lógico F quando A e B são F; caso contrário, é V. Uma proposição da forma A B, lida como A e B, tem valor lógico V quando A e B são V; caso contrário, é F. Uma proposição da forma A, a negação de A, é F quando A é V, e é V quando A é F.

9 Uma expressão da forma P(x), proposição da lógica de primeira ordem, em que P denota uma propriedade a respeito dos elementos x de um conjunto U, tem a sua veracidade ou falsidade dependente de U e do significado dado a P. Se a proposição for da forma xp(x), lida como Existe x tal que P(x), tem a sua valoração V ou F dependente de existir ou não um elemento em U que satisfaça a P.

10 4) Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade x é mulher e que D(x) seja a propriedade x é desempregada. Nesse caso, a proposição Nenhuma mulher é desempregada fica corretamente simbolizada por x(m(x) D(x)).