Simbolização de Enunciados com um Quantificador

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1 Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 13 Simbolização de Enunciados com um Quantificador Sumário 1 Quantificadores: simbolização e sintaxe 2 2 Explicitando e quantificando variáveis Observações Exercícios resolvidos Enunciados componentes Observações Exercício resolvido Legendas Observações Exercício resolvido Simbolização de enunciados com um quantificador no início Observações Exercícios resolvidos Neste texto, abordarmos alguns aspectos da formação de enunciados que possuem ocorrências de quantificadores. Em particular, abordamos a reescrita e a simbolização de enunciados. Estendemos os conceitos de enunciado componente, legenda e simbolização para os enunciados que possuem uma única ocorrência de quantificador (no início) e só possuem ocorrências de propriedades. Depois de estudá-lo, vamos ser capazes de: determinar os enunciados componentes dos enunciados que possuem uma única ocorrência de quantificador; determinar legendas para a simbolização de enunciados que possuem uma única ocorrência de quantificador; simbolizar enunciados que possuem uma única ocorrência de quantificador; simbolizar enunciados obtidos por aplicação dos conectivos a enunciados que possuem uma única ocorrência de quantificador. 1

2 Este texto sobre a simbolização de enunciados quantificados corresponde ao Texto 4, sobre a simbolização de enunciados que só possuem ocorrências de conectivos. 1 Quantificadores: simbolização e sintaxe O estudo da formação de enunciados consiste em, dado um enunciado, analisálo, classificando-o como atômico ou molecular e, quando molecular, explicitando a maneira como ele é formado. A principal ferramenta empregada no estudo da formação de enunciados é a simbolização. A simbolização começa com a atribuição de símbolos aos quantificadores. As partículas para todo, existe ao menos um são chamadas de quantificadores lógicos, quando são usadas na formação de enunciados da maneira que será agora especificada. Sempre que for conveniente, vamos simbolizar os quantificadores de acordo com a tabela: quantificador símbolo para todo existe Como no caso dos conectivos, esta convenção tem dois objetivos: (1) simplificar a descrição de como os enunciados são formados; (2) alertar que na Linguagem Matemática os quantificadores são empregados de uma maneira peculiar, diferente da maneira como eles são usados em outras linguagens. Sintaxe dos quantificadores O processo de simbolização de enunciados que contém ocorrências de quantificadores é mais complexo do que o de simbolização de enunciados que contém apenas conectivos. Principalmente, quando os quantificadores ocorrem aninhados ou negados, em enunciados como: Nem todos gostam de alguém que gosta de todos que não gostam de ninguém. Mas, existem certas diretrizes que, quando respeitadas, nos ajudam na simbolização de enunciados com quantificadores. Em nossos estudos, vamos explicitar algumas delas em detalhes. Quanto à sua aplicação na formação de enunciados, os quantificadores seguem as seguintes regras bem determinadas: 2

3 O quantificador Regra de formação do para todo: para todo em conjunto com uma variável v, é aplicado a um enunciado ϕ(v), que possui ao menos uma ocorrência livre da variável v (e que pode possuir ocorrências de outras variáveis) e forma o enunciado chamado a generalização de ϕ(v). vϕ(v) Para eliminar ambiguidades, podemos usar parênteses (chaves, colchetes,... ) escrevendo v(ϕ(v)) ou v[ϕ(v)], ou ainda v{ϕ(v)}. O quantificador Regra de formação do existe: existe em conjunto com uma variável v, é aplicado a um enunciado ϕ(v), que possui ao menos uma ocorrência livre da variável v (e que pode possuir ocorrências de outras variáveis) e forma o enunciado chamado a existencialização de ϕ(v). vϕ(v) Para eliminar ambiguidades, podemos usar parênteses (chaves, colchetes,... ) escrevendo v(ϕ(v)) ou v[ϕ(v)], ou ainda v{ϕ(v)}. Exemplo 1 Dos enunciados x (x está calado) x (x tem o que dizer) x (x é derivável) x (x tem uma descontinuidade) o primeiro e o terceiro são generalizações e o segundo e o quarto são existencializações. Assim, antes de inicarmos o estudo dos quantificadores, os enunciados moleculares foram classificados em cinco categorias: negação, conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação. Agora, com a consideração dos quantificadores, incorporamos mais duas novas categorias a esta lista: generalização e existencialização. 3

4 2 Explicitando e quantificando variáveis As regras de formação dos quantificadores deixam claro que cada aplicação de um quantificador deve estar associada a uma ocorrência livre de variável, no enunciado que está sendo quantificado. Muitas vezes, esta variável não ocorre explicitamente ou vem escrita como uma frase da Língua Portuguesa, dificultando a aplicação do quantificador. Assim, como no caso dos enunciados que possuem somente ocorrências de conectivos, um passo essencial na análise de enunciados que possuem ocorrências de quantificadores é a reescrita dos enunciados em questão, de modo a explicitar as variáveis que ocorrem nos enunciados. Inicialmente, vamos considerar os enunciados mais simples... Em tudo o que segue: 1. Os enunciados atômicos são da forma expressão e propriedade. Por exemplo, x é par, q(y) etc. (Ou seja, nenhum deles é da forma expressões e relação.) 2. Os enunciados quantificados possuem apenas um quantificador, no início, por exemplo, todos são ímpares, zr(z) etc. 3. Os enunciados moleculares (que não são generalizações nem existencializações) são formados por aplicações dos conectivos a enunciados dos dois tipos acima, por exemplo, (x é par q(y)) (todos são ímpares zr(z)) etc. Muito do que vamos dizer sobre a reescrita e simbolização de enunciados se aplica a qualquer tipo de enunciado, seja ele atômico ou molecular. Mas as discussões que vamos levar a termo são facilitadas se restringimos as análises iniciais somente a enunciados dos três tipos acima. Exemplo 2 (a) O enunciado atômico aberto ele é mortal (1) é da forma expressão e propriedade. A expressão é uma variável. Assim, (1) pode ser reescrito como x é mortal Agora, a partir de (1), podemos formar a generalização x(x é mortal) por aplicação do quantificador em conjunto com a variável x e, também, a existencialização x(x é mortal) 4

5 por aplicação do quantificador em conjunto com a variável x. Observe que estes enunciados são fechados e podem ser reescritos como todos são mortais e respectivamente. (b) O enunciado atômico aberto existem mortais é da forma duas expressões e relação. A expressão 2y + 1 = 0 (2) 2y + 1 possui a ocorrência de uma única variável que não precisa ser reescrita. A partir de (2), podemos formar a existencialização fechada y(2y + 1 = 0) por aplicação do quantificador em conjunto com a variável y e, também, a generalização fechada y(2y + 1 = 0) por aplicação do quantificador em conjunto com a variável y. Observe que, como (2) só possui ocorrência de uma variável, do ponto de vista da quantificação, não perdemos nada em considerá-lo como da forma expressão e propriedade, onde a expressão é 2y + 1 e propriedade é 2.1 Observações ser igual a 0 Observação 1 Usualmente, quando estamos explicitando as variáveis que ocorrem em um enunciado, as variáveis que ocorrem no enunciado reescrito podem ser escolhidas arbitrariamente. Ou seja, quando reescrevemos enunciados explicitando variáveis, a princípio, quaisquer variáveis podem ser utilizadas. Por exemplo, o enunciado do Exemplo 2(a) poderia ter sido reescrito como y é mortal Mas, uma vez escolhidas as variáveis que vão ser usadas, não podemos mais mudá-las durante a análise lógica do enunciado. 5

6 2.2 Exercícios resolvidos Exercício 1 Reescrever os enunciados, explicitando as ocorrências de variáveis: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) ele passou ela estudou ele estudou e passou ela estudou e não passou ele aprendeu e, por isso, passou ela não aprendeu mas, mesmo assim, passou Exercício 2 Reescrever os enunciados abaixo, de acordo com o que foi feito no Exemplo 2: (i) (ii) (iii) (iv) (v) ele é feliz ele é namorado de Julieta todos gostam de sorvete alguém gosta de Romeu todos gostam da peça Romeu e Julieta Antes de ler as resoluções, tente resolver os exercícios usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) x passou. (ii) y estudou. Poderíamos ter usado a variável x, pois os itens são independentes. (iii) x estudou x passou. Devemos usar a variável x em ambos os componentes, pois ambos se referem à mesma pessoa. (iv) y estudou (y passou). Devemos usar a variável y em ambos os componentes, pois ambos se referem à mesma pessoa. (v) O enunciado afirma que ele aprendeu, ele passou e que ter passado foi uma consequência de ter aprendido. Pode ser reescrito como: x aprendeu (x aprendeu x passou). Devemos usar a variável x em todos os componentes, pois todos se referem a mesma pessoa. (vi) O enunciado afirma que ela não aprendeu e ela passou. Pode ser reescrito como: [ (x aprendeu)] x passou. Devemos usar a variável x em todos os componentes, pois todos se referem à mesma pessoa. Resolução do Exercício 2: (i) Reescrita: x é feliz, explicitando a variável que corresponde a ele. (ii) Reescrita: x é namorado de Julieta, explicitando a variável que corresponde a ele. (iii) Reescrita: para todo x, x gosta de sorvete, explicitando a variável que acompanha a ocorrência do quantificador para todo. Com para todo simbolizado, pode ser reescrito como: x (x gosta de sorvete). (iv) Reescrita: existe x, tal que x gosta de Romeu explicitando a variável que acompanha a ocorrência do quantificador existe. Com existe simbolizado, pode ser reescrito como x (x gosta de Romeu). (v) Reescrita: para todo x, x gosta da peça Romeu e Julieta explicitando a variável que acompanha a ocorrência do quantificador para todo. Com para todo simbolizado, pode ser reescrito como x (x gosta da peça Romeu e Julieta). 6

7 3 Enunciados componentes Como no caso dos enunciados que só possuem ocorrências de conectivos, o primeiro passo para simbolização é determinar os enunciados componentes. Seja ϕ um enunciado que possui um única ocorrência de quantificador e somente ocorrências de propriedades. Para determinar os enunciados componentes de ϕ, devemos explicitar todas as propriedades que ocorrem em ϕ e reescrevê-las usando variáveis, da maneira que será agora especificada. Exemplo 3 (a) O enunciado todos são bem vindos possui ocorrência da propriedade ser bem vindo que pode ser reescrita, por meio da variável x, como x é bem vindo (b) O enunciado existem alienígenas possui ocorrência da propriedade ser alienígena que pode ser reescrita, por meio da variável y, como y é alienígena (c) O enunciado todos os homens são mortais possui ocorrência das propriedades ser homem, ser mortal que podem ser reescritas, por meio da variável z, como z é homem, z é mortal 7

8 (d) O enunciado possui ocorrência das propriedades existem pessoas que valem a pena ser pessoa, valer a pena que podem ser reescritas, por meio da variável u, como (e) O enunciado possui ocorrência das propriedades u é pessoa, u vale a pena todos os atletas amadores têm contusões ser atleta, ser amador, ter contusão que podem ser reescritas, por meio da variável x, como (f) O enunciado x é atleta, x é amador, x tem contusão possui ocorrência das propriedades existem pessoas de Minas que vão à praia ser pessoa, ser de Minas, ir à praia que podem ser reescritas, por meio da variável y, como 3.1 Observações y é pessoa, y é de Minas, y vai à praia Observação 2 As mesmas observações já feitas, quando estudamos enunciados componentes de enunciados formados apenas por aplicação dos conectivos, se aplicam no caso dos quantificadores: (1) Como os componentes são enunciados atômicos, eles não possuem ocorrências de conectivos. (2) Ocorrências distintas de um mesmo enunciado atômico, em um dado enunciado, não devem ser identificadas, isto é, devem ser consideradas como componentes distintas. 3.2 Exercício resolvido Exercício 3 Determinar os enunciados componentes de cada enunciado abaixo, de acordo com o que foi feito no Exemplo 3: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (v) todos gostam de pipoca existem pensadores todos os sapos são verdes existem pássaros nadando todos os pagantes estão sentados e se divertindo existem animais selvagens que estão em cativeiro 8

9 Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 2: (i) Propriedade: gostar de pipoca. Componente: x gosta de pipoca. (ii) Propriedade: ser pensador. Componente: x é pensador. (iii) Propriedades: ser sapo e ser verde. Componentes: x é sapo e x é verde. (iv) Propriedades: ser pássaro e estar nadando. Componentes: x é pássaro e x está nadando. (v) Propriedades: ser pagante, estar sentado e estar se divertindo. Componentes: x é pagante, x está sentado e x está se divertindo. (vi) Propriedades: ser animal, ser silvestre e estar em cativeiro. Componentes: x é animal, x é selvagem e x está em cativeiro. 4 Legendas Agora que temos os componentes, o segundo passo é a elaboração de uma legenda de simbolização. Antes de definir esta noção, vamos analisá-la através de exemplos. Exemplo 4 (a) De acordo com o Exemplo 3(a), uma legenda para o enunciado pode ser a seguinte: todos são bem vindos b(x) : x é bem vindo Para elaborar esta legenda, usamos uma letra sugestiva seguida da variável x entre parênteses, para simbolizar a propriedade x é bem vindo (b) De acordo com o Exemplo 3(b), uma legenda para o enunciado pode ser a seguinte: existem alienígenas a(y) : y é alienígena Para elaborar esta legenda, usamos uma letra sugestiva seguida da variável y entre parênteses, para simbolizar a propriedade y é alienígena (c) De acordo com o Exemplo 3(c), uma legenda para o enunciado todos os homens são mortais pode ser a seguinte: h(z) : z é homem m(z) : z é mortal 9

10 Para elaborar esta legenda, usamos letras sugestivas seguidas de variáveis entre parênteses, para simbolizar as propriedades z é homem e z é mortal (d) De acordo com o Exemplo 3(d), uma legenda para o enunciado pode ser a seguinte: existem pessoas que valem a pena p(u) : u é pessoa v(u) : u vale a pena Para elaborar esta legenda, usamos letras sugestivas seguidas de variáveis entre parênteses, para simbolizar as propriedades u é pessoa e u vale a pena (e) De acordo com o Exemplo 3(e), uma legenda para o enunciado todos os atletas amadores têm contusões pode ser a seguinte: a(x) : x é atleta m(x) : x é amador c(x) : x tem contusão (f) De acordo com o Exemplo 3(e), uma legenda para o enunciado pode ser a seguinte: existem pessoas de Minas que vão à praia p(y) : y é pessoa q(y) : y é de Minas r(y) : y vai á praia Aqui, decidimos usar letras padrão como p, q, r, etc. Podemos, agora, definir a noção de legenda para enunciados cujos componentes são da forma propriedade aplicada a variável: 10

11 Sejam ϕ 1 (v 1 ), ϕ 2 (v 2 ),..., ϕ n (v n ) enunciados atômicos, distintos dois a dois, onde v 1, v 2,..., v n são variáveis (não necessariamente distintas duas a duas). Uma legenda para ϕ 1 (v 1 ), ϕ 2 (v 2 ),..., ϕ n (v n ) é um esquema da forma: L 1 (v 1 ) : ϕ 1 (v 1 ) L 2 (v 2 ) : ϕ 2 (v 2 ). L n (v n ) : ϕ n (v n ) onde L 1, L 2,..., L n são n letras distintas, escolhidas dentre as letras a, b, c,..., p, q, r,..., de acordo com a necessidade. Seja ϕ um enunciado. Uma legenda para ϕ é uma legenda para os enunciados atômicos que compõem ϕ. 4.1 Observações Observação 3 Na elaboração de uma legenda, devemos ter cuidado para que as seguintes condições sejam satisfeitas: 1. Para todo índice i, cada L i deve ser da forma X(v), onde X é uma das letras a, b, c,..., p, q, r,... e v é uma variável. 2. Na determinação das letras L 1, L 2,..., L n, devemos usar letras novas de acordo com a necessidade do uso de símbolos diferentes. 4.2 Exercício resolvido Exercício 4 Para cada enunciado abaixo, faça o que se pede: (1) Determine seu(s) componente(s). Observe que alguns quantificadores foram escritos de uma forma estilizada. Por isto, quando for necessário, reescreva o enunciado, de modo a tornar a sua estrutura mais aparente. (2) Baseado na solução do item (1), defina uma legenda para o enunciado. 11

12 (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) ela não vai viajar ele e ela são professores todo aluno estuda alguns alunos não vão à monitoria nem todo professor é bem pago alguns alunos gostam de MB e não gostam de MD todo professor que faz pesquisa vai ao congresso existe aluno que assiste às aulas mas não presta atenção nem todo professor vai viajar e participar do congresso há professores que não se preparam e nem explicam a matéria Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 4: (i) Componente: x vai viajar. Legenda: v(x) : x vai viajar. (ii) Componentes: x é professor e y é professora. Legenda: p(x) : x é professor q(y) : y é professora (iii) Componentes: x é aluno e x estuda. Legenda: a(x) : x é aluno e(x) : x estuda. (iv) Componentes: x é aluno e x vai à monitoria. Legenda: a(x) : x é aluno c(x) : x comparece. (v) Componentes: x é professor e x é bem pago. Legenda: p(x) : x é professor b(x) : x é bem pago. (vi) Componentes: x é aluno, x gosta de MB e x gosta de MD. Legenda: a(x) : x é aluno b(x) : x gosta de MB (vii) Componentes: x é professor, x faz pesquisa e x d(x) : x gosta de MD. vai ao congresso. Legenda: p(x) : x é professor q(x) : x faz pesquisa (viii) Componentes: x é aluno, x assiste às aulas r(x) : x x vai ao congresso. e x presta atenção. Legenda: a(x) : x é aluno t(x) : x assiste às aulas (ix) Componentes: x é professor, x vai viajar e x vai p(x) : x presta atenção. participar do congresso. Legenda: p(x) : é professor q(x) : x vai viajar (x) Componentes: x é professor, x se r(x) : x vai participar do congresso. prepara e x explica a matéria. Legenda: p(x) : x é professor q(x) : x se prepara r(x) : x explica a matéria. 12

13 5 Simbolização de enunciados com um quantificador no início Após termos identificado as propriedades, tê-las reescrito usado as variáveis e determinado as legendas para a simbolização do enunciado, o terceiro passo que devemos efetuar se desdobra nos seguintes: Se o enunciado possui uma única ocorrência de uma única propriedade, aplicamos o quantificador correspondente à propriedade reescrita, de acordo com a variável usada na legenda. Exemplo 5 (a) O enunciado todos são bem vindos afirma que cada objeto do domínio de quantificação tem a propriedade vindo. Assim, de acordo com a legenda b(x) : x é bem vindo ele pode ser simbolizado por: x(b(x)) ser bem (b) O enunciado existem alienígenas afirma que ao menos um objeto do domínio de quantificação tem a propriedade alienígena. Assim, de acordo com a legenda a(y) : y é alienígena ele pode ser simbolizado por: y(a(y)) ser Se o enunciado possui mais de uma ocorrência de alguma propriedade (lembre-se, estamos tratando apenas de enunciados que possuem uma única ocorrência de quantificador no início e somente ocorrências de propriedades), devemos: (1) determinar a maneira como os enunciados componentes estão estruturados, por aplicações sucessivas dos conectivos; (2) simbolizar o enunciado formado a partir dos componentes por aplicação dos conectivos, de acordo com a legenda; (3) aplicar o quantificador correspondente ao enunciado simbolizado, de acordo com a variável usada na legenda. 13

14 Exemplo 6 (c) O enunciado todos os homens são mortais afirma que cada objeto do domínio de quantificação que tem a propriedade ser homem também tem a propriedade ser mortal. Ou seja, que para cada valor que z assume no domínio de quantificação, a implicação z é homem z é mortal é verdadeira. Assim, de acordo com a legenda ele pode ser simbolizado por: h(z) : z é homem m(z) : z é mortal z(h(z) m(z)) Observe que a determinação exata do domínio de quantificação não foi relevante para nenhum dos passos do processo que levou à simbolização do enunciado quantificado. (d) O enunciado existem pessoas que valem a pena afirma que algum objeto do domínio de quantificação tem as propriedades ser pessoa e valer a pena simultaneamente. Ou seja, que para algum valor que u assume no domínio de quantificação, a conjunção u é pessoa u vale a pena é verdadeira. Assim, de acordo com a legenda ele pode ser simbolizado por: p(u) : u é pessoa v(u) : u vale a pena u(p(u) v(u)) Observe que, novamente, a determinação do domínio de quantificação não foi relevante para a simbolização. (e) O enunciado todos os atletas amadores têm contusões afirma que cada objeto do domínio de quantificação que tem simultaneamente as propriedades ser atleta e ser amador também tem a propriedade ter contusão. Ou seja, que para cada valor que x assume no domínio de quantificação, a implicação (x é atleta x é amador) z tem contusão 14

15 é verdadeira. Assim, de acordo com a legenda ele pode ser simbolizado por: (f) O enunciado a(x) : x é atleta m(x) : x é amador c(x) : x tem contusão x((a(x) m(x)) c(x)) existem pessoas de Minas que vão à praia afirma que algum objeto do domínio de quantificação tem as propriedades ser pessoa, ser de Minas e ir à praia simultaneamente. Ou seja, que para algum valor que y assume no domínio de quantificação, a conjunção y é pessoa y é de Minas y vai à praia é verdadeira. Assim, de acordo com a legenda ele pode ser simbolizado por: 5.1 Observações p(y) : y é pessoa q(y) : y é de Minas r(y) : y vai à praia y(p(y) q(y) r(y)) Observação 4 Um dilema que pode acontecer na simbolização de enunciados que só possuem ocorrências de propriedades se dá quando temos uma conjunção de propriedades, formando um enunciado a ser simbolizado. Por exemplo, nos enunciados: x é número e x é natural ele é brasileiro e tem orgulho F é figura e F é plana e F é convexa ela é mulher e tem filhos e trabalha Neste caso, a princípio, sempre temos duas opções à nossa disposição: 1. Considerar cada propriedade isoladamente e reescrever a conjunção de modo a produzir uma legenda adequada. Nos casos acima, os enunciados podem ser reescritos como: x é número x é natural y é brasileiro y tem orgulho z é figura z é plana z é convexa u é mulher u tem filhos u trabalha 15

16 2. Agrupar as propriedades, de modo a obter uma única propriedade que expressa a conjunção. Nos casos acima, os enunciados podem ser reescritos como: x é número natural y é brasileiro orgulhoso z é figura plana convexa u é mulher trabalhadora com filhos Embora, do ponto de vista da Lógica, ambas as possibilidades estejam corretas: Em nossos estudos, sempre vamos optar por considerar as propriedades isoladamente, na definição das legendas. Observação 5 Enunciados da forma todos os P são Q onde P e Q correspondem a propriedades arbitrárias são muito comuns na Linguagem Matemática. Por exemplo, as seguintes são frases típicas da Matemática: todos os triângulos são figuras todos os quadrados são poĺıgonos regulares todo número primo maior do que 2 é ímpar todo polinômio de grau ímpar tem raízes reais A frequência com que enunciados deste tipo aparecem nos textos matemáticos leva os mais precipitados a considerarem que enunciados que possuem uma única ocorrência de para todo no início, devem sempre ser simbolizados na forma v(ϕ(v) ψ(v)) onde ϕ(v) e ψ(v) são simbolizações adequadas dos enunciados componentes envolvidos. Embora isto seja verdade na grande maioria dos casos de interesse, isto não é verdade sempre, como ilustram os seguintes enunciados típicos: todos são jovens e inocentes tudo é quadrado ou redondo um número é par se, e somente se, é divisível por 2 que possuem as seguintes formas: respectivamente. x((ϕ(x) ψ(x)) x((ϕ(x) ψ(x)) x((ϕ(x) ψ(x)) 16

17 Observação 6 Analogamente, enunciados da forma existem P que são Q onde P e Q correspondem a propriedades arbitrárias são muito comuns na Linguagem Matemática. Por exemplo, as seguintes são frases típicas da Matemática: existem triângulos retângulos existem losangos que são quadrados existe um número primo par existem polinômios que não possuem raízes inteiras Novamente, dada a grande frequência de enunciados deste tipo, alguns podem ser levados a considerar que enunciados que possuem uma única ocorrência de existe no início devem sempre ser simbolizados na forma v(ϕ(v) ψ(v)) onde ϕ(v) e ψ(v) são simbolizações adequadas dos enunciados componentes envolvidos. Embora isto seja verdade na grande maioria dos casos de interesse, isto não é verdade sempre, como ilustram os seguintes enunciados típicos: existem pulgas ou carrapatos alguns quando coagidos reagem tem gente que ajuda o próximo se, e somente se, é paga para isto que possuem as seguintes formas: respectivamente. 5.2 Exercícios resolvidos x(ϕ(x) ψ(x)) x(ϕ(x) ψ(x)) x(ϕ(x) ψ(x)) Exercício 5 Para cada enunciado abaixo, determine uma legenda para a sua simbolização e simbolize-o, de acordo com a legenda determinada. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) todos são covardes alguns são corajosos todas as mulheres são meigas alguns homens são brutos todos os quadrados são losangos e retângulos alguns triângulos são isósceles e escalenos todas as figuras planas têm duas dimensões algumas figuras tridimensionais só têm duas dimensões cada número que eu escolhi é primo certos números não são primos e nem compostos 17

18 Exercício 6 Para cada enunciado abaixo, determine uma legenda para a sua simbolização e simbolize-o, de acordo com a legenda determinada. (i) todos são jovens e inocentes (ii) tudo é quadrado ou redondo (iii) um número é par se, e somente se, é divisível por 2 (iv) existem pulgas ou carrapatos (v) alguns quando coagidos reagem (vi) tem gente que ajuda o próximo se, e somente se, é paga para isto Exercício 7 Para cada enunciado abaixo, determine uma legenda para a sua simbolização e simbolize-o, de acordo com a legenda determinada. (i) (ii) (iii) (iv) (v) nem todos são honestos não existe aquecimento global todos sorriem, mas alguns são tristes alguns sobrevivem ou todos os esforços são em vão se todos praticam esportes, alguns são campeões Antes de ler as resoluções, tente resolver os exercícios usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 5: (i) Legenda: p(x) : x é covarde. Simbolização: x(p(x)). (ii) Legenda: q(x) : x é corajoso. Simbolização: x(q(x)). (iii) Legenda: r(x) : x é mulher s(x) : x é meiga. Simbolização: x(r(x) s(x)). (iv) Legenda: t(x) : x é homem u(x) : x é bruto. Simbolização: x(t(x) u(x)). (v) Legenda: p(x) : x é quadrado q(x) : x é losango Simbolização: x[p(x) (q(x) r(x))]. (vi) Legenda: r(x) : x é retângulo. p(x) : x é triângulo q(x) : x é isósceles Simbolização: x[p(x) q(x) r(x)]. (vii) Legenda: r(x) : x é escaleno. p(x) : x é figura q(x) : x é plana Simbolização: x[(p(x) q(x)) r(x)]. (viii) r(x) : x tem duas dimensões. p(x) : x é figura Legenda: q(x) : x é tridimensional Simbolização: x[p(x) q(x) r(x)]. r(x) : x só tem duas dimensões. (ix) Pode ser reescrito como todo número que eu escolhi é primo. Legenda: p(x) : x é número q(x) : x é escolhido por mim Simbolização: x[(p(x) q(x)) r(x)]. (x) r(x) : x é primo. Pode ser reescrito como existem números que não são primos e não são compostos. Legenda: 18

19 p(x) : x é número q(x) : x é primo r(x) : x é composto. Simbolização: x(p(x) ( q(x)) ( r(x))). j(x) : x é jovem Resolução do Exercício 6: (i) Legenda: Afirma que i(x) : x é inocente. cada objeto do domínio é jovem e é inocente. Simbolização: x(j(x) i(x)). (ii) q(x) : x é quadrado Legenda: Afirma que cada objeto do domínio é quadrado r(x) : x é redondo. ou é redondo. Simbolização: x(q(x) r(x)). (iii) Legenda: p(x) : x é número par Afirma que para cada objeto do domínio ser d(x) : x é divisível por dois. número par é o mesmo que ser divisível por dois. Simbolização: x(p(x) d(x)). p(x) : x é pulga (iv) Legenda: Afirma que algum objeto do domínio é uma c(x) : x é carrapato. pulga ou é um carrapato. Simbolização: x(p(x) c(x)). (v) Legenda: c(x) : x é coagido Afirma que algum objeto do domínio reage, quando é r(x) : x reage. coagido. Simbolização: x(c(x) r(x)). Resolução do item (vi) Legenda: a(x) : x ajuda o próximo Afirma que para algum objeto do p(x) : x é pago para ajudar ao próximo. domínio ajudar o próximo é o mesmo que ser pago para fornecer esta ajuda. Simbolização: x(a(x) p(x)). Resolução do Exercício 7: (i) Reescrita: não é o caso que: todos são honestos. Legenda: p(x) : x é honesto. Simbolização: ( x(p(x))), ou: x(p(x)). (ii) Pode ser reescrito como: não é o caso que: existe aquecimento global. Legenda: p(x) : x é aquecimento global. Simbolização: ( x(q(x))), ou: x(q(x)). (iii) Reescrita: (para todo x: x sorri) e (existe x: x é triste). Legenda: r(x) : x sorri s(x) : x é triste. Simbolizado como: ( x(r(x))) ( x(s(x))), ou: ( x(r(x))) ( y(s(y))). (iv) Reescrita: (existe x: x sobrevive) ou (para todo x: t(x) : x sobrevive se x é esforço, então x é em vão). Legenda: u(x) : x é esforço Simbolização: v(x) : x é em vão. ( x(t(x))) ( x(u(x) v(x))). (v) Reescrita: se (para todo x: x pratica esporte), então (existe x: x é campeão). Legenda: p(x) : x pratica esporte q(x) : x é campeão. Simbolização: x(p(x)) x(q(x)), ou: x(p(x)) y(q(y)). c 2014 Márcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 19