Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra a Lista de Exercícios Tópico: Algumas questões de Lógica 1. Considere que, em um pequeno grupo de pessoas envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que falam a verdade e os que sempre mentem. Se o indivíduo P desse grupo afirma que o indivíduo Q fala a verdade e Q afirma que P e ele são tipos opostos de indivíduos, o que se pode concluir? (a) P fala a verdade e Q mente. (c) P mente e Q fala a verdade (b) P e Q falam verdade. (d) P e Q mentem. 2. No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de Matemática e Lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios do raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado neste enigma. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentira. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas quando carrega a ficha preta, fala somente verdade. Se a primeira pessoa diz: Nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz: Nossas fichas são da mesma cor, então qual a cor da ficha da primeira pessoa? 3. Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico; 2) ou Ricardo é professor ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4)ou Rogério é professor ou Renato é professor. Qual é a profissão de cada um dos irmãos? 4. Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, (a) Não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. (b) Não sou amiga de Clara e nem de Abel. (c) Sou amiga de Nara e amiga de Abel. (d) Sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara. 5. Se não durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo: a) Não durmo, estou furioso e não bebo. b) Durmo, estou furioso e não bebo. c) Durmo, não estou furioso e não bebo. d) Não durmo, estou furioso e não bebo.

2 2 6. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: I - Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. II - Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois. III - O mordomo não é inocente. Logo: (a) A governanta e o mordomo são culpados. (b) Somente o cozinheiro é inocente. (c) Somente a governanta é culpada. (d) O cozinheiro e o mordomo são os culpados. Tópico: Conectivos e Proposições 1. Determinar o valor lógico das seguintes proposições: (a) (2 + 3) 2 = (b) As raízes da equação x 3 1 = 0 são todas reais. (c) A expressão n 2 n + 41 só produz números primos. (d) (2n 1) = n 2. (e) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (f) A soma de dois números pares é um número par. 2. Sejam as proposições: p : O rato entrou no buraco. q : O gato seguiu o rato. Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às seguintes proposições: (a) p (d) p q (g) (p q) (j) p q (b) q (e) p q (h) (p q) (k) ( p) (c) p q (f) p q (i) p q (l) ( q) 3. Considere as sentenças: p : Tales é filho de Wilson. q : Tales é neto de João. Escreva, na foma simbólica, cada uma das seguintes sentenças:

3 3 (a) Tales não é filho de Wilson. (b) Tales não é neto de João. (c) Não é verdade que Tales não é filho de Wilson. (d) Não é verdade que Tales é neto de João. (e) Tales é filho de Wilson e neto de João. (f) Tales é filho de Wilson ou neto de João. 4. Sejam as proposições: p : Gosto de viajar. q : Visitei o Chile. Escreva as sentenças verbais que estão representadas pelas proposições abaixo: (a) p q (c) (p q) p (e) (p q) (g) p q (b) q p (d) q p (f) q p Tópico: Valor lógico, tabela-verdade, tautologia e contradição 1. Determinar P (V V, V F, F V, F F ) em cada uma das seguintes proposições: (a) P (p, q) = (p q) (p q) (b) P (p, q) = p (q p) (c) P (p, q) = (p q) ( p q) (d) P (p, q) = [(p q) ( p q)] 2. Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições: (a) (p q) (b) (p q) p q (c) (p q) q p (d) (p q r) ( p q r) (e) p (p r) q r (f) (p q) p q 3. Sabendo que os valores lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V, F e F, determine o valor lógico das seguintes proposições: (a) (p p q) (p r) (b) (p q r) (p (q r))

4 4 (c) (p ( q p)) ((p q) q p) 4. Descreva as sentenças abaixo em termos de proposições simples e operadores lógicos. (a) Se elefantes podem subir em árvores, então 3 é um número irracional. (b) É proibido fumar cigarro ou charuto. (c) Não é verdade que π > 0 se, e somente se, π > 1. (d) Se as laranjas são amarelas, então os morangos são vermelhos. (e) É falso que se Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa será realizada no Brasil. (f) Se é falso que Montreal é a capital do Canadá, então a próxima copa será realizada no Brasil. (g) Me formarei em Informática e terei consciência da importância do meu diploma perante esta sociedade de excluídos. 5. Considerando que a proposição Todos os pelicanos comem peixe seja verdadeira, quais das proposições abaixo são verdadeiras? (a) Se uma ave é um pelicano, então ela come peixe. (b) Se uma ave não é um pelicano, então ela não come peixe. (c) Se uma ave come peixe, então ela é um pelicano. (d) Se uma ave não come peixe, então ela não é um pelicano. 6. Apresente uma negação para cada uma da proposições abaixo: (a) 37 é um número primo. (b) Bruno irá, mas ele não vai jogar. (c) Nós venceremos o primeiro ou o segundo jogo. (d) Se não há sanduíches, vou comer um cachorro-quente. (e) Matemática é muito legal e computação é fundamental. 7. Simplifique as proposições abaixo, indicando em cima de cada símbolo de equivalência as propriedades lógicas utilizadas: (a) (p q) (p q) (b) ( p q) p (c) (((p q) q) (q p)) (d) (( p q) ((q p) p))

5 5 (e) (p q) ((p q) (p q) ( p q)) (f) ((p q) r) (( q r) q) 8. Seja a proposição: p [(p q) ( p q)] (a) Simplifique-a. (b) Negue-a. (c) Determine seu valor lógico. 9. Determine quais das proposições a seguir são tautologias ou contradições: (a) (p q) p q (b) (q p) (p q) (c) p (p q) (d) [(p q) q] p (e) (p q) (p q r) (f) (p q) (p q) Tópico: implicações e equivalências 1. Determine se a proposição P implica logicamente na proposição Q, nos seguintes casos: (a) P : p q e Q : (p q) (q p) (b) P : p e Q : q p (c) P : p q e Q : p q (d) P : p q e Q : p q 2. Julgar cada uma das seguintes proposições: (a) p p p (b) [ (p q)] p q (c) (p q) (p q) p q (d) q p p q (e) (p q) ( p q) p q (f) (p q) p p q (g) (p q) (p r) p (q r)

6 6 (h) (p q) r (p r) q (i) (p r) (q p) r (p q) (j) (p q) r (p r) q 3. Considere as proosições Dê o valor verdadeiro (V ) ou falso (F ) : p : 5 = 8 q : 4 < 3 r : 9 > 7 e s : 8 < 10 (a) r s (b) p q (c) r q (d) (r q) (e) (p s) (f) (r s) Tópico: sentenças abertas e quantificadores 1. Das expressões a seguir, quais são sentenças abertas? (a) = 51 (b) x 5 = 9 (c) 6 2x 4 (d) 6 > 3 e = 8 (e) 5 < 2 ou = 4 (f) 9x Expresse as proposições abaixo em forma simbólica utilizando o quantificador existencial: (a) A equação x 3 = 27 tem uma solução no conjunto dos números naturais. (b) não é o maior número natural. (c) Existe um número irracional. (d) Existe um número primo par. 3. Julgue os itens a seguir: (a) x 2 x 12 0 x 3 ou x 4 (b) x 2 x 12 0 x 3 e x 4 4. Se a sentença x 2 7x + 12 = 0 x = 3 ou x = 4 é verdadeira, então qual o valor lógico da sentença x 2 7x x 3 e x 4? 5. Determinar o conjunto-verdade em Z de cada uma das seguintes sentenças abertas:

7 7 (a) 2x 2 18 = 0 (b) 3x 2 + 7x = 0 (c) 2x + x 1 = 2 (d) x 2 x 20 = 0 (e) 2x 1 = 9 (f) x 2 3 x 28 = 0 6. Sejam A = {2, 3, 4, 5}, IN o conjunto dos números naturais e IR o conjunto dos números reais. Determine o valor lógico das proposições a seguir, justificando a sua resposta. (a) (!x A)(x + 3 = 8) (b) ( x A)(x + 3 = 8) (c) ( x A)(x + 3 < 5) (d) ( x IR)( x = x) (e) ( x IR)( x = x) (f) ( x IR)( x = 0) (g) ( x IR)(x > x + 1) (h) ( x IR)( y IR)(x + y = 0) (i) ( x IR)( y IR)(x + y = 0) (j) ( y IR)(!x IR)(y = x 2 ) (k) ( x IR)(!y IR)(y = x 2 ) (l) ( x IR)(x < 0) ( y IR)(y = x 2 ) (m) ( a, b, c, d IN)(a b c d a + c b + d) 7. Determinar o conjunto-verdade em IR de cada uma das seguintes sentenças abertas: (a) 5x + 6 = 3x 2 (b) 7x = 0 (c) x 2 3x = x 3 (d) x 2 + x 6 = 0 (e) x 1 x + 6 = 13 (f) 2 x x 1 > 3 x x 8. Dados os conjuntos A = {3, 4, 6} e B = {4, 6, 9, 11}, determinar o conjunto-verdade da sentença x y ( x divide y) em A B. 9. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta mdc(x, y) = 3 em A A, sendo A = {2, 3, 6, 9}. 10. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta 3 divide x + y em A A, sendo A = {3, 4, 5, 6}. 11. Dados os conjuntos A = { 1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 3}, determinar o conjunto verdade da sentença aberta x + y < 2 em A B. 12. Determinar o conjunto-verdade da sentença aberta x 2 + y 2 = 4 em Z Z. 13. Determinar o conjunto-verdade em A = {1, 2, 3,... 12} de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas:

8 8 (a) x < 8 x é ímpar (b) 3 divide x x < 9 (c) x é par x (d) (x + 6) A (x 2 6) / A 14. Determinar o conjunto-verdade em A = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas: (a) x é ímpar x 2 4 = 0 (b) (x + 6) / A x < 0 (c) x 2 + 2x 8 < 0 x 2 4 = 0 (d) x divide 12 x é primo 15. Sejam as sentenças abertas em IR: p(x) : 3x 4 0 e q(x) : x + 2 0, determine: (a) o conjunto-verdade de p(x) q(x) (b) o conjunto-verdade de p(x) q(x) 16. Sejam as sentenças abertas em A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: p(x) : x 3 A e q(x) : x é ímpar. Determine o conjunto-verdade de: (a) p(x) q(x) (b) p(x) q(x) (c) p(x) q(x) (d) q(x) p(x) (e) p(x) q(x) 17. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dar um contra-exemplo para cada uma das proposições: (a) ( A) (x + 7 < 15) (b) ( A) (x 60) 18. Julgue as sentenças a seguir: (a) x 4 = 0 x 2 16 = 0 (b) x + 7 = 0 x 2 49 = 0 (c) 3x 7 = 2x + 1 x 2 16x + 64 = 0 (d) 2 4x 4 2 2x 32 = 0 6 x x x x = Seja a sentença aberta p(x) : x 2 16 e x { 4, 4}. (a) Transforme-a em proposição utilizando o quantificador universal. (b) Determine o conjunto universo e o conjunto-verdade.

9 9 (c) Demonstre que o valor lógico dessa proposição é falso. (d) Altere o conjunto universo da proposição acima para que seu valor lógico dê verdadeiro. 20. Dada a proposição ( x)(p(x)) ( x)( q(x)). (a) Negue-a. (b) Encontre sentenças abertas p(x) e q(x) de modo que o valor lógico da proposição acima seja falso. Tópico: Condicional, Teoremas e Provas 1. Determinar: (a) a contrapositiva da proposição recíproca de p q. (b) a recíproca da proposição contrapositiva de q p. (c) a contrapositiva da proposição contrária de p q. (d) a recíproca da proposição contrária de p q. (e) a contrapositiva da proposição recíproca de x = 8 x < 9. (f) a contrária da proposição contrapositiva de x = 7 x > 6. (g) a recíproca da proposição recíproca da proposição contrapositiva de q p. (h) a contrária da proposição contrapositiva da proposição recíproca de x = 5 x Apresente, se possível, um exemplo de proposição condicional verdadeira tal que (a) a recíproca seja verdadeira. (b) a recíproca seja falsa. (c) a contrapositiva seja verdadeira. (d) a contrapositiva seja falsa. 3. Escreva a recíproca e a contrapositiva de cada uma das proposições abaixo: (a) Se a lua está cheia, os vampiros saem de casa à noite. (b) Se uma girafa tem dor de garganta, ela não faz gargarejo. (c) Vou morar na lua, se lá construírem uma estação espacial. (d) Se uma proposição é definição, então sua recíproca é verdadeira. (e) Se uma função é derivável, então ela é contínua. 4. Sejam a, b e c IN sem divisores comuns tais que a 2 + b 2 = c.

10 10 (a) Mostre que ou a ou b é par. (b) Mostre que ou a ou b é múltiplo de Mostre que o quadrado de um número ímpar é da forma 8k Mostre que a 3 a é múltiplo de Mostre que a 3 a é múltiplo de 3 se e somente se a b é múltiplo de Mostre que 6 n(n + 1)(2n + 1).