MCTB Matemática Discreta
|
|
|
- Iago Rocha
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Matemática Discreta Jair Donadelli CMCC UFABC
2 Semana Lógica informal
3 Matemática Discreta Estudo de estruturas matemáticas que são discretas (em oposição às que são contínuas como em cálculo ou geometria euclidiana). Não há uma descrição precisa do termo. A pesquisa em matemática discreta aumentou na segunda metade do século XX. Conceitos e notações úteis no estudo e descrição de objetos e problemas em ramos da ciência da computação. Nos currículos universitários, apareceu nos anos 80, inicialmente como um curso de suporte de ciência da computação; hoje em dia faz parte dos cursos de matemática também. O Prêmio Fulkerson é concedido por trabalhos de destaque em matemática discreta. [Wikipedia]
4 Semana Lógica informal
5 Página web da disciplina jair. donadelli/discreta/ Avaliação Ementa e Bibliografia Programa semanal das aulas (Temas+Refs+Exercs) Listas, slides, notas de aula quando houver Horário atendimento (provável q mude)...
6 Avaliações: P1(13/03,4 a ), P2(07/05,3 a ), SUB(09/05,5 a ), REC(14/05,3 a ) P1,P2 Conceito Final (tabela) SUB pra quem faltou com justificativa REC pra todos com frequência miníma, o resultado fica como conceito final. Atenção para as datas de eventos na semana de reposição definida pela trollprograd. ///// Horários e salas se mantêm. Frequência: passo lista. +info na página web
7 Conteúdo resumido da disciplina Demonstração. Teoria intuitiva de conjuntos. Relações e Funções. Análise Combinatória. Funções geradoras. Relações recorrência +info na página web
8 Referências GRIMALDI, Ralph Peter. Discrete and combinatorial mathematics : an applied introduction. Pearson/Addison-Wesley, 5 a Edição, c2004. [510 GRIMdi5] ROSEN, Kenneth H. Matemática discreta e suas aplicações. McGraw-Hill, 6 a Edição. c2009. [510 ROSEma6] +info na página web
9 Semana Lógica informal
10 Informalmente... uma demonstração é um argumento que convence as outras pessoas 1 de que algo é verdade. Uma demonstração corretamente apresentada não deixa dúvidas quanto a sua validade. A linguagem usada nas demostrações é uma linguagem natural mas tem suas especificidades. Existe um certo vocabulário que inclui palavras que têm significados precisos em matemática e que podem diferir ligeiramente do uso diário. Também, existem certas construções, ou princípios de lógica do senso comum, que você pode usar para a partir de afirmações verdadeiras, deduzir novas declarações verdadeiras. 1 O triplex era do Lula? Não nesse sentido. Nesse: e i = (e i ) 2π 2π = (e 2πi ) 1 2π = 1 1 2π = 1.!!!!
11 Sobre convencimento... d dx x2 =
12 Sobre convencimento... d dx x2 = 2x
13 Sobre convencimento... d dx x2 = 2x d dx x2 = d (x + x + + x) [x termos] dx = = =
14 Sobre convencimento... d dx x2 = 2x d dx x2 = d (x + x + + x) [x termos] dx = d dx x + d dx x + + d x [x termos] dx = =
15 Sobre convencimento... d dx x2 = 2x d dx x2 = d (x + x + + x) [x termos] dx = d dx x + d dx x + + d x [x termos] dx = [x termos] =
16 Sobre convencimento... d dx x2 = 2x d dx x2 = d (x + x + + x) [x termos] dx = d dx x + d dx x + + d x [x termos] dx = [x termos] = x
17 Sobre convencimento... d dx x2 = 2x d 2x = x Portanto 2 = 1. dx x2 = d (x + x + + x) [x termos] dx = d dx x + d dx x + + d x [x termos] dx = [x termos] = x
18 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a]
19 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ]
20 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ] a 2 b 2 = ab b 2 [fatora]
21 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ] a 2 b 2 = ab b 2 [fatora] (a + b)(a b) = (a b)b [cancela a b]
22 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ] a 2 b 2 = ab b 2 [fatora] (a + b)(a b) = (a b)b [cancela a b] a + b = b [a = b]
23 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ] a 2 b 2 = ab b 2 [fatora] (a + b)(a b) = (a b)b [cancela a b] a + b = b [a = b] b + b = b
24 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ] a 2 b 2 = ab b 2 [fatora] (a + b)(a b) = (a b)b [cancela a b] a + b = b [a = b] b + b = b 2b = b [cancela b]
25 Sobre convencimento... a e b números naturais. a = b [ a] a 2 = ab [ b 2 ] a 2 b 2 = ab b 2 [fatora] (a + b)(a b) = (a b)b [cancela a b] a + b = b [a = b] b + b = b 2b = b [cancela b] 2 = 1
26 Convencido de que 2 = 1?
27 Sobre convencimento... cos 2 (x) = 1 sin 2 (x) [ ]
28 Sobre convencimento... cos 2 (x) = 1 2 sin (x) [ ] cos(x) = 1 2 sin (x) [+1]
29 Sobre convencimento... cos 2 (x) = 1 2 sin (x) [ ] cos(x) = 1 2 sin (x) [+1] 1 + cos(x) = sin (x) [x = π]
30 Sobre convencimento... cos 2 (x) = 1 2 sin (x) [ ] cos(x) = 1 2 sin (x) [+1] 1 + cos(x) = sin (x) [x = π] 1 + cos(π) = sin (π)
31 Sobre convencimento... cos 2 (x) = 1 2 sin (x) [ ] cos(x) = 1 2 sin (x) [+1] 1 + cos(x) = sin (x) [x = π] 1 + cos(π) = sin (π) 1 + ( 1) =
32 Sobre convencimento... cos 2 (x) = 1 2 sin (x) [ ] cos(x) = 1 2 sin (x) [+1] 1 + cos(x) = sin (x) [x = π] 1 + cos(π) = sin (π) 1 + ( 1) = = 2
33 Sobre convencimento... 1 = 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ]
34 Sobre convencimento... 1 = = 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ]
35 Sobre convencimento... 1 = = 1 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ] 1 = 1 1 [ 1 = i]
36 Sobre convencimento... 1 = = = = 1 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ] 1 [ 1 = i]
37 Sobre convencimento... 1 = = 1 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ] 1 = 1 1 [ 1 = i] 1 1 = 1 1 i 1 = 1 i [ i]
38 Sobre convencimento... 1 = = 1 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ] 1 = 1 1 [ 1 = i] 1 1 = 1 1 i 1 = 1 i [ i] i 2 = 1
39 Sobre convencimento... 1 = = 1 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ] 1 = 1 1 [ 1 = i] 1 1 = 1 1 i 1 = 1 i [ i] i 2 = 1 1 = 1 [+1]
40 Sobre convencimento... 1 = = 1 1 [ 1 = 1 1 = 1 1 ] 1 [ ] 1 = 1 1 [ 1 = i] 1 1 = 1 1 i 1 = 1 i [ i] i 2 = 1 1 = 1 [+1] 0 = 2
41 Convencido de que 2 = 0?
42 Sobre convencimento... e = 2, e iθ = cos(θ) + i sin(θ) e 2πi = 1 [( ) i ]
43 Sobre convencimento... e = 2, e iθ = cos(θ) + i sin(θ) e 2πi = 1 [( ) i ] (e 2πi ) i = 1 i [i i = 1]
44 Sobre convencimento... e = 2, e iθ = cos(θ) + i sin(θ) e 2πi = 1 [( ) i ] (e 2πi ) i = 1 i [i i = 1] e 2π = 1
45 Sobre linguagem Essa frase é falsa
46 Sobre linguagem Essa frase é falsa O conjunto dos conjuntos que não pertencem a si mesmos, pertence a si mesmo?
47 Sobre linguagem Essa frase é falsa O conjunto dos conjuntos que não pertencem a si mesmos, pertence a si mesmo? Havia, no vilarejo, um barbeiro que só fazia a barba de todas as pessoas que não faziam a própria barba. Quem faz a barba do barbeiro?
48 Necessidade de entender a linguagem... pra ler e escrever demonstrações.
49 Necessidade de entender a linguagem... pra ler e escrever demonstrações. Existe alguém no bar, tal que, se ele estiver bebendo, então todos no bar estarão bebendo.
50 Necessidade de entender a linguagem... pra ler e escrever demonstrações. Existe alguém no bar, tal que, se ele estiver bebendo, então todos no bar estarão bebendo. Essa frase sempre é verdadeira. Raymond Smullyan (1978). What is the Name of this Book? The Riddle of Dracula and Other Logical Puzzles. [S.l.]: Prentice Hall. chapter 14. How to Prove Anything. (topic) 250. The Drinking Principle. pp
51 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F)
52 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio verdadeira (V) ou falsa (F)
53 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio verdadeira (V) ou falsa (F)
54 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F)
55 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F)
56 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito
57 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito
58 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único
59 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único
60 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo.
61 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo.
62 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente
63 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente
64 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2.
65 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2.
66 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2. x 2 + y 2 = z 2
67 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2. x 2 + y 2 = z 2
68 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2. x 2 + y 2 = z 2 Vá estudar Matemática Discreta.
69 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2. x 2 + y 2 = z 2 Vá estudar Matemática Discreta.
70 Qualquer frase declarativa para a qual podemos atribuir um, e só um, dentre dois valores-lógicos: O rio lá fora está cheio n é um natural par verdadeira (V) ou falsa (F) 27 é um quadrado perfeito O conjunto vazio é único x 2 é positivo. Toda sequência limitada de números reais é convergente = 2. x 2 + y 2 = z 2 Vá estudar Matemática Discreta.
71 Dois princípios Não-contradição: uma proposição verdadeira não pode ser falsa e uma proposição falsa não pode ser verdadeira. Terceiro Excluído: qualquer proposição, ou é verdadeira, ou é falsa.
72 /Operadores Os conectivos não, e, ou, se,então, se, e só se, são para formar sentenças compostas. Correspondem, respectivamente, aos operadores lógicos (negação), (conjunção), (disjunção), (condicional), (bicondicional) A A V F F V A B A B V V V V F F F V F F F F A B A B V V V V F V F V V F F F A B A B V V V V F F F V F F F V A e B representam sentenças
73 Se, então Se não comer tudo, então não ganha sobremesa
74 V ou F? se 2 Q, então 2 é par. se 2 Q, então 2 é ímpar. se 2 Q, então 2 é par. se 2 Q, então 2 é ímpar.
75 V ou F? (V) se 2 Q, então 2 é par. (V) se 2 Q, então 2 é ímpar. (V) se 2 Q, então 2 é par. (F) se 2 Q, então 2 é ímpar.
76 Em A B chamamos A de antecedente e B de consequente da condicional.
77 formas implícitas do Se, então se A então B se A, B A é suficiente para B B é necessário para A B sempre que A veja + na pág. 6 do Rosen.
78 Uma sentença aberta é uma sentença que depende de uma ou mais variáveis, por exemplo x + 1 é maior que x n é um número primo x + y = 2x + z
79 O valor-lógico depende dos valores das variáveis x é maior que y Verdadeiro no caso x = 1 e y = 0 Falso no caso x = 0 e y = 1.
80 Usamos letras minúsculas x, y, z para denotar variáveis e letras maiúsculas P, Q, R (os predicados) seguidas por uma lista de variáveis distintas entre parênteses, para denotar sentenças abertas que dependem dessas variáveis.
81 Por exemplo, S(x) representa x + 1 é maior que x P(n) representa n é um número primo E(x, y, z) representa x + y = 2x + z E(1, 1, 0) é V P(4) é F S(2 + 5i)?
82 As variáveis devem estar associadas à domínios não vazios.
83 Quanficadores Para todo x real, x + 1 é maior que x é uma sentença (fechada) Verdadeira. Em símbolos x R, S(x) ou ainda x R, x + 1 > x
84 Quanficadores Para algum n natural, n é primo é uma sentença (fechada) Verdadeira. Em símbolos n N, P(n) ou ainda n N, n é primo Obs n N, n é primo é Falsa
85 Quanficadores E(x, y, z) representa x + y = 2x + z x R, E(x, y, z) aberta ou fechada? É V ou F? 1 x R, E(x, x, x) 2 y R, z R, x R, E(x, y, z) 3 x R, y R, z R, E(x, y, z)
86 Exercícios Seção 1.1 do Rosen: 9,13,19,31,42,43,45,49 Seção 1.3 do Rosen: 7,15,17,21,25,39,52,53 Seção 1.4 do Rosen: 3,1,13,25,30,31,39,47
87 Se a sentença Joaquim é alto e Manoel é baixo é verdadeira, então a sentença Joaquim é alto é verdadeira. A sentença A é um conjunto finito ou f é uma função contínua sendo verdadeira é equivalente à sentença f é uma função contínua ou A é um conjunto finito ser verdadeira.
88 Intuitivamente, as duas sentenças parecem corretas. Formalmente são metassentenças, sentenças que diz algo respeito de sentenças. Na prática, do ponto de vista informal que adotamos, a distinção entre sentenças e meta-sentenças é simples.
89 lógica P implica logicamente Q se Q é necessariamente verdadeiro sempre que P é verdadeiro. Notação: P Q Atenção: potencial para confusão entre e
90 lógica exemplo Se } o céu {{ é azul } então a grama é verde }{{} P Q P Q é verdade Porém não P Q
91 lógica exemplo Se não é o caso que, se } Bart acha {{ Lisa fofa }, então ele gosta da Lisa, então Bart acha Lisa fofa ou ele gosta }{{} Q de Lisa P
92 lógica exemplo Se não é o caso que, se } Bart acha {{ Lisa fofa }, então ele gosta da Lisa, então Bart acha Lisa fofa ou ele gosta }{{} Q de Lisa P Se (P Q), então P Q. Cada sentença simbólica acima é verdadeira ou falsa dependendo de saber se ou não, Bart acha Lisa fofa (P) e se Bart gosta de Lisa (Q).
93 lógica exemplo Se não é o caso que, se } Bart acha {{ Lisa fofa }, então ele gosta da Lisa, então Bart acha Lisa fofa ou ele gosta }{{} Q de Lisa P Se (P Q), então P Q. Cada sentença simbólica acima é verdadeira ou falsa dependendo de saber se ou não, Bart acha Lisa fofa (P) e se Bart gosta de Lisa (Q). Porém, temos (P Q) P Q.
94 lógica definição Definição: P implica Q se a sentença P Q é verdadeira, independentemente do valor lógico de P e de Q. É importante notar a diferença entre P Q e P Q. P Q é uma sentença composta construída a partir de Pe Q. P Q é uma metassentença que é uma abreviação da expressão em português P implica Q e significa que P Q é uma verdade que não depende dos valores lógicos de P e de Q.
95 Implicações lógicas notáveis Sejam P, Q, R e S sentenças. 1 (P Q) P Q (Modus Ponens). 2 (P Q) Q P (Modus Tollens). 3 P Q P; P Q Q (Simplificação). 4 P P Q; Q P Q (adição). 5 (P Q) P Q (Modus Tollendo Ponens). 6 (P Q) Q P (Modus Tollendo Ponens). 7 P Q P Q (Bicondicional condicional). 8 P Q Q P (Bicondicional condicional). 9 (P Q) (Q P) P Q (condic. Bicondicional). 10 (P Q) (Q R) P R (silogismo hipotético).
96 Definição: dizemos que P e Q são logicamente equivalentes se a sentença P Q e verdadeira para todo valoração lógica de P e Q. Abreviamos P e Q são equivalente e usamos a a notação P Q. É importante notar a diferença entre as notações P Q e P Q.
97 Equivalências lógicas notáveis 1 ( P) P (Negação Dupla). 2 P Q Q P; P Q Q P; P Q Q P. (Leis Comutativas). 3 (P Q) R P (Q R); (P Q) R P (Q R) (Leis Associativas). 4 P (Q R) (P Q) (P R); P (Q R) (P Q) (P R) (Leis de Distribuição). 5 P Q P Q. 6 P Q Q P (Contra positivo). 7 P Q (P Q) (Q P). 8 (P Q) P Q; (P Q) P Q (Leis de De Morgan). 9 ( x D, P(x)) x D, P(x); ( x D, P(x)) x D, P(x) (Negação de )
98 Definição: um argumento é uma sequência P 1, P 2,..., P n, Q de sentenças das quais a última é a conclusão, as outras são as premissas. P 1 P 2. P n Q
99 Definição: o argumento é válido se, e só se, (P 1 P 2 P n ) Q é verdadeiro.
100 Definição: regras de inferência são esquemas de argumentos válidos simples que usamos para para construir argumentos válidos mais complexos. Por exemplo, P Q P Q chamada Modus Ponens.
101 Exemplo: o seguinte argumento é válido porque se encaixa nessa regra de inferência Se você tem a senha, então pode fazer login no facebook. Você tem a senha. Portanto, você pode fazer login no facebook.
102 Regras de inferência As principais regras de inferência são as dadas pelas implicações notáveis. Por exemplo, Modus Tollens: P Q Q P silogismo hipotético: P Q Q R P R Regra da Simplificação: P Q P
103 Regras de inferência para quantificadores E, também as regras para quantificadores. Existem quatro regras desse tipo e seu uso requer um pouco mais de cuidado; elas são usadas para o mesmo propósito, que é mostrar a validade de argumentos lógicos.
104 Regras de instanciação Instanciação universal: se x D, P(x) é V então P(c) é V qualquer que seja c D x D, P(x) P(c) Instanciação existencial: se x D, P(x) é V então P(c) é V para algum elemento c D x D, P(x) P(c) desde que o símbolo c não tenha qualquer outro significado no argumento dado.
105 Regras de generalização Generalização universal: se P(c) é V para um elemento c D arbitrário do domínio D então x D, P(x) é V P(c) para c D arbitrário x D, P(x) Generalização existencial: se P(c) é V para algum c particular de D, então x D, P(x) P(c) para algum c D particular x D, P(x).
106 Exemplo argumentos válidos Por exemplo, argumento é válido: Vejamos x(p(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) x(p(x) R(x))
107 Exemplo argumentos válidos Por exemplo, argumento é válido: Vejamos x(p(x) Q(x)) x(q(x) R(x)) x(p(x) R(x)) passo sentença justificativa 1. x(p(x) Q(x)) premissa 2. P(c) Q(c) instanciação universal de 1 3. x(q(x) R(x)) premissa 4. Q(c) R(c) instanciação universal de 3 5. P(c) R(c) Silogismo hipotético com 3 e 4 6. x(p(x) R(x)) generalização universal.
108 Exemplo argumentos válidos Cada gato que é legal e inteligente gosta de fígado picado. Todo gato siamês é legal. Há um gato siamês que não gosta de fígado picado. Portanto, há um gato estúpido. aqui, estúpido é a negação de inteligente. D é a coleção de todos os gatos, L(x) é gato x é legal, I(x) é gato x é inteligente, F(x) é gato x gosta de fígado picado, S(x) é gato x é siamês.
109 Exemplo argumentos válidos Em símbolos x D, (L(x) I(x)) F(x) x D, S(x) L(x) x D, S(x) F(x) x D, I(x) Exercício: É argumento válido?
110 Exemplo argumentos válidos 1. x D, (L(x) I(x)) F(x) premissa 2. x D, S(x) S(x) premissa 3. x D, S(x) F(x) premissa 4. S(a) F(a) instanc. universal de 3 5. F(a) simplificação de 4 6. S(a) simplificação de 4 7. S(a) L(a) instanc. universal de 2 8. L(a) modus ponens com 7 e 6 9. L(a) dupla negação de (L(a) I(a)) F(a) instanc. universal de (L(a) I(a)) modus tollens com 10 e L(a) I(a) De Morgan em I(a) modus tollendo ponens co 14. x D, I(x) generalização universal
111 Exercícios Seção 1.2 do Rosen: 7,9,18,28,41,57 Seção 1.5 do Rosen: 11,13,15,17,19,23,25,34,35
1 Demonstrações: linguagem
1 Demonstrações: linguagem O trabalho dos matemáticos, de um modo geral, é descobrir e comunicar certas verdades e uma demonstração é um argumento cujo objetivo é convencer outras pessoas de que algo é
Fundamentos 1. Lógica de Predicados
Fundamentos 1 Lógica de Predicados Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional Predicados e Quantificadores Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional
MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados 1
Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro MD Lógica de Proposições Quantificadas Cálculo de Predicados
NHI Lógica Básica (Lógica Clássica de Primeira Ordem)
NHI2049-13 (Lógica Clássica de Primeira Ordem) página da disciplina na web: http://professor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica O assunto O que é lógica? Disciplina que se ocupa do estudo sistemático
LÓGICA PROPOSICIONAL
FACULDADE PITÁGORAS Curso Superior em Tecnologia Redes de Computadores e Banco de dados Matemática Computacional Prof. Ulisses Cotta Cavalca LÓGICA PROPOSICIONAL Belo Horizonte/MG
Lógica Matemática UNIDADE II. Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César
Lógica Matemática UNIDADE II Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César 1 1 - Álgebra das Proposições 1.1 Propriedade da Conjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições
Lógica predicados. Lógica predicados (continuação)
Lógica predicados (continuação) Uma formula está na forma normal conjuntiva (FNC) se é uma conjunção de cláusulas. Qualquer fórmula bem formada pode ser convertida para uma FNC, ou seja, normalizada, seguindo
Cálculo de Predicados
Cálculo de Predicados (Lógica da Primeira Ordem) Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Santa Catarina - Campus São José tisemp@ifsc.edu.br 18 de maio de 2013
Lógica de Predicados. Correção dos Exercícios
Lógica de Predicados Correção dos Exercícios Conteúdo Correção Exercícios Tradução Lógica - Português (Rosen 55) Tradução Português Lógica(Rosen 56) Exercícios Rosen 58 1) Transcreva as proposições para
SMA Elementos de Matemática Notas de Aulas
Universidade de São Paulo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação SMA 341 - Elementos de Matemática Notas de Aulas Ires Dias Sandra Maria Semensato de Godoy São Carlos 2009 Sumário 1 Noções
Lógica. Fernando Fontes. Universidade do Minho. Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65
Lógica Fernando Fontes Universidade do Minho Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65 Outline 1 Introdução 2 Implicações e Equivalências Lógicas 3 Mapas de Karnaugh 4 Lógica de Predicados
Semana 3 MCTB J Donadelli. 1 Técnicas de provas. Demonstração indireta de implicação. indireta de. Demonstração por vacuidade e trivial
Semana 3 por de por de 1 indireta por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos por de por de Teoremas resultados importantes, Os rótulos Proposições um pouco menos importantes, por de por
1 TEORIA DOS CONJUNTOS
1 TEORIA DOS CONJUNTOS Definição de Conjunto: um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada. Em outras palavras,
Unidade II. A notação de que a proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...) por:
LÓGICA Objetivos Apresentar regras e estruturas adicionais sobre o uso de proposições. Conceituar implicação lógica, tautologias, e as propriedade sobre proposições. Apresentar os fundamentos da dedução,
Lógica de Predicados. Correção dos Exercícios Regras de Inferência
Lógica de Predicados Correção dos Exercícios Regras de Inferência O que foi visto até agora... Predicado Proposição Quantificadores Conjuntos Quantificadores com restrição Operações Lógicas com predicados
Lógica. Cálculo Proposicional. Introdução
Lógica Cálculo Proposicional Introdução Lógica - Definição Formalização de alguma linguagem Sintaxe Especificação precisa das expressões legais Semântica Significado das expressões Dedução Provê regras
Argumentação em Matemática período Prof. Lenimar N. Andrade. 1 de setembro de 2009
Noções de Lógica Matemática 2 a parte Argumentação em Matemática período 2009.2 Prof. Lenimar N. Andrade 1 de setembro de 2009 Sumário 1 Condicional 1 2 Bicondicional 2 3 Recíprocas e contrapositivas 2
Vimos que a todo o argumento corresponde uma estrutura. Por exemplo ao argumento. Se a Lua é cúbica, então os humanos voam.
Matemática Discreta ESTiG\IPB 2012/13 Cap1 Lógica pg 10 Lógica formal (continuação) Vamos a partir de agora falar de lógica formal, em particular da Lógica Proposicional e da Lógica de Predicados. Todos
Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Lógica Formal Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza Implicação As proposições podem ser combinadas na forma se proposição 1, então proposição 2 Essa proposição composta é denotada por Seja
Bases Matemáticas. Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática. Prof. Rodrigo Hausen. 24 de junho de 2014
Aula 1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Prof. Rodrigo Hausen 24 de junho de 2014 Definição Uma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não simultaneamente ambas.
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional
Conteúdo. Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42)
Conteúdo Correção de Exercício Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42) Correção exercicios 11) P(x) = x = x 2 P(0) P(1) P(2) 12) Q(x) = x + 1 = 2x Q(0) Q(-1) Q(1) Correção
Lógica Proposicional (Consequência lógica / Dedução formal)
Faculdade de Tecnologia Senac Pelotas Curso Superior de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas Matemática Aplicada Prof. Edécio Fernando Iepsen Lógica Proposicional (Consequência lógica /
Cálculo de Predicados. Matemática Discreta. Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG. março
Matemática Discreta Cálculo de Predicados Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG março - 2017 Quantificadores Como expressar a proposição Para todo número inteiro x, o valor de x é positivo. usando
Expandindo o Vocabulário. Tópicos Adicionais. Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto. 12 de junho de 2019
Material Teórico - Módulo de INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Expandindo o Vocabulário Tópicos Adicionais Autor: Prof. Francisco Bruno Holanda Revisor: Prof. Antônio Caminha Muniz Neto 12 de junho de 2019
Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática
Universidade Aberta do Brasil - UFPB Virtual Curso de Licenciatura em Matemática Argumentação em Matemática Prof. Lenimar Nunes de Andrade e-mail: numerufpb@gmail.com ou lenimar@mat.ufpb.br versão 1.0
2 Lógica Fuzzy. 2 Lógica Fuzzy. Sintaxe da linguagem
2 Lógica Fuzzy 2.1 Cálculo proposicional (lógica proposicional) 2.2 Lógica de Predicados 2.3 Lógica de múltiplos valores 2.4 Lógica Fuzzy Proposições fuzzy Inferência a partir de proposições fuzzy condicionais
Cálculo proposicional
O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais
Introdução à Lógica Matemática
Introdução à Lógica Matemática Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática Uma linguagem matemática Paradoxos 1) Paradoxo do mentiroso (A) Esta frase é falsa. A sentença (A) é verdadeira
MDI0001 Matemática Discreta Aula 01
MDI0001 Matemática Discreta Aula 01 e Karina Girardi Roggia karina.roggia@udesc.br Departamento de Ciência da Computação Centro de Ciências Tecnológicas Universidade do Estado de Santa Catarina 2016 Karina
Atenção: Esse conectivo transmite a ideia de e / ou e não apenas a de exclusão como muitas pessoas imaginam.
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO É todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem uma ideia de sentido completo e que, além disso, pode ser julgado como verdadeiro (V) ou falso (F). NÃO SÃO PROPOSIÇÕES Frases
Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof Marcelo Maraschin de Souza
Lógica Formal Matemática Discreta Prof Marcelo Maraschin de Souza Exercícios Use lógica proposicional para provar os seguintes argumentos: a) A B C B A C b) A B C B C A c) A B B A C C Exercícios Use lógica
Representação de Conhecimento
Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação Representação de Conhecimento Inteligência Artificial Site: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com
Resumo de Filosofia. Preposição frase declarativa com um certo valor de verdade
Resumo de Filosofia Capítulo I Argumentação e Lógica Formal Validade e Verdade O que é um argumento? Um argumento é um conjunto de proposições em que se pretende justificar ou defender uma delas, a conclusão,
Lógica de Predicados
Lógica de Predicados Rosen 47 6) Considere N(x) como o predicado x visitou Dakota do Norte, em que o domínio são os estudantes de sua escola. Expresse cada uma dessas quantificações em português. a) x
Lógica Proposicional Parte 2
Lógica Proposicional Parte 2 Como vimos na aula passada, podemos usar os operadores lógicos para combinar afirmações criando, assim, novas afirmações. Com o que vimos, já podemos combinar afirmações conhecidas
Lógica de Predicados. Quantificadores
Lógica de Predicados Quantificadores Conteúdo Correção de Exercícios Operações Lógicas Quantificadores Rosen (pg 33) Tradução Português Lógica Rosen (pg 42) Exercícios Determinar o conjunto verdade em
SMA0341 e SLC Elementos de Matemática Notas de Aulas
Universidade de São Paulo Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação SMA0341 e SLC0603 - Elementos de Matemática Notas de Aulas Ires Dias Sandra Maria Semensato de Godoy São Carlos 2012 Sumário
Resumo das aulas de discreta
Resumo das aulas de discreta Jair Donadelli 19 de abril de 2017 Sumário 1 a Semana Lógica 5 1.1 Operadores lógicos:,,,,.................... 7 1.2 Tautologia e Contradição......................... 9 1.3
Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos:
1 Noções Básicas de Lógica 1.1 Proposições Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. 1. Os sapos são anfíbios. 2. A capital do Brasil é Porto Alegre. 3. O tomate é um tubérculo.
Matemática discreta e Lógica Matemática
AULA 1 - Lógica Matemática Prof. Dr. Hércules A. Oliveira UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática Ementa 1 Lógica Sentenças, representação
Fundamentos 1. Lógica de Predicados
Fundamentos 1 Lógica de Predicados Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional têm possibilidade limitada de expressão.
UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira
Aula 6 Lógica Matemática Álgebra das proposições e método dedutivo As operações lógicas sobre as proposições possuem uma série de propriedades que podem ser aplicadas, considerando os conectivos inseridos
Lógica Formal. Matemática Discreta. Prof. Vilson Heck Junior
Lógica Formal Matemática Discreta Prof. Vilson Heck Junior vilson.junior@ifsc.edu.br Objetivos Utilizar símbolos da lógica proposicional; Encontrar o valor lógico de uma expressão em lógica proposicional;
Apresentação do curso
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica 2 Conteúdo
4 AULA. Regras de Inferência e Regras de Equivalência LIVRO. META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência.
1 LIVRO Regras de Inferência e Regras de Equivalência 4 AULA META: Introduzir algumas regras de inferência e algumas regras de equivalência. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Os Fundamentos: Lógica de Predicados
Os Fundamentos: Lógica de Predicados Área de Teoria DCC/UFMG Introdução à Lógica Computacional 2019/01 Introdução à Lógica Computacional Os Fundamentos: Lógica de Predicados Área de Teoria DCC/UFMG - 2019/01
Fundamentos de Lógica Matemática
Webconferência 3-01/03/2012 Inferência Lógica Prof. L. M. Levada http://www.dc.ufscar.br/ alexandre Departamento de Computação (DC) Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 2012/1 Objetivos Análise
Faculdade de Informática e Tecnologia de Pernambuco. Primeira lista de exercícios de Álgebra Aplicada à Computação Prof. Diego Machado Dias
Faculdade de Informática e Tecnologia de Pernambuco Primeira lista de exercícios de Álgebra Aplicada à Computação Prof. Diego Machado Dias Instruções 1. No início de cada seção da lista há uma sugestão
Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6)
Dedução Natural e Sistema Axiomático Pa(Capítulo 6) LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto Estrutura 1. Definições 2. Dedução Natural 3. Sistemas axiomático Pa 4. Lista
RACIOCÍNIO LÓGICO LÓGICA PROPOSICIONAL
RACIOCÍNIO LÓGICO LÓGICA PROPOSICIONAL Atualizado em 12/11/2015 LÓGICA PROPOSICIONAL Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração
Fundamentos de Lógica Matemática
Webconferência 6-29/03/2012 Introdução à Lógica de Predicados Prof. L. M. Levada http://www.dc.ufscar.br/ alexandre Departamento de Computação (DC) Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 2012/1 Introdução
3 Cálculo Proposicional
3 Cálculo Proposicional O Cálculo Proposicional é um dos tópicos fundamentais da Lógica e consiste essencialmente da formalização das relações entre sentenças (ou proposições), de nidas como sendo frases
Cálculo proposicional
Notas de aula de MAC0329 (2003) 9 2 Cálculo proposicional Referências para esta parte do curso: capítulo 1 de [Mendelson, 1977], capítulo 3 de [Whitesitt, 1961]. Proposição Proposições são sentenças afirmativas
A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA
MAT1513 - Laboratório de Matemática - Diurno Professor David Pires Dias - 2017 Texto sobre Lógica (de autoria da Professora Iole de Freitas Druck) A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA Iniciemos
Gestão Empresarial Prof. Ânderson Vieira
NOÇÕES DE LÓGICA Gestão Empresarial Prof. Ânderson ieira A maioria do texto apresentado neste arquivo é do livro Fundamentos de Matemática Elementar, ol. 1, Gelson Iezzi e Carlos Murakami (eja [1]). Algumas
RACIOCÍNIO LÓGICO. Quantificadores. Prof. Renato Oliveira
RACIOCÍNIO LÓGICO. Prof. Renato Oliveira Os quantificadores são proposições categóricas que transformam sentenças abertas em proposições lógicas, pela quantificação das variáveis. Exemplo: x + 2 > 4 não
COMO LER NOTAÇÃO LÓGICA
COMO LER NOTAÇÃO LÓGICA DARREN BRIERTON TRADUÇÃO DE AISLAN ALVES BEZERRA Conectivos Proposicionais O primeiro conjunto de símbolos que introduzir-vos-ei são chamados de conectivos proposicionais porque
assim são válidas devido à sua estrutura e ao significado dos quantificadores universal e existencial
LÓGICA DE PREDICADOS Na ló predicados uma wff verdadeira significa uma wff vá lida, isto é, uma wff que seja válida em qualquer interpretação possível. AXIOMAS E REGRAS DE INFERêNCIA: wffs predicativas
Negação. Matemática Básica. Negação. Negação. Humberto José Bortolossi. Parte 3. Regras do Jogo. Regras do Jogo
Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 3 Parte 3 Matemática Básica 1 Parte 3 Matemática Básica 2 Qual é a negação do predicado
Lógica Proposicional Parte II. Raquel de Souza Francisco Bravo 25 de outubro de 2016
Lógica Proposicional Parte II e-mail: raquel@ic.uff.br 25 de outubro de 2016 Argumento Válido Um argumento simbólica como: pode ser ser representado em forma P 1 P 2 P 3 P n Q Onde P 1, P 2,,P n são proposições
Lógica para computação - Linguagem da Lógica de Predicados
DAINF - Departamento de Informática Lógica para computação - Linguagem da Lógica de Predicados Prof. Alex Kutzke ( http://alex.kutzke.com.br/courses ) 13 de Outubro de 2015 Razões para uma nova linguagem
Matemática Computacional
Matemática Computacional SLIDE 1I Professor Júlio Cesar da Silva juliocesar@eloquium.com.br site: http://eloquium.com.br/ twitter: @profjuliocsilva facebook: https://www.facebook.com/paginaeloquium Google+:
SMA Elementos de Matemática Notas de Aulas. Ires Dias - Sandra Maria Semensato de Godoy
SMA - 341 - Elementos de Matemática Notas de Aulas Ires Dias - Sandra Maria Semensato de Godoy 2006 Capítulo 1 Noções de Lógica Lógica é a higiene usada pelos matemáticos para conservar suas idéias saudáveis
Antonio Paulo Muccillo de Medeiros
Antonio Paulo Muccillo de Medeiros Conceito É a área da matemática que estuda os argumentos (premissas e conclusão). Estuda os métodos e princípios que permitam distinguir argumentos corretos e incorretos.
Lógica para computação
Lógica para computação PROPRIEDADES SEMÂNTICAS DA LÓGICA PROPOSICIONAL Professor Marlon Marcon Introdução Esta seção considera a análise de algumas propriedades semânticas da LP que relacionam os resultados
NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA. O CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1 a ORDEM
NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA O CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1 a ORDEM O Cálculo de Predicados, dotado de uma linguagem mais rica, tem várias aplicações importantes não só para matemáticos e filósofos como também
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 1 a Lista de Exercícios
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT 131 - Introdução à Álgebra 2015/I 1 a Lista de Exercícios Tópico: Argumentos 1. Julgue as premissas e a conclusão
Sistema dedutivo. Sistema dedutivo
Sistema dedutivo Estudaremos um sistema dedutivo axiomático axiomas lógicos e axiomas não lógicos (ou esquemas de axiomas) e regras de inferência (ou esquemas de regra) do tipo de Hilbert para a lógica
Fundamentos 1. Lógica de Predicados
Fundamentos 1 Lógica de Predicados Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional Predicados Estudamos até agora a lógica proposicional A lógica proposicional têm possibilidade limitada de expressão.
Aula 1 Aula 2. Ana Carolina Boero. Página:
Elementos de lógica e linguagem matemática E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Linguagem matemática A linguagem matemática
Lógica e Metodologia Jurídica
Lógica e Metodologia Jurídica Argumentos e Lógica Proposicional Prof. Juliano Souza de Albuquerque Maranhão julianomaranhao@gmail.com Quais sentenças abaixo são argumentos? 1. Bruxas são feitas de madeira.
Teoria dos Conjuntos MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES. Fundamentos de Lógica Técnicas Elementares de Prova A NOÇÃO DE CONJUNTO
SUMÁRIO MATEMÁTICA DISCRETA CONCEITOS PRELIMINARES Teoria dos Conjuntos Relações e Funções Fundamentos de Lógica Técnicas Elementares de Prova Newton José Vieira 21 de agosto de 2007 1 A NOÇÃO DE CONJUNTO
Lógica Computacional DCC/FCUP 2017/18
2017/18 Raciocínios 1 Se o André adormecer e alguém o acordar, ele diz palavrões 2 O André adormeceu 3 Não disse palavrões 4 Ninguém o acordou Será um raciocínio válido? Raciocínios Forma geral do raciocínio
Conteúdo. Correção Exercícios Revisão para Prova
Conteúdo Correção Exercícios Revisão para Prova Rosen 58 1) Transcreva as proposições abaixo para o português, em que o domínio para cada variável consista nos números reais. a) x y (x
Apêndice B: Resolução dos Exercícios Propostos
Apêndice B: Resolução dos Exercícios Propostos É importante que o aluno verifique a resolução dos exercícios somente após ter tentado resolvê-los. De fato, para que ocorra a aprendizagem é importante que
Apresentação do curso
Folha 1 Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Matemática Básica 1 Parte 1 Matemática Básica
Lógica Proposicional. p : Hoje não é sexta-feira. q : Todo homem é mortal. r : Existem pessoas inseguras.
Tópicos Introdução à Lógica Edna A. Hoshino DCT - UFMS fevereiro de 2011 1 Tabela-Verdade Equivalências Proposicionais Formas Normais 2 Variáveis e Predicados Quantificadores 3 para predicados e quantificadores
Campos Sales (CE),
UNIERSIDADE REGIONAL DO CARIRI URCA PRÓ-REITORIA DE ENSINO E GRADUAÇÃO PROGRAD UNIDADE DESCENTRALIZADA DE CAMPOS SALES CAMPI CARIRI OESTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: Tópicos de Matemática SEMESTRE:
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/53 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional
Matemática Discreta. Lógica de Predicados. Profa. Sheila Morais de Almeida. agosto DAINF-UTFPR-PG
Matemática Discreta Lógica de Predicados Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG agosto - 2016 Quantificadores Como expressar a sentença Para todo número inteiro x, o valor de x é positivo. usando
Lógica Texto 7. Texto 7. 1 Negação de enunciados atômicos Exercício resolvido Negação de enunciados moleculares 5
Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 7 Negação e simplificação de enunciados Sumário 1 Negação de enunciados atômicos 2 1.1 Observações................................ 2 1.2 Exercício
LÓGICA - 2. ~ q. Argumentos Regras de inferência. Proposições: 1) Recíproca 2) Contrária 3) Contra positiva. 1) Proposição recíproca de p q :
LÓGICA - 2 Proposições: 1) Recíproca 2) Contrária 3) Contra positiva 1) Proposição recíproca de p q : q p 2) Proposição contrária de p q : ~ p 3) Proposição contra positiva de p q : ~ p ex. Determinar:
Lógica e Metodologia Jurídica
Lógica e Metodologia Jurídica Argumentos e Lógica Proposicional Prof. Juliano Souza de Albuquerque Maranhão julianomaranhao@gmail.com Puzzle 2 pessoas A e B fazem uma oferta um ao outro. O problema é identificar
n. 5 Implicações Lógicas Def.: Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ) implica V V V V F F F V V F F V
n. 5 Implicações Lógicas A implicação lógica trata de um conjunto de afirmações, proposições simples ou compostas, cujo encadeamento lógico resultará em uma conclusão, a ser descoberta. Tal conclusão deverá
Programação em Lógica. UCPEL/CPOLI/BCC Lógica para Ciência da Computação Luiz A M Palazzo Maio de 2010
Programação em Lógica UCPEL/CPOLI/BCC Lógica para Ciência da Computação Luiz A M Palazzo Maio de 2010 Roteiro Introdução Conceitos Básicos Linguagens Lógicas Semântica de Modelos Semântica de Prova Programação
Afirmação verdadeira: frase, falada ou escrita, que declara um facto que é aceite no momento em que é ouvido ou lido.
Matemática Discreta ESTiG\IPB 2011.12 Cap1 Lógica pg 1 I- Lógica Informal Afirmação verdadeira: frase, falada ou escrita, que declara um facto que é aceite no momento em que é ouvido ou lido. Afirmação
Cálculo proposicional
O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio. No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos. Lógica: conhecimento das formas gerais
Afirmações Matemáticas
Afirmações Matemáticas Na aula passada, vimos que o objetivo desta disciplina é estudar estruturas matemáticas, afirmações sobre elas e como provar essas afirmações. Já falamos das estruturas principais,
Matemática para controle:
Matemática para controle: Introdução à Lógica Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Introdução
INF 1771 Inteligência Artificial
Edirlei Soares de Lima INF 1771 Inteligência Artificial Aula 06 Lógica Proposicional Lógica Proposicional Lógica simples. A sentenças são formadas por conectivos como: e, ou, então.
Lógica e Matemática Discreta
Lógica e Matemática Discreta Proposições Prof clezio 20 de Março de 2018 Curso de Ciência da Computação Proposições e Conectivos Conceito de proposição Definição: Chama-se proposição a todo conjunto de
Para Computação. Aula de Monitoria - Miniprova
Para Computação Aula de Monitoria - Miniprova 1 2013.1 Roteiro Provas e Proposições Conjuntos Provas e Proposições Proposição - Sentença que ou é verdadeira ou é falsa. ex: Hoje é sábado. -> É uma proposição.
Lógica Matemática - Quantificadores
Lógica Matemática - Quantificadores Prof. Elias T. Galante - 2017 Quantificador Universal Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não-vazio A e seja V p o seu conjunto verdade: V p = {x x A p(x)}.
INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Matemática Aplicada a Computação rofessor Rossini A M Bezerra Lógica é o estudo dos princípios e métodos usados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas. Definição
Matemática discreta e Lógica Matemática
AULA 1 - Lógica Matemática Prof. Dr. Hércules A. Oliveira UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa Departamento Acadêmico de Matemática Ementa 1. Lógica proposicional: introdução,
Lógica Proposicional Parte I. Raquel de Souza Francisco Bravo 11 de outubro de 2016
Lógica Proposicional Parte I e-mail: raquel@ic.uff.br 11 de outubro de 2016 Lógica Matemática Cáculo Proposicional Uma aventura de Alice Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana.