Antonio Paulo Muccillo de Medeiros

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1 Antonio Paulo Muccillo de Medeiros

2 Conceito É a área da matemática que estuda os argumentos (premissas e conclusão). Estuda os métodos e princípios que permitam distinguir argumentos corretos e incorretos.

3 Argumento Legítimo ou Válido É aquele em que a conclusão é consequência lógica ou necessária das premissas. Exemplo: Premissa: todos os animais são mortais Premissa: o gato é um animal Conclusão: o gato é mortal

4 Argumento Ilegítimo ou Não Válido É aquele em que a conclusão não é consequência lógica das premissas. Exemplo: Premissa: todos os homens são mortais Premissa: alguns animais são mortais Conclusão: todos os animais são mortais

5

6 Aristóteles a.c.

7 Aristóteles Princípio do Terceiro Excluído Silogismo

8 Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e não um terceiro.

9 Silogismo Os componentes do Silogismo Aristotélico são Exemplo: as sentenças universais ou particulares, afirmativas ou negativas. A: Todos os animais são mortais - universal afirmativa E: Nenhum animal é imortal universal negativa I: Alguns homens são sábios particular afirmativa O: Alguns homens não são sábios particular negativa

10 Silogismo Em linguagem de conjuntos temos: A: Todo X é Y X Y E: Nenhum X é Y X Y = I: Algum X é Y X Y O: Algum X não é Y X Y

11 Silogismo Diagramas de Euler-Venn A: Todo X é Y X Y

12 Silogismo Diagramas de Euler-Venn E: Nenhum X é Y X Y =

13 Silogismo Diagramas de Euler-Venn I: Algum X é Y X Y

14 Silogismo Diagramas de Euler-Venn O: Algum X não é Y X Y

15 Zenão a.c. Outros gregos desta época: Crisipo e Filo

16 Gottfried Wilhelm Leibniz Precursor da Lógica Precursor da Lógica Moderna. Sugeriu o sistema de abreviações para construir uma linguagem artificial livre de ambiguidades.

17 Leonhard Euler Primeiro a usar diagramas no estudo da Lógica.

18 George Boole Criou os fundamentos da lógica formal e de uma nova álgebra, hoje conhecida como álgebra booleana.

19 George Boole Escreveu os livros: The Mathematical Analysis of Logic e Investigations of the Laws of Thought, que é considerado como o início da lógica moderna.

20 Augustus De Morgan Desenvolveu, em paralelo com Boole, a Álgebra da Lógica. Enunciou o princípio da dualidade da teoria dos conjuntos.

21 John Venn Aperfeiçoou os diagramas no estudo da Lógica.

22 Gottlob Frege Em sua obra Begriffsschrift desenvolve, pela primeira vez, axiomaticamente, o Cálculo Sentencial.

23 Outros Matemáticos Bertrand Russel ( ) Alfred Noth Whitehead ( ) David Hilbert ( ) Paul Bernays ( ) Kurt Gödel ( ) Alfred Tarski ( )

24

25 Proposição ou Sentença Todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo (Sá, 2008). É o elemento fundamental da linguagem falada ou escrita (Castrucci, 1984). Uma proposição é composta de um sujeito (nome) e uma ação (predicado).

26 Exemplos de proposições 1. A Lua é um satélite da Terra. 2. José é malandro x 5 = 5 x 3 4. Onde você mora? 5. Que lindo jardim! 6. Escreva um verso. 7. Pedro estuda e trabalha. 8. Fernanda está no cinema ou no mercado. 9. João estuda então tem êxito na escola. 10. Paulo vai ao cinema somente se conseguir dinheiro.

27 Observações: No estudo da Lógica Matemática nos restringiremos às proposições declarativas ou afirmativas e que admitem o valor V (verdadeiro) ou F (falso), um excluindo o outro. São exemplos deste tipo de proposição as de números 1, 2, 3, 7, 8, 9 e 10. As proposições interrogativas (4), exclamativas (5) e imperativas (6) não serão consideradas em nosso estudo.

28 Observações: No estudo da Lógica as proposições são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r,... As proposições afirmativas 1, 2 e 3 são ditas proposições simples. Elas são o núcleo da linguagem. Já as proposições 7, 8, 9 e 10 são chamadas proposições compostas. Elas são formadas por uma ou mais proposições simples.

29 Proposições compostas: Pedro estuda e Pedro trabalha. Fernanda está no cinema ou Fernanda está no mercado. Se João estuda então João tem êxito na escola. Paulo vai ao cinema se e somente se Paulo conseguir dinheiro.

30 Exercícios: Determine dentre os itens dos próximos slides: Quais são proposições Entre as que forem quais são simples e compostas e Dê os valores das proposições simples, isto é, atribuir V ou F a cada uma.

31 Exercícios: a. O número 3 é maior que o número 2. b. A terra é uma estrela. c. 3(9-2) d. 9 e. 8 x 7 = 56 f. O gato é da mamãe. g. Um bom livro de matemática. h = i. Se chove, então, a rua fica molhada. j. O sol brilha e queima as plantas. k. Ou você me vende o livro ou você me empresta. l. Um triângulo é retângulo se e somente se tem um ângulo reto.

32 Exercícios: m = 8 n. Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. o. Colombo descobriu a Ásia. p. O número 11 é primo. q. Triângulo equilátero. r. sen 30 é 1 s. O número π é racional. t. Um número divisível por 2 é par. u. Se um triângulo é retângulo, então, dois de seus lados são perpendiculares. v. Os lados de um triângulo equilátero são congruentes.

33 Conectivos e Modificadores: São termos, símbolos ou palavras que usamos para combinar proposições simples tornando-as proposições compostas.

34 Principais Conectivos e Modificadores: NOME COMO SE LÊ SIMBOLOGIA Negação não p ~p Conjunção p e q p q Disjunção p ou q p q Condicional se p então q p q Bicondicional p se e somente se q p q

35 Negação Colocando-se não antes do verbo da proposição obtemos uma proposição que é a negação da primeira. A negação da proposição Ele é um bom professor é Ele não é um bom professor. Outra forma para obter a negação de uma proposição é colocar na frente dela expressões do tipo não é verdade que ou não é o caso de. Assim teremos como negação do primeiro exemplo Não é verdade que ele é um bom professor.

36 Conjunção Dadas duas proposições: p: Pedro estuda a lição. q: João vai à escola. e usando a conjunção teremos p q: Pedro estuda a lição e João vai à escola.

37 Disjunção Dadas duas proposições p e q, formaremos uma proposição denominada disjunção com o conectivo ou e teremos p ou q (p q). No exemplo do slide anterior teremos: p q: Pedro estuda a lição ou João vai à escola.

38 Observação Há dois sentidos para o ou na linguagem. Por exemplo a sentença Chove ou faz frio é verdadeira nos seguintes casos: Chove Faz frio Chove e faz frio Já o exemplo O Prof. Pedro será nomeado embaixador na Espanha ou será reitor da USP. será verdadeira nos casos: O Prof. Pedro será nomeado embaixador na Espanha O Prof. Pedro será nomeado reitor na USP.

39 Observação No primeiro exemplo do slide anterior dizemos que o ou é inclusivo. Esta será operação que estudaremos mais a fundo. No segundo exemplo diz-se que ou é exclusivo. Esta operação é representada por. Utiliza-se a repetição do ou para denotarmos que o ou é exclusivo. Por exemplo: p q: Ou vou ao cinema ou à aula.

40 Condicional A proposição condicional se p então q (p q). No nosso exemplo seria lido como: p q: Se Pedro estuda a lição então João vai à escola.

41 Bicondicional A proposição bicondicional p se e somente se q (p q). No nosso exemplo seria lido como: p q: Pedro estuda a lição se e somente se João vai à escola.

42 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Escrever simbolicamente para p: João é esperto, q: José é tolo. a. João é esperto e José é tolo. b. João é esperto ou José é tolo. c. Ou João é esperto ou José é tolo. d. Nem João nem José são tolos. e. João e José são tolos. f. João é esperto ou José não é tolo. g. Não é verdade que João e José são tolos. h. Se João é tolo, então José não é tolo.

43 Exercícios (Castrucci, 1984) 2. Construa fórmulas para as seguintes sentenças: a. José vai ao cinema se e somente se é anunciada uma comédia. b. Condição necessária e suficiente para que o rei seja feliz é que tenha vinho. c. Ou João irá a festa e Max não, ou João não irá e Max sim. d. Uma condição suficiente para que x seja ímpar é que x seja primo. e. Uma condição necessária para que uma sequência s convirja é que seja limitada. f. Se x > 0, x 2 > 0

44 Exercícios (Castrucci, 1984) 3. Escreva, na linguagem comum, sabendo que p: Os preços são altos e q: Os estoques são grandes. a. (p q) p b. (p ~q) ~p c. ~p ~q d. p ~q e. ~(p q) f. ~(p q) g. ~(~p ~q)

45 Tabela-verdade É usual representarmos as proposições através de tabelas das possibilidades de seus valores lógicos (V ou F), que denominamos tabelas-verdade.

46 Tabela-verdade da Negação p ~p V F F V Outros símbolos para a negação são: - e.

47 Tabela-verdade da Conjunção p q p q V V V V F F F V F F F F Outro símbolo para a conjunção é &

48 Circuito elétrico em série e a tabela-verdade da conjunção

49 Tabela-verdade da Disjunção p q p q V V V V F V F V V F F F

50 Circuito elétrico paralelo e a tabela-verdade da disjunção

51 Tabela-verdade da Disjunção Exclusiva p q p q V V F V F V F V V F F F

52 Tabela-verdade da Condicional p q p q V V V V F F F V V F F V Exemplo: Uma pessoa chega perto de uma porta onde se lê: Se você é flamenguista, então entre.

53 Condicional Podemos considerar uma proposição condicional como a inclusão de um conjunto (p) em outro (q). Ou seja, podemos imaginar que p q representa um conjunto associado a p, contido num conjunto associado a q.

54 Exemplo: Se o jovem é escoteiro, então é leal.

55 Tabela-verdade da Bicondicional p q p q V V V V F F F V F F F V Podemos entender a proposição p q como sendo equivalente à composição de (p q) (q p)

56 Tabela-verdade de (p q) (q p) p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

57 Tabela-verdade de uma fórmula qualquer Com as regras estabelecidas, podemos construir a tabela verdade de uma fórmula qualquer. Por exemplo da proposição: ((p q ) ~p) (q p). Os átomos dessa proposição são p e q. Segue-se a tabela-verdade:

58 Tabela-verdade de uma fórmula qualquer p q p q ~p (p q) ~p q p ((p q ) ~p) (q p) V V V F F V F F

59 Tabela-verdade de uma fórmula qualquer p q p q ~p (p q) ~p q p ((p q ) ~p) (q p) V V V F F V V V F V F F F V F V V V V F F F F F V V F F

60 Número de linhas de uma Tabela-verdade Cada proposição p tem dois valores: V ou F, que se excluem. Daí, para n proposições p 1, p 2, p 3,..., p n há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V ou F) elementos, n a n, isto é A 2,n = 2 n. Assim para duas proposições teremos 2 2 = 4 linhas, para três são 2 3 = 8 linhas.

61 Número de linhas de uma Tabela-verdade p p q V V V F V F F V F F Façam, agora, para p, q, r e s. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

62 Quantificadores: Sentenças do tipo: Ele é professor da FAA ou x + 2 = 8 são chamadas sentenças abertas, pois podem ser ou não verdadeiras de acordo com a substituição que fizermos do ele e do x. Os quantificadores são símbolos lógicos que atuam sobre as sentenças abertas, tornando-as sentenças fechadas ou proposições.

63 Quantificador Universal ( ) Para todo Qualquer que seja Exemplo: x, x > 4 Todos os homens são inteligentes.

64 Quantificador Existencial ( ) Para algum Existe algum Exemplo: x, x é par Algumas mulheres são sensíveis.

65 Negação de sentenças com quantificadores ~( x, p) x, ~p ~( x, p) x, ~p

66 Negação de sentenças com quantificadores Exemplo: A negação da sentença Todos os alunos da turma são estudiosos. seria Não é verdade que todos os alunos da turma são estudiosos. Ou Existe algum aluno da turma que não é estudioso

67 Negação de sentenças com quantificadores Exemplo: A negação da sentença Algumas mulheres são sensíveis. seria Não é verdade que algumas mulheres são sensíveis. Ou Todas as mulheres são insensíveis.

68 Equivalência Lógica ( ) Uma proposição é dita logicamente equivalente a outra se suas tabelas-verdade são idênticas. Podemos, então, escrever que p q (p q) (q p)

69 Tautologia Uma proposição é uma tautologia ou é tautológica quando ela é sempre verdadeira. Representamos as tautologias pela letra latina minúscula v. p q ~p q ~p p (q ~p) V V F V V V F F F V F V V V V F F V V V

70 Contradição Uma proposição é uma contradição ou contraválida quando ela é sempre falsa. Representamos as contradições pela letra latina minúscula f. p q ~p ~p q p (q ~p) V V F F F V F F F F F V V V F F F V F F

71 Outra definição para Equivalência Lógica ( ) Uma proposição p é dita logicamente equivalente a outra q se e somente se p q é uma tautologia.

72 Propriedades da equivalência 1. As fórmulas tautológicas são equivalentes entre si. 2. As fórmulas contra-válidas (contradições) são equivalentes entre si.

73 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Construa tabelas-verdade para: a. (p q) p b. (p ~q) ~p c. ~p ~q d. p ~q e. ~(p q) f. ~(p q) g. ~(~p ~q) h. (p q) r i. ~~p p j. ~(p q) ((~~p) ~q) k. (p q) r p ( q r) l. ~(p q) ~p ~q

74 Operadores Lógicos Relacionais: Igual = Diferente Maior que > Menor que < Maior ou igual a Menor ou igual a Equivalente a Implica

75 Operadores Lógicos Não Relacionais: Não ~ E Ou Se...então Se e somente se

76 Operadores Lógicos Não Relacionais Esse operadores, como os aritméticos, obedecem a uma ordem de prioridade para serem executados. Como acontece com os operadores aritméticos, esta ordem pode ser alterada com o uso de parêntesis, colchetes e chaves.

77 Operadores Lógicos Não Relacionais Prioridade dos operadores Aritméticos Potência/Radiciação Produto/Divisão Adição/Subtração Prioridade dos operadores Lógicos Não ~ E Ou Se...então Se e somente se

78 Prioridade dos Operadores Lógicos Não Relacionais Assim: a b c significa a (b c) a b c significa a (b c) a b c significa a (b c) ~p q significa (~p) q

79 Exercícios (Sá, 2008) Vamos fazer agora os exercícios da fotocópia das páginas 20 a 28 do livro do Prof. Ilydio Pereira de Sá, Raciocínio Lógico Concursos Públicos e Formação de Professores.

80 Relação de Implicação( ) Uma proposição a implica uma proposição b se e somente se a b é uma tautologia. Ou Uma fórmula proposicional A implica uma fórmula proposicional B se e somente se A B é tautológica.

81 Propriedade da Implicação 1. Se P é um conjunto de proposições ou de fórmulas, A B é uma relação em P, então valem as propriedades: a. Reflexiva: qualquer que seja A, A A b. Transitiva: quaisquer que sejam A, B e C, se A B e B C, então A C

82 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Provar as implicações a. (~p q) ~p b. (p q r) (p (q r) c. p (q q p) d. p (p q) e. p (p q q) f. (p (q ~q)) ~p

83 Propriedades das Operações Lógicas: Propriedades da Conjunção p q q p Comutativa (p q) r q (p r) Associativa p p p p v p p f f Idempotente Propriedade de v Propriedade de f

84 Propriedades das Operações Lógicas: Propriedades da Disjunção p q q p Comutativa (p q) r q (p r) Associativa p p p p v v p f p Idempotente Propriedade de v Propriedade de f

85 Propriedades das Operações Lógicas: Propriedades Distributivas p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

86 Propriedades das Operações Lógicas: Absorção p (p q) p p (p q) p

87 Propriedades das Operações Lógicas: Propriedades da Negação ~(~p) p

88 Propriedades das Operações Lógicas: Leis de De Morgan ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q

89 Redução do número de conectivos p q ~(~p ~q) p q ~(p ~q) p q ~(p ~q) ~(~p q)

90 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Provar pelas propriedades das operações lógicas as equivalências: a. ~( a b ~c) ~a (b c) b. a ~b ~c a c b c. (a b ) (~a b) b d. ~(~(p ~q) ~p ~q e. a a b a ~a b f. ~(~(p q) (p q)) p v p

91 Argumento Um argumento é uma sequência A 1, A 2, A 3,..., A n (n 1) de fórmulas proposicionais (ou proposições), onde os termos A 1, A 2, A 3,... chamam-se premissas e o último A n, conclusão. Indica-se por: A 1, A 2, A 3,..., A n-1 A n

92 Argumento A 1, A 2, A 3,..., A n-1 A n Se lê A 1, A 2, A 3,... A n-1 acarretam A n ou A n decorre de A 1, A 2, A 3,... A n-1

93 Argumento Válido Um argumento A 1, A 2, A 3,..., A n-1 A n é válido se e somente se A 1 A 2 A 3... A n-1 A n é uma tautologia. Nets caso escreve-se A 1, A 2, A 3,..., A n-1 A n

94 Exemplos de Argumentos Válidos 1. (p q) (p q), ~(p q) p q 2. p, q r, r ~q Testem fazendo as tabelas-verdade.

95 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Verificar se são válidos os argumentos: a. p, p q q b. p q, ~q ~p c. p q, q r p r d. p q, ~p ~q e. p q, r s, p r q s

96 Exercícios (Castrucci, 1984) 2. Verificar se são válidos os argumentos: a. p q ~p ~q b. p q p c. ~(p q), (p q) (p q) r (p q) r d. p q, p r, ~q r e. p q, ~p ~q

97 Exercícios (Castrucci, 1984) 3. Verificar se são válidos os argumentos: a. Se eu fosse artista, seria inteligente; não sou artista, logo não sou inteligente. b. Não é verdade que eu não gosto de açúcar e de pimenta; eu gosto de açúcar e pimenta ou não estudo ou se gosto de açúcar não gosto de pimenta. Segue-se que eu estudo ou se gosto de açúcar, então gosto de pimenta. c. Se eu gosto de pimenta, então, entendo o teorema. Eu gosto de pimenta ou vou ao cinema. Não entendo o teorema. Logo, vou ao cinema.

98 Exercícios (Castrucci, 1984) 3. Verificar se são válidos os argumentos: (continuação) d. Se trabalho, ganho dinheiro. Se não trabalho, divirto-me. Logo, se não ganho dinheiro, divirtome. e. O aluno é aprovado se e somente se é estudioso. Se o aluno tem tempo e não é estudioso. Então, não é reprovado. Se o aluno é estudioso e não tem tempo, então ele é aprovado ou não. Seguese que se o aluno não tem tempo, então, ele é estudioso.

99 Exercícios (Castrucci, 1984) 3. Verificar se são válidos os argumentos: (continuação) f. Se Paulo é competente, então, se o serviço é bem feito, ele será aceito. O serviço não é aceito. Segue-se que se o serviço é bem feito, então Paulo não é competente.

100 Sentenças Abertas Há frases declarativas afirmativas para as quais não podemos atribuir os valores V ou F. Assim, a frase Ela foi professora da FAA. será uma proposição se colocarmos um nome de pessoa, o que acarretará um valor V ou F. Da mesma forma x + 4 = 8 será uma proposição quando colocarmos uma constante no lugar de x.

101 Sentenças Abertas As frases com variáveis, que se chamam sentenças abertas, não são nem verdadeiras nem falsas. Quando se substituem as variáveis por constantes numa sentença aberta, temse o que se chama de interpretação das variáveis da sentença aberta ou, abreviadamente, uma interpretação de sentença aberta.

102 Sentenças Abertas Deste modo, = 8 é uma interpretação da sentença x + 4 = 8 e Charles Chaplin foi professor da FAA. é uma interpretação da frase Ele foi professor da FAA. Cada interpretação conduz a uma proposição, pois fica determinada para ela um dos valores V ou F.

103 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Dê interpretações que tornem proposições as sentenças abertas: a. x + y = 8 b. 5x 1 = 9 c. Ele foi o melhor jogador do Santos F.C., em d. Ele foi o presidente do Brasil em e. X é um bom matemático da Universidade y6. f. Log 10 x = 1

104 Exercícios (Castrucci, 1984) 2. Dê sentenças abertas correspondentes às fórmulas: a. Px b. Rxy c. Px Qx Py d. Px Ay Qz Diz-se que a sentença aberta de uma variável tem peso 1. No exercício as sentenças P, Q e A têm este peso. As sentenças com duas variáveis têm peso 2, que é o caso, no exemplo, da sentença R. O peso 0 (zero) é o peso de uma proposição.

105 Revisando Quantificadores: Os quantificadores são símbolos lógicos que atuam sobre as sentenças abertas, tornando-as sentenças fechadas ou proposições.

106 Quantificador Universal ( ) Para todo Qualquer que seja Exemplo: x, x > 4 Todos os homens são inteligentes.

107 Quantificador Existencial ( ) Para algum Existe algum Exemplo: x, x é par Algumas mulheres são sensíveis.

108 Negação de sentenças com quantificadores ~( x, p) x, ~p ~( x, p) x, ~p

109 Negação de sentenças com quantificadores Exemplo: A negação da sentença Todos os alunos da turma são estudiosos. seria Não é verdade que todos os alunos da turma são estudiosos. Ou Existe algum aluno da turma que não é estudioso

110 Negação de sentenças com quantificadores Exemplo: A negação da sentença Algumas mulheres são sensíveis. seria Não é verdade que algumas mulheres são sensíveis. Ou Todas as mulheres são insensíveis.

111 Exercícios (Castrucci, 1984) 1. Negar, aplicando as regras: a. Todos os triângulos são isóceles. b. Todos os quadrados são losangos e retângulos. c. Nenhum homem é imortal. 2. Negar, aplicando as regras: a. x Px Qx b. Px xqx c. x (Qx Rx ~Sx)

112 Exercícios (Castrucci, 1984) 3. Negar, aplicando as regras: a. Alguns animais são mamíferos. b. Para todo x, x + 4 = 9, com x R c. Tudo é esférico. d. Qualquer que seja x, se x é homem, então, x é racional. e. Existem animais não carnívoros. f. Algo é belo e monótono. g. Tudo é esférico ou não é esférico.

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